2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末重难点突破训练

**基本信息** 聚焦七年级下册代数几何核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖完全平方、三角形全等、函数图像等高频考点，强化知识内在逻辑与综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|19题|概念辨析与几何推理结合，如完全平方参数、三角形折叠角度计算|从代数公式（完全平方、平方差）到几何性质（平行线、全等、轴对称），形成概念应用链| |填空|10题|公式直接应用与几何综合，如代数式求值、角平分线性质|强化基础计算与几何模型（等边三角形、角平分线）的关联| |解答|7题|综合证明与实际应用，如三角形全等证明、函数图像分析|从代数化简到几何证明，再到实际问题建模，体现“概念-推理-应用”递进逻辑|

期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版 七年级下册 板块一：选择题 1．如果，那么的值为（　　） A．49 B．7 C．﹣7 D．7或﹣7 2．若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 3.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 4.如图，，，，则等于（ ） 如 A． B． C． D． 5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 6.如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式(        ) A． B． C． D． 8．对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值为（       ） A． B． C．0 D．1 9.如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A．28 B．14 C．21 D．7 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（　　） A．80° B．60° C．50° D．40° 11.如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 12.如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 13.如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 14.如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 15.如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（　　） A．2∠E+∠D＝320° B．2∠E+∠D＝340° C．2∠E+∠D＝300° D．2∠E+∠D＝360° 16.如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．60° B．30° C．45° D．50° 18.下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：(1)一杯越晾越凉的开水(水温与时间的关系)；(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系)；(3)足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)；(4)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是(　　) A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④② 19.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 板块二：填空题 1．若x﹣y＝3，xy＝2，则x2+y2＝　 　． 2.已知三角形的面积为﹣9m4﹣3a2m3+am2，一边长为3m2，则这条边上的高为 　 　． 3.某超市进了一批草莓，出售时销售量x与销售总价y的关系如下表： 销售量x(kg) 1 2 3 4 … 销售总价y(元) 40＋0.5 80＋1.0 120＋1.5 160＋2.0 … 根据上表中的数据写出销售总价y(元)与销售量x(kg)之间的关系式：___________． 4.如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝　 　°． 5.园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(平方米)与工作时间t(小时)的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为__平方米． 6.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边落在另一块三角板的斜边上，边与交于点，则的度数是 ． 7.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有　 　． 8．如图，在边长为的正方形中央剪去一个小正方形，将剩余部分按图中所画的线剪开，得到形状和大小相同的四个“”形，正好拼成一个矩形（如图右），则该矩形的面积为__________． 9．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 10．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 板块三：解答题 1.先化简，再求值： ，其中＝2，＝－3． 2．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数． 3.为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒(不少于6个)．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元． (1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 4.一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： (1)开始时，汽车的油量______升； (2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； (3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 5．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 6.如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 7.如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版 七年级下册 板块一：选择题 1．如果，那么的值为（　　） A．49 B．7 C．﹣7 D．7或﹣7 【答案】D。 2．若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】D 3.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 【答案】B 4.如图，，，，则等于（ ） 如 A． B． C． D． 【答案】C 5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 【答案】B 6.如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 7．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式(        ) A． B． C． D． 【答案】D。 8．对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值为（       ） A． B． C．0 D．1 【答案】A。 9.如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A．28 B．14 C．21 D．7 【答案】A 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（　　） A．80° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 11.如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 12.如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 【答案】C 13.如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 14.如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 15.如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（　　） A．2∠E+∠D＝320° B．2∠E+∠D＝340° C．2∠E+∠D＝300° D．2∠E+∠D＝360° 【答案】C。 16.如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D。 17.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．60° B．30° C．45° D．50° 【答案】A 18.下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：(1)一杯越晾越凉的开水(水温与时间的关系)；(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系)；(3)足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)；(4)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是(　　) A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④② 【答案】A 19.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 板块二：填空题 1．若x﹣y＝3，xy＝2，则x2+y2＝　 　． 【答案】13． 2.已知三角形的面积为﹣9m4﹣3a2m3+am2，一边长为3m2，则这条边上的高为 　 　． 【答案】﹣6m2﹣2am+a。 3.某超市进了一批草莓，出售时销售量x与销售总价y的关系如下表： 销售量x(kg) 1 2 3 4 … 销售总价y(元) 40＋0.5 80＋1.0 120＋1.5 160＋2.0 … 根据上表中的数据写出销售总价y(元)与销售量x(kg)之间的关系式：___________． 【答案】 4.如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝　 　°． 【答案】125． 5.园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(平方米)与工作时间t(小时)的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为__平方米． 【答案】50 6.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边落在另一块三角板的斜边上，边与交于点，则的度数是 ． 【答案】105° 7.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有　 　． 【答案】①②④⑤。 8．如图，在边长为的正方形中央剪去一个小正方形，将剩余部分按图中所画的线剪开，得到形状和大小相同的四个“”形，正好拼成一个矩形（如图右），则该矩形的面积为__________． 【答案】 9．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 10．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】． 板块三：解答题 1.先化简，再求值： ，其中＝2，＝－3． 【答案】 解：原式＝ ＝ ＝ 当＝2，＝－3时，原式＝. 2．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数． 【答案】（1）证明：∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， 又∵∠BCD=∠EDC=90°， ∴∠ACB=∠ADE， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS） （2）解：当∠B=140°时，∠E=140°， 又∵∠BCD=∠EDC=90°， ∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80° 3.为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒(不少于6个)．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元． (1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1)， (2)24个 (1) 解：由题意得：，即， ，即． (2) 解：令，则， 解得，符合题意， 答：购买24个文具盒时，两种方案所需费用相同． 4.一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： (1)开始时，汽车的油量______升； (2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； (3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 【答案】(1)42；(2)5 ， 24  ，；(3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升． 【详解】解：(1)由图象可知，开始时，汽车的油量42升， 故答案为：42； (2)由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升， ∵加油前汽车每小时的耗油(42-12)÷5=6(升)， ∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t， 故答案为：5  ，24 ， ； (3)由题意，加油后汽车每小时的耗油6升， ∴加油后剩余油量Q=(升)， 故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升． 5．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)287200 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 6.如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 7.如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）略 在或使得△ACP与△BPQ全等． 【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3， 又∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°， 即线段PC与线段PQ垂直． （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，， 解得； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， ， 解得； 综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等． 学科网（北京）股份有限公司 $