期末常考题型重难点题专练（一）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 覆盖七年级下册核心知识点，以几何图形、代数运算、概率统计为模块，通过综合题型考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形|选择1/5/7/8/18/20/21/24/25|轴对称、三角形证明与计算|从图形性质到逻辑推理，体现空间观念| |代数运算|选择2/4/9/10、填空11/12/16、解答17|整式运算、科学记数法、函数关系|从概念到应用，培养运算能力与符号意识| |概率统计|选择3/6、填空14、解答19|随机事件、概率计算|结合实际情境，发展数据意识| |综合应用|解答22/23|函数与实际问题、规律探究|跨知识整合，提升模型意识与创新意识|

2025-2026学年新北师大版数学七年级下册期末常考题型重难点题专练（一） 一、选择题 1．中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列事件中不是随机事件的是（　　） A．打开电视机正好在播放广告 B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球 C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书 D．明天太阳会从西方升起 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 7．如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以 9．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 二、填空题 11．计算：_______． 12．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________． 13．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是_______度． 14．如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____． 15．如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 _______． 16.若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为______． 三、解答题 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18．如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）； (3)求的面积． 19．一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球． (1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B． ①如果事件A是必然事件，则 ， ； ②如果，则 ， ； (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 20．如图，为等腰直角三角形，，，点在的延长线上（）．连接，E为边上一点，且，连接并延长交于F． (1)猜想与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 21．如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与之间的距离为6，，求的值． 22．小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计） (1)求公交车的平均速度． (2)求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧． (3)在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值． 23．【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 24．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 25．【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3） 如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C D A A D D 二、填空题 11． 12．27 13． 14． 15．12 16． 三、解答题 17．【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 当时， 原式． 18．【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． （3）的面积为 19．【详解】（1）解：①事件A是必然事件， 8个球都是红球， ，， 故答案为：，； ②， ， 红球和白球各占一半， ，， 故答案为：，； （2）解：设取走个白球，则红球的个数为（）个， 从袋中摸出一个球是红球的概率是， ， 解得：， 答：取走个白球． 20．【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至H，使， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为． 21．【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点H，如图所示： ∵与之间的距离为6， ∴， ∵， ∴由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， ∴． 22．【详解】（1）解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟． ∴公交车的平均速度米/分钟． （2）小慧出发时距离地1800米，则有． 小敏坐公交车时，设，把，代入可得： 解得 所以小敏坐公交车时（）． 联立得， 解得：， 所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧． （3）情况一：小敏在小慧后面400米， 解得． 情况二：小敏在小慧前面400米 此时 解得， 综上，t的值 为23或27． 23．【详解】解：（1） ， 即的结果是5的13倍； （2） ， ∵， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m， ， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 24．【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； ∴， 如图，过点作，交于点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 又， ∴； 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵的面积为，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为． 25．【详解】（1）解：过点作， ， ． ，． ． 即； （2）证明：在三角形中， ， ， ． ∵， ． ∴； （3）解：平分，， ． 设， ． 在（2）的条件下， ． 在（2）的条件下，， ， 解得：， ． 设， 平分， ． ， ． ． ， 在（2）的条件下，， 同理可得：． 即， 解得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $