4.4 简单的三角恒等变换讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦高考三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差、二倍角公式及降幂、辅助角等常用结论，按知识复习与典型例题分层架构。通过公式梳理、结论归纳、分类型典例精讲帮助学生构建知识网络，突破给角求值、给值求角等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以核心素养为导向，采用分类型典例教学，如给值求角型例题结合角的范围分析培养数学思维，辅助角公式应用训练数学语言表达。设置选择、填空、解答题分层练习，配合即时方法总结，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

4.4 简单的三角恒等变换（精讲） 第一部分：知识复习 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [常用结论] 1．两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 2．二倍角余弦公式变形——降幂公式 sin2α＝，cos2α＝. 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 第二部分：典型例题 典例一：给角求值型 1．（25-26高三上·全国·课堂例题）___________． 【答案】/0.5 【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，， ， 所以 . 2．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用和角公式可求值验证A项；运用辅助角公式和诱导公式可得B项；运用两角和的正切公式可以验证C项；利用倍角公式和诱导公式可以判定D项. 【详解】对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C正确； 对于选项D： ，故D错误. 故选：AC. 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC 4．（25-26高三上·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 5．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求的值； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的正弦值计算即可； （2）利用特殊角的正切值及正切的和角公式计算即可； （3）利用二倍角公司、诱导公式统一角化角即可. 【详解】（1） 所以； （2）； （3） . 6．（25-26高三下·甘肃·阶段检测）计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. 典例二：给值求值型 7．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 【答案】/ 【详解】，. . 8．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，…………① ，…………② 联立以上两式可得：，， 所以. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】通过对条件平方，再结合同角三角函数平方关系、两角差余弦公式即可求解. 【详解】由题意，① ② ①+②得 所以． 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过同角三角函数的平方关系联立求解、的值，再代入三倍角公式计算. 【详解】对已知等式两边平方，得： 解得. 由，可知，，且，故， 计算得： 即. 联立方程组，解得，. 代入三倍角公式计算： . 11．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得，根据平方关系求，再根据二倍角余弦公式及两角和余弦公式求结论. 【详解】因为，又， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 12．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可． 【详解】因为， 且， 所以． 13．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系得到，最后根据即可求解； （2）由平方关系得到，最后根据即可求解. 【详解】（1）因为，所以，故， 由，得， . （2）由，且，故，从而， 则. 14．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 16．（25-26高三上·江西抚州·期中）已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】（1）∵，，∴， ∴； （2）∵，，∴， ∵，∴， ∴ ． 典例三：给值求角型 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2），即， . （3）因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 18．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式和正弦两角和公式计算即可； （2）利用诱导公式五六，同角三角函数关系式以及两角和与差的余弦公式分析求解即可. 【详解】（1）因为是锐角，，所以， 由，解得：， 所以. （2）由得：， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 由 ， 又，所以. 19．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【详解】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 20．（25-26高三上·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________． 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 21．（25-26高三上·北京·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和余弦公式求出，再根据角的范围求角. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 22．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据题设进行拆角，利用和角公式联立求出与的值，进而再次利用拆角求出的值，结合角的范围确定答案. 【详解】因为， 展开得① 又由，可得② 由①②解得，， 又由， 由，可得， 又因，则， ，可得， 故 【点睛】关键点点睛：求解给值求角问题的关键有二：（1）确定角的范围．根据题目条件及求解过程确定所求角的范围，这是避免多解的关键；（2）求三角函数值．选择在给定范围内单调的三角函数，通过恒等变换求出目标角的三角函数值，确定角的大小． 23．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 24．（25-26高三上·全国·课堂例题）若，，且，，则______ 【答案】/ 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，并求出的取值范围，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因，则， 故 ， 因为，，所以，故. 25．（25-26高三上·全国·课堂例题）（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 【答案】 【详解】（1）均为锐角，，． ． 又，． 故． （2）． ， ． ． 26．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知. (1)若，求的值； (2)已知，，且、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，由可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值； （2）由结合两角和的正切公式求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得的正弦值和余弦值，求出的值，进而可求出的值，求出的取值范围，即可得出的值. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以 . （2）由，解得， 所以， ， 由，得， 所以 ， 因为，，所以，故， 又，，所以，故， 所以，故． 典例四：三角函数式的化简 27．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差化角与积化和差公式化简题设等式，代入条件，利用二倍角公式将其整理成关于的一元二次方程即可求解． 【详解】由，可得（*）， 因为，， 代入（*）可得． 因为，则，， 则得， 即， 设,则得,即． 因为，所以，解得,即． 28．（25-26高三上·江西南昌·期中）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 29．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 30．（25-26高三上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （2）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . 31．（25-26高三上·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及和（差）角公式计算可得. 【详解】 ． 故选：B． 32．（2026高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】根据同角三角函数基本关系切化弦及两角和差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 33．（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)在中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数进行化简，将代入化简后的，得到关于的三角函数等式，先确定的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出相关三角函数值，最后进行求解 （2）代入化简后的，结合三角形内角和求出的值，再将转化为只含的三角函数，根据的范围，利用正弦函数的单调性确定其取值范围 【详解】（1） 已知，代入化简后的： 已知，则，该区间内余弦值为负： （2）已知，即 在中，，故，得， 则，，且. 由，得， 故，因此 34．（25-26高三下·湖南·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先对，进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系式计算得出，再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为的关系式，最后用换元法，结合基本不等式计算求解得到最小值. 【详解】，得， 由正弦定理得，， 化简得，. 若，则为钝角，且， 则中至少有一个小于零， 即中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以. 因为， 所以. 令，则，且，即. 因为，所以，即， 所以，即， 所以. 所以的最小值为. 典例五：三角恒等变换的应用 35．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 36．（2026高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. 37．（2026高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式变形得恒等公式：，将题中已知条件代入恒等公式并化简即可得，求得值，结合在 中，角的正切的范围即可从而得出结论. 【详解】解：由两角和的正切公式变形得： ， ∴ 将 代入恒等公式并化简：   解得 ，或 因为在中，故角的正切不为0，舍去； 有正切的负值最多有一个，否则角度和超过π，舍去．故 故答案为：2 38．（25-26高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 39．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 40．（25-26高三上·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 简单的三角恒等变换（精讲） 第一部分：知识复习 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [常用结论] 1．两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 2．二倍角余弦公式变形——降幂公式 sin2α＝，cos2α＝. 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 第二部分：典型例题 典例一：给角求值型 1．（25-26高三上·全国·课堂例题）___________． 2．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求的值； (2)； (3). 6．（25-26高三下·甘肃·阶段检测）计算（   ） A．2 B． C． D． 典例二：给值求值型 7．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 8．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知，，则______. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的值． 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 14．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·江西抚州·期中）已知，，，． (1)求； (2)求． 典例三：给值求角型 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 18．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 19．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 20．（25-26高三上·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________． 21．（25-26高三上·北京·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． 23．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______. 24．（25-26高三上·全国·课堂例题）若，，且，，则______ 25．（25-26高三上·全国·课堂例题）（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 26．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知. (1)若，求的值； (2)已知，，且、，求的值． 典例四：三角函数式的化简 27．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·江西南昌·期中）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 30．（25-26高三上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 31．（25-26高三上·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 33．（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)在中，若，求的取值范围． 34．（25-26高三下·湖南·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 典例五：三角恒等变换的应用 35．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（2026高三·全国·专题练习）在中，求证：. 37．（2026高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 38．（25-26高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $