微专题7　平面向量中的最值、范围问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量中的最值、范围问题，覆盖与基本定理、数量积、模、夹角相关的四大核心考点，对接高考评价体系，通过模拟题分析明确数量积、模的最值为高频考点，归纳出坐标法、向量法等常考题型解法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养提升”，如以2026年衡阳模拟题为例，用平面向量基本定理转化关系结合基本不等式求最值，培养数学思维与数学语言表达能力。特设跟踪训练与易错点分析，帮助学生掌握坐标法等突破技巧，教师可据此精准指导，助力高效复习。

微专题7　平面向量中的最值、范围问题 1 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　与平面向量基本定理有关的最值、范围问题 例1 (2026·衡阳模拟)如图，在△ABC中，PC＝2BP，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB＝mAM，AC＝nAN，则的最小值为(　　) A． B． C．3 D．4 答案：B 返回导航 2 解析：＝＝＝)＝，因为AB＝mAM，AC＝nAN，所以＝＋，又M，P，N三点共线，所以＝1.由于m>0，n>0，所以＝()()＝＋2＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故的最小值为.故选B. 返回导航 3 学霸笔记：首先利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系，再运用基本不等式或函数的性质解决． 返回导航 4 跟踪训练　如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足.若，则x2＋9y2的最小值为___. 返回导航 5 解析：根据题意得＝＝xy.因为M，B，C三点共线，设＝λ(0<λ<1)，则＝λ()，所以＝(1－λ)＋λ，所以所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0<y<)，所以x2＋9y2＝(－y)2＋9y2＝10y2－y＋＝10(y－)2＋(0<y<)，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值. 返回导航 6 视角二　与数量积有关的最值、范围问题 例2 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 7 解析：由cos ∠BAC＝＝－，解得||＝.设＝λ，0≤λ≤1，则·＝()·＝(＋λ)·＝＝·()＋λ＝·＋λ＝－λ∈[－]. 返回导航 8 学霸笔记：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理； (2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决． 返回导航 9 跟踪训练　(2026·马鞍山模拟)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－ 答案：A 返回导航 10 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，以BC的中点为坐标原点，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，则·()＝2x2－2y＋2y2＝2[x2＋(y－)2－]，∴当x＝0，y＝时，取得最小值2×(－)＝－.故选A. 返回导航 11 视角三　与向量的模有关的最值、范围问题　 例3 (2026·宜昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，＝＝⊥.已知点C(3，4)，则的取值范围是(　　) A．[6，12] B．[6，14] C．[8，12] D．[8，14] 答案：C 返回导航 12 解析：如图，因为||＝||＝，⊥，则||2＝()2＝＋2·＝4，即||＝2，因为＝＝，又C(3，4)，则||＝5，则||＝|＋2|。 返回导航 13 因为|||－2|||≤|＋2|≤||＋2||，当且仅当与同方向时，|＋2|max＝||＋2||＝2＋10＝12；当且仅当与反方向时，|＋2|min＝|||－2|||＝10－2＝8，即8≤||≤12.故选C. 返回导航 14 学霸笔记：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解． 返回导航 15 跟踪训练　已知平面向量x，y，z满足x＝(2，0)，z＝(0，1)，x·y＝2，则|x＋y－z|的最小值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：设y＝(m，n)，因为x＝(2，0)，x·y＝2，所以2m＝2，得m＝1，得x＋y－z＝(2，0)＋(1，n)－(0，1)＝(3，n－1)，则|x＋y－z|＝，当n＝1时，|x＋y－z|取得最小值3.故选D. 返回导航 16 视角四　与向量的夹角有关的最值、范围问题 例4 (2026·周口模拟)平面向量a，b满足|b|＝2|a|，且|a－b|＝3，则b与a－b夹角的余弦值的最大值是(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 返回导航 17 解析：由|a－b|＝3，两边平方得a2－2a·b＋b2＝9，又|b|＝2|a|，所以2a·b＝a2＋b2－9＝5a2－9，所以cos 〈b，a－b〉＝＝＝＝＝－(|a|＋)≤－，当且仅当|a|＝时，等号成立，所以b与a－b夹角的余弦值的最大值为－.故选A. 返回导航 18 学霸笔记：求向量夹角的最值、范围问题要根据夹角余弦值的不等式，采用基本不等式或函数的性质求解． 返回导航 19 跟踪训练　已知向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，则sin 〈a，b〉的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 20 解析：因为|a＋b|＝2|a－b|，两边平方得a2＋b2＋2a·b＝4(a2＋b2－2a·b)，整理得a·b＝(|a|2＋|b|2)，cos 〈a，b〉＝··＝，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，所以sin 〈a，b〉≤ ＝.故sin 〈a，b〉的最大值为.故选D. 返回导航 21 1．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝的最大值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 22 解析：∵a＝(1，sin θ)，b＝(cos θ，)，θ∈R，∴a－b＝(1－cos θ，sin θ－)，∴|a－b|＝＝ ＝ ≤3，当且仅当sin (θ ＋)＝－1时等号成立，∴|a－b|的最大值是3.故选B. 23 2．(2026·大连一模)设单位向量a，b，c，已知a·b＝ 的最小值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．＋1 答案：C 解析：设d＝2b－a，因为a，b为单位向量，a·b＝，则|d|＝＝＝ ＝，则|2b－a＋c|＝|d＋c|≥||d|－|c||＝－1，等号成立时c，d方向相反，故|2b－a＋c|的最小值为－1.故选C. 24 3．已知O为△ABC的外接圆圆心，OA＝1，∠BAC＝60°，则的最大值为(　　) A．2 B． C．1 D． 答案：D 25 解析：如图所示， 因为O为△ABC的外接圆圆心，OA＝1，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝2∠BAC＝120°，且||＝||＝||＝1，所以·＝()·＝··＝－·＝－－cos ∠AOC，所以当反向共线时，·取得最大值.故选D. 26 4．(2026·深圳模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝|c|＝2，a·b＝4，则(a＋c)·(b－c)的最大值为(　　) A．6 B．2＋4 C．2＋2 D．4 答案：D 27 解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，则可设a＝(4，0)，b＝(1，)，c＝(2cos θ，2sin θ)(0≤θ<2π)，∴(a＋c)·(b－c)＝(4＋2cos θ，2sin θ)·(1－2cos θ，－2sin θ)＝4－6cos θ－4cos2θ＋2sinθ－4sin2θ＝2sinθ－6cos θ＝4sin (θ－)，则当θ－＝，即θ＝时，sin (θ－)取得最大值1，此时(a＋c)·(b－c)取得最大值4.故选D. 28 5．(2026·开封模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝3＝1，并且当λ＝－4时，|a＋λb|取得最小值，则cos 〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 29 解析：平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，则a·b＝3cos 〈a，b〉，所以|a＋λb|2＝|a|2＋2λa·b＋λ2|b|2＝λ2＋6cos 〈a，b〉·λ＋18＝(λ＋3cos 〈a，b〉)2－18cos2〈a，b〉＋18，所以λ＝－3cos〈a，b〉时，|a＋λb|2取得最小值，即|a＋λb|取得最小值，故－3cos 〈a，b〉＝－4，解得cos 〈a，b〉＝.故选A. 30 6．已知向量不共线，且＝1，＝2，若∀m∈R，都有≥1，则∠ABC的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 31 解析：因为|2m|≥1，所以(2m)2≥1，则＋||2＋4m||·||·cos (π－∠ABC)≥1，即4m2－8m cos ∠ABC＋3≥0，所以Δ＝(8cos ∠ABC)2－4×4×3≤0，解得－≤cos ∠ABC≤，因为向量不共线，则0<∠ABC<π，故≤∠ABC≤，故∠ABC的取值范围是[].故选B. 32 7．(2026·十堰模拟)已知e1，e2均为单位向量，若对任意的t∈R恒成立，则〉的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：A 33 解析：由|e1＋te2|≥得(e1＋te2)2≥，设〈e1，e2〉＝θ，即1＋2t cos θ＋t2≥，即t2＋2t cos θ＋≥0对任意的t∈R恒成立，所以Δ＝(2cos θ)2－1＝4cos2θ－1≤0，解得－≤cosθ≤，又因为θ∈[0，π]，所以θ∈[].故选A. 34 8．已知＝＝2，＝＝4，且，则λ＋μ的取值范围是(　　) A． B． C．[－4，4] D． 答案：A 35 解析：由题意有||2＝＝(λ＋μ)2＝λ2＋2λμ·＋μ2＝4λ2＋4λμ＋5μ2＝16，即4λ2＋4λμ＋5μ2＝16，令λ＋μ＝t，则μ＝t－λ，所以4λ2＋4λ(t－λ)＋5(t－λ)2＝16，化简整理得5λ2－6tλ＋5t2－16＝0，即关于λ的一元二次方程有解，所以Δ＝36t2－4×5(5t2－16)＝64(5－t2)≥0，即－≤t≤，所以λ＋μ∈[－].故选A. 36 9．已知a＝，b＝(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的有(　　) A．若a⊥b，则θ＝ B．a·b的最大值为2 C．存在 θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b| D．|a－b|的最大值为3 答案：BCD 37 解析：对于A，a⊥b，则cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－，∴θ＝－＋kπ，k∈Z，故A错误；对于B，a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，故B正确；对于C，|a＋b|＝|a|＋|b|时，则a与b同向，设b＝λa(λ>0)，则(cos θ，sin θ)＝λ(1，)，∴cos θ＝λ，sin θ＝λ，∴λ2＋3λ2＝1，∴λ＝，∴cos θ＝，sin θ＝，故C正确；对于D，a－b＝(1－cos θ，－sin θ)，(a－b)2＝(1－cos θ)2＋(－sin θ)2＝4＋1－2cos θ－2sin θ＝5－4sin (θ＋)，当sin (θ＋)＝－1，最大值为9，∴|a－b|的最大值为3，故D正确．故选BCD. 38 10．若平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，且a·c＝b·c，则(　　) A．|a＋b＋c|的最小值为1 B．|a＋b＋c|的最大值为5 C．|a－b＋c|的最小值为2 D． 答案：ABD 39 解析：方法一　由a·c＝b·c，|a|＝1，|b|＝1，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，则当向量a，b方向相同，且与c方向相反时，|a＋b＋c|有最小值，为|c|－(|a|＋|b|)＝1；当向量a，b，c方向相同时，|a＋b＋c|有最大值，为|a|＋|b|＋|c|＝5，AB正确．由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0，所以|a－b＋c|＝，所以a，b方向相同时，|a－b|取得最小值0，|a－b＋c|取得最小值3；当a，b方向相反时，|a－b|取得最大值2，|a－b＋c|取得最大值.C错误，D正确．故选ABD. 40 方法二　由题意，设c＝(3，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则由a·c＝b·c得(a－b)·c＝0，若取b＝(cos θ，－sin θ)，则|a＋b＋c|＝|3＋2cos θ|∈[1，5]，|a－b＋c|＝∈[3，]，若取b＝(cosθ，sin θ)，则|a＋b＋c|＝＝∈[1，5]，所以C错误，ABD正确．故选ABD. 41 11．(2026·新乡模拟)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部(包括边界)，则(　　) A．的最小值为4－ B．的最大值为4 C．若(m，n∈R)，则m＋n的最小值为1－ D．若(m，n∈R)，则m＋n的最大值为1 答案：ABD 42 解析：过E作EF⊥BC，以E为原点，EB，EF分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． 则C(－1，0)，B(1，0)，A(－1，2)，因此直线AB：y＝－x＋1，点E到直线AB的距离为.所以动点P的轨迹为x2＋y2＝，y≥0，设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，则＝(cos θ＋1，sin θ－2)，＝(0，－2)． 43 故·＝－sin θ＋4，因为θ∈[0，π]，所以当θ＝时，·有最小值4－，当θ＝0或π时，·有最大值4，故AB正确．＝(2，－2)，因为＝m＋n，所以所以m＋n＝1－sin θ，当θ＝0或π时，m＋n有最大值1；当θ＝时，m＋n有最小值1－.故C错误，D正确．故选ABD. 44 12．已知e1，e2不共线，a＝e1－3e2，b＝λe1＋e2，若平面内任意向量＝xa＋yb，其中x，y∈R，则实数λ的取值范围是 _______________________． (－∞，－，＋∞) 解析：由题意可知，a与b不共线，设a与b共线，因为a≠0，则∃μ∈R，使得b＝μ a，即λe1＋e2＝μ(e1－3e2)＝μe1－3μe2，因为e1，e2不共线，结合平面向量基本定理可得，λ＝μ，1＝－3μ，则λ＝μ＝－，故实数λ的取值范围是(－∞，－，＋∞)． 45 13．(2026·岳阳模拟)在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为________. － 46 解析：如图，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系． 47 依题意，B(1，0)，E(，1)，D(0，1)，设＝t，t∈[0，1]，则＝＝＋t＝(1，0)＋t(－，1)＝(1－t，t)，＝＝＝(1－t，t)－(0，1)＝(t－1)，由·＝(1－t)(t)＋t(t－1)＝t2－t＋＝(t－)2－，因为t∈[0，1]，则当t＝1时，·取得最小值为－. 48 14．已知非零向量a，b，若a·(a－b)＝－2，且|a＋b|＝6，则|a－b|的取值范围为______________． [3－，3＋] 解析：因为a·(a－b)＝·(a－b)＝－2，所以(a＋b)·(a－b)＋(a－b)2＝－4，设|a－b|＝t，且|(a＋b)·(a－b)|≤|a＋b|·|a－b|＝6t，所以－6t≤(a＋b)·(a－b)≤6t，所以－6t≤－4－t2≤6t，所以所以t∈[3－，3＋]. 49 $