4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式讲义——2027届高三数学一轮复习

第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式 知识清单 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：________________(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝________. 2．三角函数的诱导公式 角 函数名 sin α cos α tan α 2kπ＋α(k∈Z) ________ ________ ________ －α ________ ________ ________ π＋α ________ ________ ________ π－α ________ ________ ________ －α ________ ________ — ＋α ________ ________ — 【常用结论】 1．弦切互化变形：sin2α＝，cos2α＝，sinαcos α＝，其中α≠＋kπ，k∈Z. 2． 也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐．” 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　) (2)对任意角α，＝tan 都成立．(　　) (3)若cos (α－22°)＝，则sin (α＋68°)＝－.(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 2．(人教A版必修一P184练习T1改编)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．(人教A版必修一P195习题T5改编)已知sin ＝，则cos (2 025π＋α)＝________． 4．(人教A版必修一P190例2)化简： . 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　同角三角函数基本关系式 考向1　“知一求二”问题 例1 若θ∈，且满足tan θ＝－3，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：已知sin α，cos α，tan α中的一个值求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P185T6(3)改编)已知tan α＝－，则sin α＝(　　) A．－ B． C．± D．± 考向2　sin α，cos α的齐次式问题 例2 已知tan α＝2. (1)求的值； (2)求sin2α＋sinαcos α的值． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解； (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求解． 　跟踪训练　(2026·肇庆模拟)已知tan α＝－2，则的值为(　　) A． B．－ C．3 D．－3 考向3　“sinθ±cos θ，sin θ·cos θ”之间的关系应用 例3 (多选)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．tan θ＝－ D．sin2θ－cos2θ＝ [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)对于三角函数式sinθ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化． (2)求sin α＋cos α，sin α－cos α的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断． 　跟踪训练　(2026·赤峰一模)已知锐角α满足sin α－cos α＝，则tan α的值为(　　) A． B． C． D． 命题点二　诱导公式的应用 例4 (1)(2026·大连模拟)若点P(4，－3)在角α的终边上，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知cos ＝，则sin ＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： 1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)互余的角：－α与＋α；＋α与；＋α与－α等；(2)互补的角：θ与－θ；＋θ与－θ等． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修一P193例4改编)化简： ＝________． (2)已知sin ＝，则cos 的值为________． 命题点三　同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知函数 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α∈，f＝，求＋2cos 的值． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论之间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响． 　跟踪训练　(1)已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan (α＋π)＋＝________． (2)若，则tan θ＝________. 提示：请完成课时作业23 第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2) 2．sin α　cos α　tan α　－sin α　cos α　－tan α　－sin α　－cos α　tan α　sin α　－cos α　－tan α　cos α　sin α　cos α　－sin α 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：∵cos α＝－，且α为第三象限角， ∴sin α＝－＝－，∴tanα＝＝. 答案：B 3．解析：因为sin (＋α)＝－cos α＝， 所以cos (2 025π＋α)＝－cos α＝. 答案： 4．解析：原式＝＝－cos α. 考教衔接·活用教材 例1　解析：∵θ∈(，π)，可得sin θ>0，cos θ<0，由即解得sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝.故选A. 优解：∵θ∈(，π)，且tan θ＝－3，∴在θ终边上取点P(－1，3)，则sin θ＝，cos θ＝，∴sin θ＋cos θ＝＝.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：∵tan α＝－，∴＝－，∴sin α＝－cos α，∵sin2α＋cos2α＝1，∴(－)2cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，∴sin2α＝，sinα＝±.故选C. 优解：∵tan α＝－<0，∴α是第二或第四象限角．若α是第二象限角，则在α终边上取点P(－4，3)，得sin α＝；若α是第四象限角，则在α终边上取点P′(4，－3)，得sin α＝－.故选C. 答案：C 例2　解析：(1)＝＝＝. (2)sin2α＋sinαcos α＝＝＝＝. 跟踪训练　解析：因为tanα＝－2，所以＝＝＝3.故选C. 答案：C 例3　解析：对于A，由sinθ＋cos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝，化简得sin θ·cos θ＝－，故A正确；对于B，由sin θ·cos θ＝－<0，θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，∴sin θ－cos θ＝，故B正确；对于C，由解得∴tan θ＝－，故C错误；对于D，sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝＝，故D正确．故选ABD. 答案：ABD 跟踪训练　解析：由题意，sin α－cos α＝　①，则（＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋＝，因为α为锐角，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝　②，由①和②联立可解得sin α＝，cos α＝，所以tan α＝＝.故选B. 答案：B 例4　解析：(1)由点P(4，－3)在角α的终边上，可得cos α＝，则＝＝－＝－.故选A. (2)sin (－α)＝sin ＝cos (α＋)＝. 答案：(1)A　(2) 跟踪训练　解析：(1)原式＝ ＝ ＝－＝－tan α. (2)因为sin (α－)＝，所以cos (－α)＝sin (－α)＝sin (－α)＝－sin (α－)＝－. 答案：(1)－tan α　(2)－ 例5　解析：(1)f(α)＝ ＝＝sin α. (2)因为f(α)＝sin α，所以f(α＋)＝sin (α＋)＝， cos (＋α)＝cos ＝－sin (α＋)＝－， cos (－α)＝cos ＝－cos (α＋)． 因为α∈(－)，所以α＋∈(0，)，cos (α＋)＝. 故cos (－α)＝－，因此cos (＋α)＋2cos (－α)＝－. 跟踪训练　解析：(1)tan (α＋π)＋＝tan α＋＝＝.因为sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以原式＝＝＝－. (2)因为＝＝，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 答案：(1)－　(2)－3 学科网（北京）股份有限公司 $