2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时2 二项式定理

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理核心考点，涵盖定理证明、展开式通项、二项式系数性质及简单应用，按“概念 - 性质 - 应用”逻辑架构梳理知识。通过知识梳理夯实基础，基础回顾检测漏洞，考点扫描结合真题讲解与对点训练，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，如在系数和考点中采用赋值法引导学生推理得出奇偶项系数和关系，在特定项求解中强化通项公式规范表达。设置分层练习配合规律方法总结，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

课时2 二项式定理 一、课标要求 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、知识梳理 1．二项式定理及相关概念 名称 含义 二项式定理 (a＋b)＝____________(n∈) 二项展开式 二项式定理右边的多项式叫作(a＋b)的二项展开式 二项展开式的通项 ＝___________，是二项展开式的第_____项 二项式系数 ______________，其中r＝0，1，2，…，n 2．二项展开式的形式特点及注意点 (1) 项数：展开式共有_______项； (2) 顺序：字母a，b顺序不能改变，(a＋b)与(b＋a)的展开式是不同的； (3) 指数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； 字母a按_______排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0； 字母b按_______排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n． 3．二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝_______ 双肩和 C＋_______＝C 增减性 当k＜_______时，C＜C；当k＞时，_____＜C 最大值 若n为偶数，当k＝_______时，二项式系数C最大；若n为奇数，当k＝_______或_______时，二项式系数C最大 和 二项式系数和C＋C＋C＋C＋…＋C＝_______； 奇数项二项式系数和C＋C＋…＝_______； 偶数项二项式系数和C＋C＋…＝_______ 【拓展知识】 1．二项式系数与项的系数的区别 在＝C中，C就是该项的二项式系数，它与各项的项数有关，与a，b的值无关； 而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与项数有关，也与a，b的值有关． 若a，b为常数，在(a＋bx)的二项展开式中，第（k＋1）项的二项式系数是C，系数是C． 2．三项展开式中的项 对于任意正整数n，某个k(k∈{0，1，2，…，n})，l(l∈{0，1，2，…，n－k})，在(a＋b＋c)的展开式中，含项的系数为CC． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 乘积(＋＋)(＋＋)(＋＋＋＋)展开后共有11项． ( ) (2) (a＋b) 的二项展开式中，第k项的二项式系数是C． ( ) (3) (a＋b)的二项展开式中，若有两项的二项式系数最大，则n为奇数． ( ) (4) 已知(1＋x)的展开式中，第4项和第8项的二项式系数相等，则n的值为10． ( ) 2．(x＋1)n的展开式中，含x项的系数为15，则n＝ ( ) A．7 B．6 C．5 D．4 3．(多选题)关于(x－)的二项展开式，下列说法正确的有 ( ) A．存在常数项 B．二项式系数最大的项是第5项和第6项 C．系数最大的项是第5项 D．系数最小的项是第6项 4．已知(1＋x)二项展开式中系数和为32，则n＝_______；(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)展 开式中，含x项的系数是_______． 四、考点扫描 考点一 二项展开式中的特定项 例1 (1) （2025·天津高考）的展开式中，含项的系数为 　　 .（用数字作答） （2）（2025·江苏镇江市阶段练习）若的展开式中，含项的系数为20，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·云南昆明市模拟）的展开式中，含项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 规律方法： 对点训练 (1) （2025·上海高考）在二项式的展开式中，含项的系数为　 　 ． (2)（2025•安徽芜湖一中月考）(1－ax2)·(1＋x)4的展开式中，含x3项的系数为12，则a＝________. （3）（2025·北京大兴区模拟）的展开式中，含x项的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 考点二 二项式系数与展开式的项的系数 考向1 系数和 例2 设(－1＋x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(x∈R)．求： (1) 各项二项式系数的和； (2) a1＋a3＋a5＋a7的值； (3) a0＋a1＋…＋a7的值． 规律方法： 对点训练（1）（2025·北京高考）已知，则 ； ． （2）（2025·江苏淮安市阶段练习）若，且，则=（    ） A．650 B．405 C．810 D．1620 （3）已知(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)11＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a11(2＋x)11，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是(　 　) A．680 B．－680 C．1 360 D．－1 360 考向2 最值 例3 (1)设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为.若，则 . （2）已知的展开式中，仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 规律方法： 对点训练 （1）已知的二项展开式中，二项式系数和为64，则下列结论正确的是(　　) A．二项展开式中各项系数之和为37 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为240x3 （2）(多选题)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则有(　　) A．a0＝22 025 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D. ＋＋＋…＋＝22 025－1 考点三 二项式定理的简单应用 例4 (1)设a∈，且0≤a＜8.若55＋a能被8整除，则a＝ ( ) A．0　　　　 　　 B．1 C．6 D．7 （2）（2025·福建三明市高三期末）某银行在2025年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为.下列各数与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 规律方法： 对点训练（1）（2025·山西晋中市模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 （2） 用二项式定理估算 .（精确到0.001 课时2 二项式定理参考答案 二、知识梳理 1．C＋C＋…＋C＋…＋C C k＋1 C 2．（1）n＋1 （3）降幂 升幂 3．C C C 2 2 三、基础回顾 1．(1) ×【解析】(＋＋)(＋＋)(＋＋＋＋)展开有多少项，分三步，先在第一个括中取一项，有3种，然后在第二个括中取一项，也有3种，最后在第三个括号中取一项，有5种，所以共有45项．所以错误． (2)×【解析】第k项的二项式系数是C．所以错误． (3)√【解析】正确． (4)√【解析】 因为第4项和第8项的二项式系数相等，所以C＝C．解得n＝10．所以正确． 2．B【解析】(x＋1)n的展开式的通项为＝Cx(k＝0，1，…，n)，当n－k＝2时，C＝15，所以C＝15．解得n＝6．故选B． 3．BCD【解析】二项展开式的通项是＝C＝(－1)C(k＝0，1，…，9)．不存在整数r，使得9－2k＝0，所以A错误．在二项式系数C，C，…，C中，C＝C最大，所以BCD 正确．故选BCD. 4．5；20【解析】由(1＋x)展开式中二项式系数之和为32，有2＝32，所以n＝5．(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)展开式中含x项的系数为C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＝20． 四、考点扫描 例1 （1）【解析】根据二项式的展开式，1，2，3，4，5，，当时，展开式中的系数为． （2）B【解析】，的通项公式为，令，得（舍），令，得.依题意，得，得.故选B. （3）C【解析】由多项式 展开式的通项为，令，可得，又由展开式的通项为，当时，可得，所以展开式中项系数为.故选C. 对点训练 (1)80【解析】二项式的展开式的通项为，令，求得，所以的展开式中项的系数是． （2）－2【解析】由(1＋x)4的展开式通项为Tr＋1＝Cxr，所以含x3的项为Cx3＋(－ax2)Cx＝(C－aC)x3，故C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2. （3）A【解析】.易知的展开式中没有x项；因为的展开式的通项为：，令，即，所以展开式中，x的系数为；又因为的展开式的通项为：，令，即，所以展开式中，x的系数为.综上，在的展开式中，x的系数为.故选A. 例2【解】(1) 各项二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝＝128. (2) 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0 ①； 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝(－2)＝－128 ②. ①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64. (3) 因为＝C(－1)·x＝(－)·C·x(k＝0，1，…，7)，所以a0＜0，a2＜0，a4＜0，a6＜0，a1＞0，a3＞0，a5＞0，＞0．所以a0＋a1＋…＋a7＝－a0＋a1－a2＋…－a7＝128． 对点训练（1）1；15【解析】令，则.又，故， 令，则，令，则，故. （2） C 【解析】令，则，解得.所以，所以，.令，则.故选C. （3） B【解析】令x＝－1，得0＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0 ①， 令x＝－3，得(－2)4＋(－2)5＋…＋(－2)11＝a0－a1＋a2－a3＋…－a11，即a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝＝－1 360 ②. ①②两式相加可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－＝－680．故选B. 例3 (1)　【解析】由展开式的二项式系数的最大值为，则有.由展开式的二项式系数的最大值为，则有.由，故有，即，即，即，解得. （2）B【解析】由题意，二项式系数仅最大，故，所以二项式为，其通项公式为.设二项式展开式中第（）项的系数最大，则有，，即，故，经经验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B. 对点训练 （1）D【解析】因为的二项展开式中二项式系数和为64，所以2n＝64，则n＝6，所以二项式为，则二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r＝， 令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误； 第4项的二项式系数最大，此时r＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝＝，故B错误； 令6－r＝0，则r＝4，所以二项展开式中的常数项为＝60，故C错误； 令第（r＋1）项的系数最大，则 解得≤r≤，因为r∈N，所以r＝2.所以二项展开式中系数最大的项为T3＝C24x3＝240x3，故D正确．故选D. （2）BD【解析】对于选项A，当x＝0时，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A错误； 对于选项B，C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，所以B正确，C错误； 对于选项D，当x＝时，＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋＋…＋＝(－1)2 025－a0＝22 025－1，D正确．故选BD. 例4(1) B 【解析】因为55＝56－1，所以55＝C56－C56＋…＋C56－1.因为55＋a能被8整除，且56能被8整除，所以只需－1＋a能被8整除．又因为a∈，且0≤a＜8，所以a＝1．故选B． （2）D【解析】存入大额存款元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，所以，可得.故选D. 对点训练（1）A【解析】 ，即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选A. （2）1.105【解析】 . . 学科网（北京）股份有限公司 $