5.4 极化恒等式、等和线与向量其他问题（全国通用）-2027年高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦向量板块核心考点，涵盖极化恒等式、等和线、线段定比分点及向量几何应用与最值问题，按“概念本质-几何意义-解题策略”逻辑架构知识点，通过考点梳理（如极化恒等式的平行四边形与三角形模式）、方法指导（等和线定理的比例求法）、真题训练（分五个考点的例题与分层练习），帮助学生构建向量问题的分析框架与解题思路。 讲义突出数学思维与数学语言的融合，如极化恒等式通过平行四边形对角线平方差转化数量积，培养抽象能力；等和线定理结合基底分解与比例关系，发展推理意识。设计基础巩固（如矩形中动点数量积范围）、综合提升（如正八边形边上动点取值范围）的分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破难点，提升学生向量综合应用能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

5.4 极化恒等式、等和线与向量其他问题 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：·＝(||2－||2)． (2)三角形模式： ·＝||2－||2. (3)关联定理之平行四边形定理 (4)推广定理之矩形大法 等和（高）线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 解题技巧：要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 线段定比分点公式 设点 P 分有向线段的定比为，即 =。 已知： ，，分点 坐标公式 考点一　极化恒等式的应用 考点二　等和线的应用 考点三　线段的定比分点 考点四　利用向量解决几何问题 考点五　利用向量解决最值和范围问题 考点一　极化恒等式的应用 1．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 2．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值. 【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段的函数，当线段取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值. 【详解】    因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 根据平行四边形法则，所以所在直线是的角平分线， 又， 所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，， 取中点，则有， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以根据勾股定理， 根据极化恒等式，， 要使得取得最小值，即线段最小，此时， 在直角三角形中，由等面积法，得到， 所以的最小值为. 4．（25-26高三上·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. 5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 6．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 (1)如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解． 【详解】（1）由正方形的边长为4，则，，． 由极化恒等式可得：． （2）如图，连接． 因为，， 所以． 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以． 因为，所以，所以， 即的取值范围是． （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 考点二　等和线的应用 7．（2026·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 8．（2026·河北衡水·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若，则等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先用表示出，再得出和的值. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，又E为线段AO的中点， ∴， ∴，，即. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题. 9．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用在的角平分线上可得，再根据可求的值，故可得正确的选项. 【详解】由题意，可得在的角平分线上，所以， 再由可得，即， 再由， 得， 解得，故，所以， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．（2026高三·全国·专题练习）扇形中，，为上的一个动点，且，其中. （1）的取值范围为______； （2）的取值范围为______. 【答案】 【详解】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，， . 解法二：（坐标法），， ，，，， . 解法三：设， ，即 ∴. （2）解法一：（等和线） 解法二：，其中先增后减. 11．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 12．（2026高一·全国·专题练习）给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.    【答案】 2 【分析】建立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示，，最后用辅助角公式求最值 【详解】建立如图所示坐标系，    则 ，设 ， 由 , 化简得:， （1）, 则当 时, 最大，值为 （2） 其中 且为第一象限角 则当 时,最大，值为 故答案为：； 考点三　线段的定比分点 13．（25-26高三上·陕西榆林·期中）（多选）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 14．（25-26高三上·广东茂名·期中）设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算列方程组求解即可. 【详解】设点，则，. 由，得，解得. 所以点的坐标为. 15．（25-26高三上·湖南株洲·期中）（多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设， 若； 若. 16．（25-26高三上·上海·期中）已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 17．（25-26高三上·湖北荆州·期中）已知点，且，则点的坐标为___________________． 【答案】 【分析】设点的坐标，应用平面向量坐标表示求解. 【详解】设点，那么， 由可得，，故 18．（25-26高三上·重庆·期中）已知为坐标原点，，，则的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，， 由重心坐标公式可得重心坐标为，即． 考点四　利用向量解决几何问题 19．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） （2）， ， （3）设，由已知可得 ，即 所以点的坐标是 20．（25-26高三上·福建三明·期中）已知是平面内两个不共线的向量，， 且A，C，E三点共线． (1)求λ的值； (2)，已知点D的坐标为，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）由（1）以及向量的加减法求出，设点，可求出，再根据平行四边形的性质得到，最后列出方程组求解点的坐标. 【详解】（1）因为 且， 又因为A，E，C三点共线，所以， 所以， 即， 所以，解得 ， 所以； （2）由（1）得 所以， 由四边形ABCD为平行四边形得， 设，且点D的坐标为，则， 所以， 解得， 即． 21．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 22．（25-26高三上·上海·期中）如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是____； 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，设，通过几何关系，可得，，进而可得、的坐标，结合数量积的坐标运算及三角函数的运算，可求得的最大值. 【详解】过点作轴于，过点作轴于， 设，，则， 又，， 所以，，，，，， 所以，， 则，， 所以，， 则 ， 又，所以， 根据正弦函数的图象性质，， 所以，即的最大值是. 23．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积的定义及运算律求解即可；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 24．（25-26高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 考点五　利用向量解决最值和范围问题 25．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 26．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 6 【分析】以为基底把表示出来，再结合数量积的运算律；设，得，再结合二次函数的性质解题. 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则        所以 当时，；当或1时，， 综上： 27．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 28．（25-26高三上·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【详解】（1）如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； （3）因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 29．（25-26高三上·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. （2）由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. （3）依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义； （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的运算律. 30．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）（多选）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解． 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为， 则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则， 又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，， 令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为， 所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 3．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 4．（2026·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，得进行求解即可． 【详解】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 5．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 6．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 7．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 【答案】ABC 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】如图，建立符合题意的图形，    以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系. 设，则，. 进而，， . 因为，则，即， 选项A，. 因为，所以，进而， 所以，正确. 选项B，因为，， 所以最大值为1，进而的最大值为2，正确. 选项C，. 因为，所以，进而，正确. 选项D，，最大值为，错误. 8．（25-26高三上·黑龙江辽宁·期中）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时； 当点在上时，设，则， 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设，则，因， 所以 ， 所以， 于是，故D正确. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则可以写出各个点的坐标，再设，则，由题干条件和向量的坐标运算把用表示，由此可分析各个选项正误. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设，则， 设，则，由于，所以， 整理得，则． 对于A，当M为的中点时，，故，故A正确； 对于B，， 由于，当时，取最大值为，故B错误； 对于C，由于，所以，故的取值范围为，故C正确； 对于D，，故的取值范围为，故D错误． 故选：AC. 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，故，不是定值；B选项，设，计算出；C选项，设，，表达出，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；D选项，由C得到，点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，由勾股定理求出轨迹长度. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，， 当在线段上时，设，， 则，不是定值，A错误； B选项，点在线段上时，设，， ，为定值，B正确； C选项，，设，，， 由得，， 所以，即， ，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确； D选项，由C知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为，D错误. 故选：BC 11．（25-26高三·江苏·一轮复习）（多选）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有且只有一个 C．满足的点P有且只有一个 D．满足的点P有且只有一个 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取， ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则， 综上，， 选项A：取，满足，此时， 因此点P不一定是的中点，故A错误； 选项B：当点P为B点或的中点时，均满足，此时点P不唯一，故B错误； 选项C：当点P为点时，且，解得，由上分析可知时为点，故C正确； 选项D：若， 当时，有，故，，此时， 当时，有，故，， 此时点P不唯一，故D错误； 故选：ABD. 12．（25-26高三上·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 13．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 【答案】 2； ./0.5 【分析】利用数量积公式以及，可得到的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用整理化简可得，由此得到向量终点的轨迹，从而可求的最小值. 【详解】由已知 ，且与的夹角为，得，又，故， 代入 ，得 ，所以 ，最小值为； 设，则，取中点，记，所以，， ，， 所以 ，所以， 即. 则点在以点为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线上，记， 因此的最小值为的最小值，过点作，与圆交于点,如图所示，此时最小， 最小值为． 14．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设，是非零向量，且，，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】采用换元法，令，再将题干及目标向量的模全部转为的关系式即可求解． 【详解】令，则，， 解得， 而， 则 又，当时，取得最小值， 即，因此． 15．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    【答案】 / 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求的坐标，设，根据求出，利用向量的夹角公式可求，从而可求. 【详解】    建立如图所示的平面直角坐标系，则, 因为，故， 故，故，故. 设，故， 故，而， 所以， 整理得，故或. 若，则，， 故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 而为三角形内角，故, 综上，. 16．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为_____，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即， 故答案为：；. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________ 【答案】2 【分析】以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立坐标系，设，则可用表示，利用辅助角公式即可求其取值范围. 【详解】因为圆是等边三角形的内切圆且与边相切于点，所以是边上的中点， 以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立如图所示坐标系， 设内切圆半径为，因为等边三角形的边长为， 所以由三角形面积公式解得， 故可设，且， 所以，，， 由可得， 解得， 所以，所以最大值为2， 故答案为：2 18．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】取，利用平面向量三点共线的性质得到三点共线，从而得到点在直线上，且，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到，又长是定值，求的最小值就是求的最小值，而的最小值为当时最小且最小值为，从而得到的最小值. 【详解】，，， 取,则, 则三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 设的中点为, 则 ， 因为，分别为的中点， 所以，， 求的最小值转化为求的最小值， 又为的中点，则为定点， 因为点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 所以当时，最小，且最小值为, 所以的最小值为. 19．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 20．（2026高三·全国·专题练习）在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________． 【答案】/0.5 【分析】根据题意，用表示出与，求出λ、μ的值即可． 【详解】设，则 =（1﹣k）+k． =， ∴ 故答案为： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 极化恒等式、等和线与向量其他问题 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：·＝(||2－||2)． (2)三角形模式： ·＝||2－||2. (3)关联定理之平行四边形定理 (4)推广定理之矩形大法 等和（高）线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 解题技巧：要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 线段定比分点公式 设点 P 分有向线段的定比为，即 =。 已知： ，，分点 坐标公式 考点一　极化恒等式的应用 考点二　等和线的应用 考点三　线段的定比分点 考点四　利用向量解决几何问题 考点五　利用向量解决最值和范围问题 考点一　极化恒等式的应用 1．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高三上·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 (1)如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 考点二　等和线的应用 7．（2026·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 8．（2026·河北衡水·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若，则等于 A． B． C． D． 9．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（    ） A． B． C．2 D．4 10．（2026高三·全国·专题练习）扇形中，，为上的一个动点，且，其中. （1）的取值范围为______； （2）的取值范围为______. 11．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2026高一·全国·专题练习）给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.    考点三　线段的定比分点 13．（25-26高三上·陕西榆林·期中）（多选）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广东茂名·期中）设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 15．（25-26高三上·湖南株洲·期中）（多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·上海·期中）已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 17．（25-26高三上·湖北荆州·期中）已知点，且，则点的坐标为___________________． 18．（25-26高三上·重庆·期中）已知为坐标原点，，，则的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 考点四　利用向量解决几何问题 19．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 20．（25-26高三上·福建三明·期中）已知是平面内两个不共线的向量，， 且A，C，E三点共线． (1)求λ的值； (2)，已知点D的坐标为，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标． 21．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 22．（25-26高三上·上海·期中）如图所示，点，分别在轴非负半轴和轴非负半轴上滑动，且，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，是坐标原点，则的最大值是____； 23．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 24．（25-26高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 考点五　利用向量解决最值和范围问题 25．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 27．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 28．（25-26高三上·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 29．（25-26高三上·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 30．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）（多选）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 5．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 7．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 8．（25-26高三上·黑龙江辽宁·期中）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 11．（25-26高三·江苏·一轮复习）（多选）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有且只有一个 C．满足的点P有且只有一个 D．满足的点P有且只有一个 12．（25-26高三上·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 13．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 14．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设，是非零向量，且，，则的最小值是______． 15．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    16．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为_____，点的坐标为_____． 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________ 18．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 19．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 20．（2026高三·全国·专题练习）在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $