4.5 三角函数的图象与性质讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，按“知识复习-典型例题”架构梳理五点法作图、定义域、值域、周期等性质，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用分层典例教学，如“五点法作图”实操训练培养几何直观，结合定义域、单调性等考点设计梯度练习，发展运算能力与推理意识。通过对称性与零点结合等综合题训练，提升学生数学思维与表达能力，为教师精准把控复习节奏提供有效支撑。

4.5 三角函数的图象与性质（精讲） 第一部分：知识复习 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z ，k∈Z 递减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 无 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2．奇偶性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z). 第二部分：典型例题 典例一：五点作图法 1．（25-26高三上·广西梧州·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 2．（25-26高三上·北京西城·期中）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 3．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 (2)写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (4)设函数，求函数的值域 4．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 5．（25-26高三上·浙江湖州·期末）设函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图； 0 x    (3)求函数，的值域. 6．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 典例二：三角函数的定义域 7．（25-26高三上·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 8．（25-26高三上·北京·期中）函数的定义域为__________. 9．（25-26高三上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·宁夏银川·期末）函数的定义域是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是______． 12．（24-25高三上·北京·期中）函数的定义域为______. 典例三：三角函数的值域或最值 13．（25-26高三上·重庆·期末）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 14．（24-25高三上·湖南娄底·阶段检测）已知函数的最小正周期是. (1)求函数在上的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 15．（25-26高三上·上海徐汇·期末）函数，的值域是________． 16．（25-26高三上·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 17．（2026高三上·江苏·专题练习）函数，的值域为____________ 18．（2026高三上·江苏·专题练习）若函数的最大值为___________ 19．（23-24高三上·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 20．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 典例四：三角函数的周期性 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的最小正周期是_______． 22．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 24．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 25．（24-25高三上·上海青浦·期中）函数的最小正周期为______． 26．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 27．（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 典例五：三角函数的奇偶性 28．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（25-26高三上·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 30．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. 31．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 32．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 33．（25-26高二下·浙江宁波·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 37．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·上海·期末）已知函数，若，则________． 典例六：三角函数的对称性 39．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当时，取得最大值 C．函数图象的一个对称中心是 D．是函数的一条对称轴 40．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 41．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数的最小正周期为． (1)求及的单调递增区间； (2)求图象的对称中心． 42．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数在的最值． 43．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 44．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位，所得的函数图象关于轴对称 45．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 46．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例七：三角函数的单调性 49．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 50．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 52．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 56．（25-26高三下·河南·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 典例八：根据三角函数的单调性比较大小 59．（25-26高三上·北京延庆·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 60．（25-26高三上·北京·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 61．（25-26高三上·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高三上·甘肃酒泉·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高三上·安徽蚌埠·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 64．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 典例九：的取值范围与三角函数的零点相结合 65．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（    ） A．3 B．6 C．12 D．15 66．（25-26高三上·湖南益阳·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围． 67．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 68．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数 将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象. (1)求函数的对称中心及函数的单调减区间； (2)若，求函数的值域； (3)区间满足在至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 69．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 70．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________. 典例十：的取值范围与三角函数的极值或最值相结合 71．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）记函数的导函数为，且、分别为函数、的零点，若函数在上无极值，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 72．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 73．（2026·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 74．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 75．（25-26高三上·北京海淀·期中）若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 76．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 三角函数的图象与性质（精讲） 第一部分：知识复习 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z ，k∈Z 递减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 无 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2．奇偶性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z). 第二部分：典型例题 典例一：五点作图法 1．（25-26高三上·广西梧州·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）利用五点法的性质可知是正弦函数的三个零点和最高点及最低点，从而可求得振幅，周期及初相，即可求得函数的解析式，进而求出m，n，p的值； （2）利用平移可得函数解析式，再利用余弦函数的性质来求解即可. 【详解】（1）由表格中函数最大值为，最小值为，得振幅； 五点法中，对应的，对应的， 两者间隔为半个周期：，可得周期，因此； 将，，代入得：，解得，满足， 因此函数解析式为：， 则；；； （2）将向右平移个单位，可得：， 令，因此，即得， 即， 函数成立的的取值集合为. 2．（25-26高三上·北京西城·期中）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）结合“五点法”的对应取值，列关于和的方程组求解即可. （2）将看作整体，代入正弦函数的单调递减区间求解不等式即可. （3）先求得内层函数在给定区间的取值范围，再结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【详解】（1）∵ 由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时，. ∴ 列方程组得 ，两式相减得，解得. 将代入，解得，满足. 故，. （2）由（1）得. ∵ 正弦函数的单调递减区间为. ∴ 令. 解左边不等式：，即. 解右边不等式：，即. 故函数的单调递减区间为. （3）当时，∵ . 令，则. ∵ 当时，取得最小值；当时，取得最大值. ∴ ，即在区间上的值域为. 3．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 (2)写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (4)设函数，求函数的值域 【答案】(1)答案见解析 (2)将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度 (3)单调增区间为，对称轴方程为 (4) 【分析】（1）借助五点法计算及画图即可得； （2）利用三角函数平移与伸缩变换的性质即可得； （3）结合正弦型函数性质计算即可得； （4）结合三角恒等变换公式将化简后，结合值域计算即可得. 【详解】（1）补全表格如下： 0 简图如下： （2）将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度， 再将横坐标变为原来的，即可得到该函数的图象； 或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的， 再向左平移个单位长度，即可得到该函数的图象； （3）令，解得， 即该函数的单调增区间为； 令，， 即该函数图象的对称轴方程为； （4）， ， 则， 当时，，则， 当时，； 当时， ； 综上可得：函数的值域为. 4．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 【答案】(1)个关键的点为：，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据五点法可得关键的个关键的点，从而可完善表格； （2）利用整体法求出零点和对称轴可求的值； （3）先讨论函数在上的单调性，再画出相应的函数图象，数形结合后可得交点个数. 【详解】（1）个关键的点为，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 （2）因为是函数的一个零点，且， 所以，解得， 即，又因为，所以. 又因为直线是函数的一条对称轴 所以，解得, 又因为，所以,所以 （3）因为，所以， 令，则， 因为在为增函数，故在上为增函数， 同理在上为减函数，故在的图象如下图所示： 由图可得当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点；当时，有1个交点； 当或时，有2个交点. 5．（25-26高三上·浙江湖州·期末）设函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图； 0 x    (3)求函数，的值域. 【答案】(1)， (2)表格见解析，作图见解析 (3) 【分析】（1）根据周期公式，可得值，代入解析式，根据条件，化简计算，可得值. （2）由（1）知，，根据余弦函数的图象与性质，完成表格，作出图象即可. （3）根据诱导公式、两角差的余弦公式、辅助角公式，化简整理，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的性质，即可得值域. 【详解】（1）由，得， 由，即， 又，所以. （2）由（1）知，， 表格为 0 x 1 0 0 1 再作出图象      （3） ， 由，得， 当时，， 当时，， 所以，即值域为. 6．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1），补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 典例二：三角函数的定义域 7．（25-26高三上·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域． 【详解】要使原函数有意义，必须有，即， 解集为， 取交集可得原函数的定义域为. 8．（25-26高三上·北京·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出，最后应用正弦函数值域得出定义域. 【详解】函数满足， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 9．（25-26高三上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正切函数的性质列不等式即可求出答案. 【详解】由题意得，即， 解得，即， 所以函数的定义域为. 故选：D. 10．（25-26高三上·宁夏银川·期末）函数的定义域是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质，结合正切函数的单调性进行求解即可. 【详解】由函数解析式可知： ，. 故选：D 11．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是______． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 12．（24-25高三上·北京·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 典例三：三角函数的值域或最值 13．（25-26高三上·重庆·期末）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)（）. (2). 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间； （2）根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的值域求出的值域. 【详解】（1）依题化简： ， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）因为 ，所以 ，则 ， 当 ，即 时， 取得最大值 ， 当 ，即 时， 取得最小值 ， 所以 ， 所以 ， 则，即 ， 所以当 时， 的值域为 . 14．（24-25高三上·湖南娄底·阶段检测）已知函数的最小正周期是. (1)求函数在上的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用最小正周期求得，进而利用整体法可求得单调递减区间； （2）由，可得，可求得函数的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的最小正周期. 由，解得. 函数在上的单调减区间为. （2）由（1）得. . 函数在区间上的最大值为2，最小值为. 15．（25-26高三上·上海徐汇·期末）函数，的值域是________． 【答案】 【分析】先根据的取值范围求出的范围，再结合余弦函数的单调性计算值域. 【详解】令，由，可得， 又余弦函数在区间上单调递减，因此在上也单调递减， 当 时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值， 故函数，的值域为. 16．（25-26高三上·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【详解】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 17．（2026高三上·江苏·专题练习）函数，的值域为____________ 【答案】 【分析】令，得到，再利用正切函数的性质求解即可. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 18．（2026高三上·江苏·专题练习）若函数的最大值为___________ 【答案】 【分析】根据的取值正负化简函数，再结合正切函数的单调性分析出原函数的单调性，即可解出. 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 19．（23-24高三上·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 【答案】 【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果. 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 20．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 典例四：三角函数的周期性 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的最小正周期是_______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简所求函数，结合三角函数的周期性即可得解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 22．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】最小正周期，解得， 则， ． 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 24．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最小正周期求出，再根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 25．（24-25高三上·上海青浦·期中）函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 26．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为相邻两对称中心的距离为， 则函数的最小正周期满足， 又由，解得. 27．（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 典例五：三角函数的奇偶性 28．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由三角函数诱导公式结合奇偶性定义逐项判断即可. 【详解】， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，偶函数， ， 定义域为R，，奇函数， 综上偶函数有1个. 29．（25-26高三上·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 30．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. 【答案】 【分析】构造函数，根据奇函数性质得到方程，求出答案. 【详解】，令， 由于， 显然，即， 所以. 31．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可. 【详解】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 32．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合指数幂的运算法则和余弦函数的奇偶性进行运算判断即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， 因为， 所以为奇函数. 故选：A 33．（25-26高二下·浙江宁波·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解. 【详解】由题意可知， 因为为奇函数，所以， 则，而时，；时，， 则的最小值为． 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 35．（25-26高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，即对于函数，若满足，则为奇函数，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数，A错误. 选项B：设，定义域为，关于原点对称， ， 且，为非奇非偶函数， B错误. 选项C：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数， C错误. 选项D：设，定义域为，关于原点对称， ，是奇函数， D正确. 36．（25-26高三·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)非奇非偶函数 【分析】由定义判断奇偶性即可. 【详解】（1）函数的定义域为，且，故为偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数； （3）函数的定义域为， 且，故为偶函数； （4）函数的定义域为， 且 由于，故为非奇非偶函数； 37．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 38．（25-26高三上·上海·期末）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 典例六：三角函数的对称性 39．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当时，取得最大值 C．函数图象的一个对称中心是 D．是函数的一条对称轴 【答案】ABD 【分析】由周期公式可判断A，由整体代换可判断BCD. 【详解】函数， 对于A：函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得 ，取得最大值，故B正确； 对于C：由，得， 由，得，故C错误； 对于D：，取得最小值， 所以是函数的一条对称轴，故D正确. 40．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 41．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数的最小正周期为． (1)求及的单调递增区间； (2)求图象的对称中心． 【答案】(1)ω = 1，增区间为 (2)，． 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用函数的最小正周期为得到，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解； （2）令，，解之即可求解. 【详解】（1） ． ∵最小正周期为，∴， ∴，∴， 令，， 解得，， ∴的单调递增区间为． （2）令，， 解得，， ∴图象的对称中心为，． 42．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数在的最值． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2)在上的最大值和最小值分别为和 【分析】（1）先利用二倍角公式对函数进行化简，再去求解其最小正周期和对称轴； （2）结合第（1）所有的解析式，利用换元法求解在上的最值. 【详解】（1）因为， 由，则的最小正周期为， 令，则， 则的对称轴为. （2）又因为，则， 且当时，，所以， 当时，， 即的最大值和最小值分别为. 43．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据题意，分析函数的最小正周期、对称轴、对称中心，单调减区间，再分别验证即可得解. 【详解】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 44．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位，所得的函数图象关于轴对称 【答案】AC 【分析】根据余弦型函数性质求最小正周期、对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误. 【详解】对于A选项，由函数的最小正周期为，故A选项正确； 对于B选项，由，得， 即的对称中心为，其中. 当时，，故B选项错误； 对于C选项，当时，有，因为在上单调递减，故C选项正确； 对于D选项，平移后的函数为 ， 函数的图象关于原点对称，故D选项错误. 故选：AC 45．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【答案】/ 【详解】对任意，成立，则的图象关于对称， 所以，则， 所以，而，故最小为. 46．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到与的图象均关于直线对称，从而得到，，即可得到答案. 【详解】因为均为偶函数， 所以与的图象均关于直线对称， 所以， 即，. 所以的最小值为2． 故选：B 47．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据最小正周期求出，然后根据正切函数的性质求出对称中心. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 48．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的对称中心的结论列式求解即可. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是. 故选：A 典例七：三角函数的单调性 49．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【详解】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 50．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【详解】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 51．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【分析】以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 52．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 53．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 54．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出内层函数的取值范围，结合余弦函数的单调递增区间列不等式进行求解. 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 55．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BD 【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析. 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 56．（25-26高三下·河南·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调减区间，结合题意，得出不等式组求出的取值范围即可. 【详解】由 可知，解得 又，故的取值范围为 故选: 57．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 58．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 典例八：根据三角函数的单调性比较大小 59．（25-26高三上·北京延庆·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦、正切函数的单调性分析即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 所以. 60．（25-26高三上·北京·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 【答案】 【分析】的最小正周期为，先利用周期性把角度转化到同一个单调区间，再利用单调性比较大小． 【详解】，，， ，， ，， 在区间上单调递增， 因为， 所以，即． 61．（25-26高三上·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：，A错， B：，B错， C：，C对， D：，D错. 62．（25-26高三上·甘肃酒泉·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断. 【详解】，， 由， 则， 故， 显然，即． 63．（25-26高三上·安徽蚌埠·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的值域结合指数函数、对数函数的性质求解问题. 【详解】，即，.故选D. 64．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先利用诱导公式将，，转化为锐角三角函数，再根据正弦函数在上的单调性比较大小. 【详解】 显然是一个负数，所以最小. 又因为在上单调递增，且，所以，即. 所以. 典例九：的取值范围与三角函数的零点相结合 65．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（    ） A．3 B．6 C．12 D．15 【答案】AD 【详解】 ，令， 得或, 即或， 所以相邻的零点间距为或，结合已知条件解得或. 66．（25-26高三上·湖南益阳·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据题意应用三角恒等变换化简结合正弦函数求得的最小正周期和利用整体代入法求得的单调递增区间； （2）由，转化为求三角函数的值域来求得的取值范围. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）令，则， 原题意等价于方程在上有两个解， 当时，， 当时满足方程在上有两个解， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 67．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求出零点表达式，结合零点个数及零点与区间的关系可得答案. 【详解】令得，，即； 当时，，不合题意；当时，；当时，；当时，；当时，； 因为函数在区间上有且仅有3个零点，所以，解得的取值范围是. 68．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数 将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象. (1)求函数的对称中心及函数的单调减区间； (2)若，求函数的值域； (3)区间满足在至少含有100个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）结合正弦函数的对称性及单调性，整体代入法求解即可. （2）根据函数图像平移得到的解析式，结合正弦函数的性质求值域即可. （3）结合正弦函数的性质得到的零点，求出相邻零点的间隔为和，根据至少含有100个零点得到至少有99个间隔，则取最小值时，间隔应尽可能多，进而求解即可. 【详解】（1）令，，解得，， 所以函数的对称中心为. 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）函数图象向左平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到函数的图象，所以. 因为，所以，则， 所以， 即，函数的值域为. （3）令 ，则， 所以或，， 解得或，. 则相邻零点的间隔为或， 要使区间上至少有100个零点，相邻零点间交替出现和的间隔， 要使最小，可取100个零点，此时对应99个间隔，使间隔尽可能多即可， 即50个间隔为，49个间隔为， 所以的最小值为. 69．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 70．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先根据相邻零点距离求周期得，由对称性求确定函数表达式，再转化为正弦方程根的问题，最后通过分析解的个数确定的范围. 【详解】因为是的两个相邻零点，且， 所以的半周期，，即， 所以函数为 ， 由可知的一个对称中心为， 所以，解得， 又，取 ，所以，即， 因为，所以， 令，则问题转化为方程在上有三个实数根， 即的图象与直线有且仅有三个交点， 结合正弦函数图象可知，解得. 典例十：的取值范围与三角函数的极值或最值相结合 71．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）记函数的导函数为，且、分别为函数、的零点，若函数在上无极值，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题知，再由在上无极值可得，从而得到或6，根据三角函数的性质分别讨论的取值可得结果. 【详解】由题知，，，， 所以，解得①， 因为函数在上无极值，所以，解得②， 由①②可知，或6， 当时，可得，则，令，则，满足在上无极值； 当时，可得，则，令，则， 当时，，不满足在上无极值，故. 故选：A. 72．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可. 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 73．（2026·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围. 【详解】由已知在处取得最小值， ，，解得， ∵函数在上单调递减， ，即，， 当时，，，符合条件， . 由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， 的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即， 故选：B. 74．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 75．（25-26高三上·北京海淀·期中）若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照的正负分类讨论，根据正弦函数的图象和性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，则， 根据在的图象可知， 无法使得在区间内恰有两个最值点和三个零点，所以不能为正； 当时，，则， 由函数在区间内恰有两个最值点和三个零点， 故根据在的图象可知， 需满足，解得. 76．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据函数最值得右端点满足的不等式，再结合正弦函数增区间的一般形式得参数满足的不等式组，由两者可求参数的范围. 【详解】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调递增，则， 所以，其中，解得， 所以，解得，又，所以， 因为，当时，；当时，， 又因为，因此，实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $