微专题16概率中的递归应用课件-2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“计数原理、概率、随机变量及其分布”中的递归应用微专题，依据高考评价体系梳理了递推关系构建、数列与概率交汇、期望计算等核心考查点，以2023年全国新课标Ⅰ卷真题为引领，明确递归概率、分布列及期望为高频考点，归纳典型题型。 课件亮点在于“真题深度解析+递归模型构建+核心素养培养”，如例1通过构造等比数列求第i次投篮概率，培养逻辑推理与数学建模素养，对应训练题强化分布列与期望计算技巧，助力学生掌握递归思想在概率中的应用，教师可依托此课件实现专题高效突破，提升学生应试得分能力。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 微专题16：概率中的递归应用 2027届高考一轮复习数学 1 例1　(2023·全国新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，中甲投篮的次数 为Y，求E(Y). 2 (1)求第2次投篮的人是乙的概率; [解析] (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以，P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2) =P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. 3 (2)求第i次投篮的人是甲的概率; [解析](2)设P(Ai)=pi，依题可知，P(Bi)=1-pi， 则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)·P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi)， 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2， 设pi+1+λ=(pi+λ)，解得λ=-， 则pi+1-=， 又p1=，p1-=，所以是首项为，公比为的等比数列， 即pi-=×，pi=×+. 4 (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，中甲投篮的次数为Y，求E(Y). [解析](3)因为pi=×+，i=1，2，…，n， 所以当n∈N*时，E(Y)=p1+p2+…+pn =×+ = +， 故E(Y)=+. 5 [小结]高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键. 6 1.王老师每天早上7:00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示: 到校时间 7:30之前 7:30-7:35 7:35-7:40 7:40-7:45 7:45-7:50 7:50之后 乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05 乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 (例如:表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7:35-7:40的概率为0.35.) 对应训练 7 (1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7:40-7:45到校的概率. (2)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7:40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7:40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起(包括今天)到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求E(X). (3)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7:40，则当天他会乘坐地铁去学校;若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7:40，则当天他会乘坐汽车去学校;若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7:40，当天他都会乘坐地铁去学校.记Pn为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求{Pn}的通项公式. 8 (1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7:40-7:45到校的概率. [解析] (1)记事件A=“硬币正面向上”，事件B=“7:40-7:45到校”， 则由题有P(A)=0.5，P(B|A)=0.2，P(B|)=0.1， 故P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.5×0.2+0.5×0.1=0.15. 9 (2)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7:40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7:40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起(包括今天)到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求E(X). [解析] (2)X可取1，2，3，…，9，10， 由题可得，对于1≤k≤9(k∈N*)，P(X=k)=×，P(X=10)=， 故E(X)=1×+2××+3××+…+9××+10×， E(X)=1××+2××+…+8××+9××+10×， 10 以上两式相减得E(X)=+×+×+…+×+×， 故E(X)=1+++…++==-×. 所以E(X)=-×. 11 (3)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7:40，则当天他会乘坐地铁去学校;若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7:40，则当天他会乘坐汽车去学校;若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7:40，当天他都会乘坐地铁去学校.记Pn为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求{Pn}的通项公式. [解析] (3)由题意，P1=1，Pn+1=Pn+(1-Pn)=-Pn+1，则Pn+1-=-， 这说明数列是以P1-=为首项，-为公比的等比数列. 故Pn-=×，所以Pn=×+. 12 2.某中学一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”:每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会;第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会. (1)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率; (2)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和期望. 13 (1)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率; [解析] (1)设第i(i∈N*，i≤27)场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件Ai，有2名男生为事件Bi，有3名男生为事件Ci， 则P(B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)+P(C1)·P(B2|C1) =×+×+×==. 14 (2)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和期望. [解析] (2)当i≥2时，P(Ai)=P(Ai-1)·P(Ai|Ai-1)+P(Bi-1)·P(Ai|Bi-1)+P(Ci-1)·P(Ai|Ci-1) =P(Ai-1)·+P(Bi-1)·+P(Ci-1)×0 =P(Ai-1)+P(Bi-1)， P(Bi)=P(Ai-1)·P(Bi|Ai-1)+P(Bi-1)·P(Bi|Bi-1)+P(Ci-1)·P(Bi|Ci-1) =P(Ai-1)·+P(Bi-1)·+P(Ci-1)· =P(Ai-1)+P(Bi-1)+P(Ci-1)， 15 P(Ci)=P(Ai-1)·P(Ci|Ai-1)+P(Bi-1)·P(Ci|Bi-1)+P(Ci-1)·P(Ci|Ci-1) =P(Ai-1)×0+P(Bi-1)·+P(Ci-1)· =P(Bi-1)+P(Ci-1)， 由P(Ai-1)+P(Bi-1)+P(Ci-1)=1， 故P(Bi)=P(Ai-1)+P(Bi-1)+P(Ci-1) =P(Ai-1)+P(Bi-1)+[1-P(Ai-1)-P(Bi-1)]=+P(Bi-1)， 即有P(Bi)-=，又P(B1)=，则P(B1)-=-=， 16 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 即P(Bi)-=×，即P(Bi)=+×， 结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同， 故P(Ai)=P(Ci)，又P(Ai)+P(Bi)+P(Ci)=1， 故有P(Ai)=P(Ci)= = =-×， 17 第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数X的所有可能取值为1，2，3， P(X=1)=P(A27)=-×，P(X=2)=P(B27)=+×， P(X=3)=P(C27)=-×， 则其分布列为: X 1 2 3 P -× +× -× 则E(X)=1×+2×+3×=2. 18 $