2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时8 概率和其他知识的交汇

该高中数学讲义聚焦概率与统计、数列、导数的交汇考点，契合新高考在知识网络交汇处命题的要求。通过考情分析明确方向，分考点扫描（含例题精讲、规律方法总结、对点训练），构建“考点梳理-方法指导-真题演练”的复习体系，帮助学生系统突破难点。 资料以数学建模和逻辑推理为核心，创新设计跨知识模块训练，如概率与数列交汇中构造等比数列求递推概率，概率与导数结合用极大值点估计黑球数目。分层练习与即时反馈保障复习效果，助力学生提升数学眼光与思维，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

课时8 概率和其他知识的交汇 一、考情分析 新高考以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题，突破定势.近几年将概率与统计、数列、函数、导数结合，成为创新问题，考查考生的创新能力和数学建模等核心素养． 二、考点扫描 考点一 概率与统计的交汇 例1 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数. (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望. (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大. 规律方法： 对点训练 （2025·河北唐山市开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）/小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差. (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 考点二 概率与数列的交汇 例2 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1) 求第2次投篮的人是乙的概率． (2) 求第i次投篮的人是甲的概率． (3) 已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． 规律方法： 对点训练 （2025·重庆期初考试）王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率． (1) 用pn－1表示pn(n≥2)； (2) 求pn(n≥2)． 考向3 概率与导数的交汇 例3 某盒子内装有60个小球(除颜色之外，其他完全相同)，其中有若干个黑球，其他均为白球.为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，作为一次实验结果.进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目xi.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1). (1)求X的分布列. (2)实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目xi如下表所示. i 1 2 3 4 5 xi 2 3 2 3 3 设函数. ①求f(p)的极大值点p0； ②根据①估计该盒子中黑球的数目，并说明理由. 规律方法： 对点训练 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 课时8 概率和其他知识的交汇参考答案 二、考点扫描 例1【解】（1）果径的频率为，果径的频率为.故果径的中位数在，不妨设为， 则，解得，所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为. （2）果径的频率之比为，所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2，故随机变量的所有可能取值为，则，，，.所以的分布列如下： 0 1 2 3 期望. （3）依题意知，这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则，则，令，解得，故当时，，即当时，，即所以，即一级果的个数最有可能为30. 对点训练 【解】（1），所以估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15. ，所以估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66；所以均值为15，方差为1.66. （2）因为17小时，18小时两组的频率之比为，所以在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人，再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，可取0，1，2，3.；；；.的分布列如下： 0 1 2 3 例2【解】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6． （2）设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2．构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－，则pi＋1－＝．又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，即pi－＝×i－1，pi＝×i－1＋． （3）因为pi＝×i－1＋，i＝1,2，…，n，所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝＋，故E(Y)＝＋． 对点训练 【解】（1）设一次性抛掷4枚均匀硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～B，P(ξ＜3)＝C×4＋C×4＋C×4＝，则P(ξ≥3)＝1－P(ξ＜3)＝．用An－1表示事件“第(n－1)天王先生选择的是骑自行车出行”，An表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行”，由全概率公式知pn＝P(An)＝P(An|An－1)P(An－1)＋P(An|An－1)P(An－1)＝pn－1·P(ξ＜3)＋(1－pn－1)·P(ξ≥3)＝pn－1＋(1－pn－1)＝pn－1＋，所以pn＝pn－1＋(n≥2)． （2）由(1)知pn－＝，n≥2.因为p1＝1，所以p1－＝，所以pn－≠0，所以＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而pn－＝×n－1，于是pn＝×n－1＋(n≥2)． 例3 【解】　(1)从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，因为从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1).所以X～B(4，p)，所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4 (2)①由(1)可知，f(p)＝＝2ln[6p2(1－p)2]＋3ln[4p3(1－p)]＝8ln 2＋2ln 3＋13ln p＋7ln(1－p)，所以f′(p)＝－＝.令f′(p)＝0，解得p＝，所以当p∈时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当p∈时，f′(p)<0，f(p)单调递减，所以f(p)存在唯一的极大值点p0＝. ②估计盒子中黑球的数目为60p0＝39.理由如下：由①可知，当且仅当p＝时，f(p)取得最大值；即取得最大值，出现上述实验结果的概率最大，所以可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为39是合理的. 对点训练 （1）【解】. （2）【证明】设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根.综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故.又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，. （3）【解】意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. . 学科网（北京）股份有限公司 $