4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 (3)由已知得，l+2R=20, 所以S=号R=号(20-2R)R=10R-R=-(R-5 +25. 所以当R=5时，S取得最大值25cm, 此时l=10a=2. 跟踪训练 1.ABC[设扇形半径为r,圆心角孤度数为a, 12r十ar=6, 则由题意得{1 2a2=2, 解得1或=2 1a=4 a=1, 可得圆心角的孤度数是4或1.] 2.解析：如图所示，过点B作太阳光的平行线，与OA的延 长线交于点C, B1 B C 太阳光 B 地球 A *0 则∠B1BC=B,∠BCO=a,所以∠AOB=B-a, 设地球半径为R,则根据孤长公式得R(B-a)=L, 所以R=B一a L 答案：g一a 题型3 [例3-1](1)[解析]设P(x,y).由题意知x=-√3，y =m所以r2=OP2=(-√3)2十m2(0为坐标原点)， 即r=√3+m,所以sina=m=2m=m r422 所以r=√3十m2=2√2，即3十m=8,解得m=士√5. 当m=5时，osa=一，ana=-3,当m三5时 3 cos a=- 4,tana=y⑤ 3 [答案] 6 3 (2)[解析]P(a,2a)为角a的终边上一点，且a≠0， ∴.当a>0时，sina= 2a 2a=25 √a+(2a) 5a5 a 3√5 cos a= √a2+(2a) 号，2sina-cosa= 5 当a<0时，sina=-25 51 c0sa=- 51 2sin a-cos a=35 5 综上可知，2sina-cosa=±3y5 5 「答案]CD [例3一2](1)[解析]300°=360°-60°，则300°是第四 象限角，故sin300°<0，-305°=-360°十55°，则-305 是第一象限角，故c0(一35)>0，而一号=一8数十红，所 3 以一号是第二象限角，故1m 22π 3 <0,因为3π< 10<受，所以10是第三象限角，故sin10<0, [答案]AB ·3 (2)[解析]由sin atan a<0可知sina,tana异号， 则a为第二或第三象限角.由osg<0可知cosa,lana异 tan a 号，则α为第三或第四象限角.综上可知，《为第三象限角. [答案]C 跟踪训练 4 1.D[因为角a的终边经过点(3，一4)，所以sina=一 5 c0sa=号所以n6叶。一专+号-是] 2.AC[图为1rad≈57.3°，所以a=3rad≈171.9°为第二 象限角，所以sina>0,cosa<0,tana<0,即B,D都错， A,C正确.门 §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 复盘·必备知识必备知识掌握 ksna+oda=le2ama(e营+，cz） 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)X 5 2.D[因为a是第四象限角，且sina=一13： 所以ms。=厂a-是所以m&部8 5 12J 3.CD[sin(-x)=-sinx,故A不成立； m(受-)co,故B不成盏 cos(受十x)-simx,故C成立： C0s(x-π)=-c0sx,故D成立.] 4解析：子<a<受 4 .'cos a<0,sin a<0 cos a>sin a, .∴.cosa-sina>0. (cos a-sin a)2=1-2sin acos a=1-2X- 13 、8-4 cos a-sin a 2· 答案9 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]因为tana=-3, 则sin'a-sina_sin'a-sina_（sin'a-l)sina sim(a+受) cos a cos a -sin acos a cosa十sina =。品 [答案]C [例1一2][解析]因为角a的终边上有一点P(1,2), 所以tana=2. sin'a sin'a 所以1-3 sin acos a sin a+cosa-3 sin acos tan a 22 tan'a+1-3tana22+1-3×2 =-4. [答案]-4 [例1-3][解析](1)由sina十cosa= 平方得sin'a十2 sin acos a+cosa=25: 整理得2 sin cos=一25· 24 4 .'sin a-cos a)2=1-2sin acos a= 49 25 由a∈（一π，0），知sina<0, 义sina十cosa>0, .cosa>0,则sina一cosa<0, 故sina一cosa= 7 5 (2)sin 2a2sina2sin a(cos asin a) 1-tan a 1-sin a cos a 2sin acos a(cos a-sin a) cos a-sin a 24 1 24 7 175· 5 跟踪训练 1,A[由三角函数定义，得ana=2sna 3,所以g= 3 cos a 2sin a' 则2(1-cos2a)=3cosa,所以(2cosa-1)(cosa十2)=0， 则ms=子] 60 2.解析：方法一 由sin8十cos9=3,得sin9os0= 1691 因为9∈(0，π)，所以sin0>0,cos0<0, 所以sin0-cos0=√1-2sin0cos0= 17 13 sin 0-cos 7 13’ 联立 17 解得 sin 0-cos0=13 cos = 5 13 所以tan0= 12 5 7 方法二 因为sin0十cos0= 131 所以sin Ocos8= 60 169 由根与系数的关系，知sin0,cos0是方程x2 7 60 132-169 12 5 =0的两根，所以工=贵西=一 又sin0cos0=- 0<0,9c0,x 所以sin8>0,cos0<0. 所以sin9=12」 13os0=3 所以tan0= sin 0 12 cos 0 5 3,得sin dcos9= 60 方法三 由sin0+cos8= 1691 sin Ocos 0 60 所 sin0+c0s'9-1691 齐次化切，得tan日 60 tan01 169' 即60tan0+169tan0+60=0, 解得tan0= 12或tan8=一2， 5 5 7 (,sin 0cos 0=130,sin dcos = 所以0e(受，要)所以1an0=- 答案：一 12 题型2 「例21 [解析](1)对于A,tan(π十l)=an1,故A正确； 对于B,an360-a） sin(-a) 一sing=sing=osa,故B正确； -tan a sin a cos a ·39 参考答案 对于C,sin(π-a) sin a =一tana,故C不正确： c0s(π十a) -cos a 对于D,cos(r一a)tan(-元-a -cosa·(-tana）= sin(2π-a) -sin a cosa·sina cos a =-1,故D不正确. sin a [答案]AB (2)[解析]由0<a<元可知0<号<受，因为0s号 所以血号-，所以m=2血号号 =2× 5 所以sin(a-）=sin-牙 [答案]D 跟踪训练 1.C[由已知可得-2tana十3sinB+5=0. tan a-6sin B-1=0, 联立上面两式得tana=3,， 又a为板角，成m8=3] 2.解析：因为f(a)=一2sina)(-cosa)十cosg 1十sina十sina-cosa -2sin acos a+cos acos a(1+2sin a)1 2sin'asin a sin a(1-2sin a)tan a 所以（一2） 23π 23π tan 6 1 an号 =√3. tan(-4x+6 答案：W 题型3 [例3][解] f(a)-sin a cos a'tan a -cos a. (-tan a).sin a 1cosa-） 1 -sina,∴.sina= 5 α是第三象限的角， .cos a= _26 5 f(a)=-cos a=26 5 (2)f(-1860)=-c0s(-1860°)=-c0s(-60°)= 21 跟踪训练 4 os(+a=， 4 .sin a= ma<0.∴osa=√1-（停） y厘，∴cos(-a)+sin(受-）tana =一c0sa十sina= 4+√.] 7 5第四章三角函数与解三角形 (2)[多选]角a的终边上一点P(a,2a)(a≠0)， (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终 则2sina一cosa的值可取 ( 边上一点P的坐标中的参数值，可根据 复 B.一 c. D.-35 定义中的两个量列方程求参数值（如例 5 5 5 3-1). [角度2]判断三角函数值的符号 (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α 工例3-2] (1)[多选]下列各选项中正确 的大小，根据三角函数的定义可求角 的是 ( ) 终边上某特定点的坐标， A.sin300°<0 B.c0s(-305°)>0 :跟踪训练 22 C.tan 3π>0 D.sin 10>0 1.已知角a的终边经过点(3，一4)，则sina十 (2)若sin atan a<0,且cosa<0,则角a是 1 一等于 () tan a cos a A-吉 B37 15 A.第一象限角 B.第二象限角 c别 2.[多选]若角a=3rad(rad为弧度制单位)， C.第三象限角 D.第四象限角 规律方法 则下列说法正确的是 A.sin a>cos a B.a是第三象限角 三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角 C.sin a>0 D.tan a>0 α的三角函数值.先求P到原点的距离， C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关21 再用三角函数的定义求解 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 ★[考试要求] L.理解同角三角函数的基本关系式sin'a十cosa=l,sina=tana,2.掌握诱导公式，并会简单应用. cos a 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)平方关系： sin a=1-cos'a=(1+cos a)(1-cos a); cos'a=1-sin'a=(1+sin a)(1-sin a); (2)商数关系： (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. 2.三角函数的诱导公式 自主诊断查验 公式 一 二 三 四 五 六 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 2kπ十a 或“X”) 角 元十度 十C (k∈Z) (1)若a,3为锐角，则sina十cos23=1.（) 正弦 sin a (2)若a∈R,则tana=sin恒成立.() cos a 余弦 cos a (3)sin(π+a)=一sina成立的条件是a为 锐角， () 正切 tan a -tan a (④若snx-e)-导ez0.则sine=景 口诀 奇变偶不变，符号看象限 ( 73· 高考总复习数学 2.若sina=一 上3，且a为第四象限角，则tana日 A.sin(-x)=sin ( ) cos x 号 且-号 C.cos--sin n-是 D.c0s(x-π)=一c0sx 3.[多选]已知x∈R,则下列等式恒成立的是 4.已知sin acos a= 且野<a<经则cs ) -sina的值为 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 同角三角函数基本关系式 卜[角度1弦切互化 [例1-1] 已知tana=-3,则sin'a-sina sma+ A.- C.0 D.- 10 规律方法 ●[角度2]“1”的变换 (1)利用sina十cos2a=1可实现正弦、余弦 [例1一2]已知角α的顶点为坐标原点，始边 的互化，开方时要根据角α所在象限确 为x轴的正半轴，终边上有一点P(1,2),则 定符号；利用sinc=tana可以实现角a sin'a cos a 1-3sin acos a 的弦切互化. D[角度3]sinx+cosx,sinx-cosx, (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin xcos x之间的关系 sin a+cos a,sin acos a,sin a-cos a 1 例1-3]已知a∈(-元，0)，sina十cosa= 三个式子，利用(sina士cosa)2=1士 5 2 sin acos a,可以知一求二. (1)求sina-cosa的值； (3)注意公式逆用及变形应用：1=sina十 （2)求in2a+2sinc的值. 1-tan a cos'a,sin'a 1-cos'a,cos'a 1- [尝试解答] sin'a. 日跟踪训练 1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的 非负半轴重合，终边上一点A(2sina,3) (sina≠0)，则cosa= () A. 1 B c. D.一 2 2.已知sin0+cos0= 13,0e(0,x),则ang ·74· 第四章三角函数与解三角形 题型2 诱导公式 题型3 同角三角函数基本关系式和 [例2] (1)[多选]下列化简正确的是( 诱导公式的综合应用 A.tan(π+1)=tan1 工例3 已知a是第三象限角，且f(α) B sin(-a) sin(π-a)·cos(2π-a)·tan(a+π) tan(360°-a) -cos a tan(-a-π)·sin(一a-π) C.sin(r-a) =tan a cos(π+a) 若cos。--日求e)的值： D.cos(x-a)tan(x-a)-1 (2)若a=-1860°，求f()的值， sin(2π-a) 注：（统一角：小角或已知角） (2)(2025·全国二卷)已知0<Q<π，cos2 [尝试解答] ( A将 c 规律方法 1.诱导公式用法的一般思路 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为止. (2)角中含有加减5的整数倍时，用公式去 掉受的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 正十 (1)常见的互余的角：管-。与答十@： 与-a:+a与-a等. 规律方法 (2)常见的互补的角：行十0与 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求 3 值或化简时，关键是寻求条件、结论间的 与3-0等。 联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 日跟踪训练 日跟踪训练 1.已知a为锐角，且2tan(π-a)-3cos 7,tana<0,则cos(元-a) + +5=0,tan(π+a)+6sin(π+3)-1 +sm-a ·tana= =0,则sina的值是 ( A B37 C.30 A4-33 B.4+33 7 10 2.设f(a)= 2sin(π十a)cos(π-a)-cos(π十a) C.-4+33 D.-4-33 7 C温馨提西 23π 1+2sina≠0)，则f-8) 学习至此，请完成配套训练 课时冲关22 ·75