微专题9 平面向量中的三大技法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量三大核心技法（极化恒等式、奔驰定理、等和线），依据高考评价体系明确数量积计算、面积比求解、共线参数范围等高频考查方向，通过典型例题梳理各技法适用场景，归纳出8类常考题型，体现高考备考的精准性与实用性。 课件亮点在于“技法原理+真题应用+素养落地”的三维设计，如例1用极化恒等式将复杂数量积转化为对角线平方差计算，例2借助奔驰定理直接推导面积比，培养学生数学思维与数学语言表达能力。配套巩固训练覆盖高考常见陷阱，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点突破与学情精准指导。

第5章 平面向量、复数 微专题9：平面向量中的三大技法 2027届高考一轮复习 数学 1 技法1.极化恒等式 极化恒等式的证明过程与几何意义 证明过程:如图， 设=a，=b，则=a+b，=a-b. ||2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2， ||2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2， 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]，此式即极化恒等式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b=(||2-||2). 名师导学第一轮总复习 高三数学 例1　(1)如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°， 点D，E分别在边AB，AC上，且=2=3，若F为 DE的中点，则·的值为　　　　.  4 [解析] 取BD的中点N，连接NF，EB， 则BE⊥AE⇒BE=2， FN是△DEB的中位线⇒FN=， ·=2·=2=2=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 (2)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB=2，CD=2，EF=1，点P满足·=0，则·的最大值为　　　　.  2 [解析] 因为=+=+，又点F是CD的中点， 所以=-，所以=-， ·=(+)·(-)=-=-=-2， 又·=0，所以PA⊥PB，又点E是AB的中点，所以PE= AB=1， 名师导学第一轮总复习 高三数学 因为=-，所以==-2·+， 即=2·，设<>=θ，=x，则x2=2×1×x×cos θ， 所以x=2cos θ，θ∈[0，]，所以·=x2-2=4cos2θ-2=2cos 2θ， 所以当2θ=0即θ=0时，cos 2θ有最大值1， 即·有最大值为2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 1.半径为2的圆O上有三点A，B，C满足++=0，点P是圆内一点，则·+·的取值范围是　　　　　　. [-4，14) [解析] 易知||=|+|=2，且=+， 由平行四边形性质可知▱ABOC为菱形， 且△ABO与△ACO均为等边三角形. 取AO中点M，由极化恒等式得·+·=||2-||2+||2-||2， ∴·+·=2PM2-4，易知PM∈[0，3)， ∴·+·的范围是[-4，14). 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.如图，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则·的值为　　　　.  72 [解析] 方法1:连接CO并延长交AB于点M(如图)， 则·=(+)·(+)=·+·+·+ =·+·+=·(++)=2， 因为OC=2OM=AB=6，所以·=72. 名师导学第一轮总复习 高三数学 方法2:以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(-3，0)，B(3，0)，设C(x，y)，则易得O，因为OA⊥OB， 所以·=0，从而·+=0，化简得x2+y2=81， 所以·=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=72. 方法3.极化恒等式 ·= = = (182-62)=72. 名师导学第一轮总复习 高三数学 技法2.“奔驰”定理 奔驰定理:已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 [证明]= = ·+ · = ·(+)+ ·(+) = (+)+ (+)， 即S△ABC·=S△AOC+S△AOB+S△AOC+S△AOB， 又∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴S△BOC+S△AOC·+S△AOB=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 例2　点P为△ABC内一点，+3+4=0，则△APB，△APC，△BPC的面积之比是　　　　.  4∶3∶1 [解析] 法一:因为+3+4=0，所以+=-3(+)， 设F为AC的中点，G为BC的中点，GF为三角形ABC的中位线， 则GF= AB， 因为+=2+=2， 可得=-3，所以F，P，G三点共线，且PF=3PG， 则PF= GF= AB，PG=GF= AB. 名师导学第一轮总复习 高三数学 分别设S△ABP=S，S△APF=S1，S△CPF=S2，S△CPG=S3，S△BPG=S4， 由图可知，S1=S2，S3=S4， 则 = = ，所以S1= S，而 = = ，所以S4= S， 所以S△APC=S1+S2=2S1= S，S△BPC=S3+S4=2S4= S， 所以S△APB∶S△APC∶S△BPC=S∶S∶S=4∶3∶1， 即△APB，△APC，△BPC的面积之比等于4∶3∶1. 法二:直接由奔驰定理可得答案为4∶3∶1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3.在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a·+b·+c·=0，则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B [解析] 记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC= a·h2，S△OAC= b·h3，S△OAB= c·h1，因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0， 则a·h2·+b·h3·+ c·h1·=0，即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0， 又因为a·+b·+c·=0，所以h1=h2=h3，所以点P是△ABC的内心. 故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 4.已知O为△ABC的内心，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，c=5，则·=(　　) A.2-8 B.-2 C.-7 D.3-9 A [解析] 因为a=3，b=2，c=5，所以cos B= = ， 因为O为△ABC的内心，设∠1=∠OBC，∠2=∠OBA，由题意∠1=∠2， 则S△OBC∶S△BOA= |BO||BC|sin∠1∶|BO|·|BA|sin∠2=a∶c， 同理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=a∶b∶c. 所以根据“奔驰定理”有a+b+c=0， 所以a(-)+b+c(-)=0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 即= +， 所以·=·(-) = - - · = = =2-8. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 技法3.等和线 由三点共线结论推导等和线定理:如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得=k，则=k=kλ+kμ，又=x+y(x，y∈R)，∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立. 名师导学第一轮总复习 高三数学 平面内一组基底及任一向量=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值);反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 名师导学第一轮总复习 高三数学 例3　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　.  [解析] 如图，作的相反向量， 则AB∥A1B1，过点O作直线l∥AB， (-1，0) 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 则直线l，A1B1分别为以{}为基底的值为0，-1的等和线，由题意知，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在直线l与直线A1B1之间的圆弧上(如图)，所以m+n∈(-1，0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 5.如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若=λ+μ，则λ+μ=　　　　.  [解析] 由等和线定理可知λ+μ= = . 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 $