2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时4 事件的独立性与条件概率

该高中数学讲义聚焦事件的独立性与条件概率高考核心考点，涵盖条件概率定义及性质、事件独立性判定、全概率公式应用，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描逻辑架构知识体系，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题规律，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破概率难点。 资料以真题案例驱动教学，如结合2025年模拟题设计条件概率计算、独立事件判断等情境问题，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合规律方法总结与即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时4 事件的独立性与条件概率 一、课标要求 1．理解两个随机事件独立性的含义，会利用独立性计算概率. 2．理解条件概率，会计算简单随机事件的条件概率. 3．理解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率. 4．了解全概率公式，能计算相关事件的概率． 二、知识梳理 1．条件概率 (1) 定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称P(BA)＝_______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2) 概率的乘法公式 设A，B为两个任意事件，P(A)＞0，则P(AB)＝______________． (3) 性质 ① P(ΩA)＝_______； ② 如果B和C是两个互斥事件，那么P(BCA)＝______________； ③ 设与B互为对立事件，则P(A)＝______________． 2．事件的相互独立性 (1) 定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_______成立，那么称事件A与事件B相互独立，简称独立． (2) 性质 若事件A与事件B相互独立，则 ① A与____相互独立，与___相互独立，与___相互独立． ② P(BA)＝_______，P(AB)＝_______． 3．全概率公式 一般地，设，，…，是一组两两互斥的事件，…＝Ω，且P()＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件BΩ，有P(B)＝______________． 【拓展知识】 1．在古典概型中，事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(BA)＝＝． 2．如果事件A，B满足P(A)＞0，P(B)＞0，P(AB)＝P(A)，那么P(BA)＝P(B)． 3．独立事件与互斥事件的区别 独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)；互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，即P(AB)＝0． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 事件A发生与事件B发生互不影响的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)． ( ) (2) 对于任意事件A，B，若P(A)＞0，P(B)＞0，则P(A)P(BA)＝P(B)P(AB)． ( ) (3) 同一试验中，两个事件A，B满足P(AB)＝0，那么事件A，B互不相容． ( ) (4) 若A＋B＝Ω，则P(C)＝P(A)·P(CA)＋P(B)P(CB)． ( ) 2．已知AB，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6．则P(BA)＝ ( ) A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1 3．(多选题) 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是0.5，0.2，则有( ) A．两人都成功破译的概率为0.7 B．恰有一人破译的概率为0.5 C．密码没有被破译的概率为0.4 D．密码被成功破译的概率为0.6 4．（2025·天津河西区期末）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以最简分数表示） 四、考点扫描 考点一 条件概率 例1 （1）（2025·山东日照市模拟）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下，B事件发生的概率即 ( ) A． B． C． D． (2) 已知P(AB)＝，P(BA)＝，P(A)＝，则P(B)＝ ( ) A． B． C． D． （3）（2025·上海嘉定区模拟）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为______. 规律方法： 对点训练 （1）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为(　　) A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 （2）若随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，则P(BA)＝ ( ) A． B． C． D． (3)（2025·江西九江市期末）将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ． 考点二 事件的独立性 例2 (1)（2025·辽宁葫芦岛市模拟）掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　 　) A．互斥 B．互为对立事件 C．相互独立 D．相等 (2)（2025·山东泰安市期末）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 规律方法： 对点训练 (1) (2025·安徽安庆市模拟)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是(　 　) A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6 C．若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25 D．若B⊆A，则P(B|A)＝0.8 (2) A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人的概率都是(个人不投自己的票)，则仅A一人是最高得票者的概率为_______． 考点三 全概率公式 例3 （1）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 . （2）（2025·天津河西区期末）学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%．若李老师分之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为__ _． 规律方法： 对点训练 (1) 已知P(B)＝0.4，P(BA)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A)＝ ( ) A． B． C． D． （2） （2025·天津北辰区模拟）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，则在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 .掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 课时4 事件的独立性与条件概率参考答案 二、知识梳理 1．(1) (2) P(A)P(BA) (3)①1 ②P(BA)＋P(CA) ③1－P(BA) 2．(1)P(A)·P(B) (2) ① B ②P(B) P(A) 3．P()P(B) 三、基础回顾 1．(1) √【解析】“事件A发生与事件B发生互不影响”“事件A，B相互独立”“P(AB)＝P(A)·P(B)”. (2) √【解析】因为P(A)＞0，P(B)＞0，所以P(A)P(BA)＝P(AB)，且P(B)P(AB)＝P(AB)，所以P(A)P(BA)＝P(B)P(AB)． (3) √【解析】对于任意两个事件事件A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因为P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，因此事件A，B互斥． (4) ×【解析】因为A，B不一定是对立事件，所以P(C)＜P(A)P(CA)＋P(B)P(CB)． 2．D【解析】因为AB，所以P(AB)＝0.3，所以P(BA)＝＝＝1．故选D． 3．BCD【解析】记甲成功破译为事件A，乙成功破译为事件B，则A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.2．所以两人都成功破译的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.1．恰有一人破译的概率为P(A)＋P(B)＝0.5×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.2＝0.5．密码没有被破译的概率为P()＝(1－0.5)×(1－0.2)＝0.4．密码被成功破译的概率为1－P()＝0.6．故选BCD． 4． ；【解析】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则. 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，根据题意，得，，，则，所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 四、考点扫描 例1 （1）A【解析】由题意，得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则.表示事件“抽到两名女同学”，则.故.故选A. （2）B 【解析】 P(AB)＝P(A)P(BA)＝×＝，又因为P(AB)＝，所以P(B)＝＝．故选B． （3）0.8【解析】用频率估计概率，记“学生近视”为事件A，“学生每天玩手机超过2h”为事件B.由题意，得.因为， 则，所以. 对点训练 （1）C【解析】设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B.由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.故选C. （2）C 【解析】因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，即＝＋－P(AB)，所以P(AB)＝．所以P(BA)＝＝．故选C． (3) 【解析】将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，且乙分配到社区，基本事件总数，在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区包含的基本事件个数，所以在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为． 例2 （1） C【解析】 掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误；P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝×＝，P(A)·P(B)＝×＝，因为P(A)·P(B)＝P(AB)，所以A与B相互独立，故C正确；事件A与B不相等，故D错误．故选C. (2)D【解析】依题意，得，，，故A项错误； ，，故B项错误； ，故C项错误； ，，故D项正确.故选D. 对点训练 (1) D【解析】 对于选项A，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立，故A错误；对于选项B，若A，B相互独立，则P(A|B)＝＝＝P(A)＝0.5，故B错误； 对于选项C，因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.4×0.5＝0.2，故C错误； 对于选项D，若B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.4，所以P(B|A)＝＝＝0.8，故D正确．故选D. （2） 【解析】若仅A一人是最高得票者，则A的票数为3，2．若A的票数为3，概率为××＝．若A的票数为2，则B，C，D三人中有两人投给A，剩下的一人与A不能投同一个人，概率为C×××＝，所以仅A一人是最高得票者的概率为＋＝． 例3 （1）【解析】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05，0.04，0.03和0.02，设“任取一件产品，结果是不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，.根据已知题意，得，，， ，，，，.根据全概率公式可得 . （2） 【解析】 设事件B为“拿的苹果是次品”，Ai(i＝1，2)为“拿的苹果来自第i份”，则P(A1)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044，所求概率为P(A1|B)＝＝＝＝． 对点训练 (1) D【解析】, 即，解得.故选D. （2）；【解析】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”，,,所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则 ,所以,所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $