2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时7正态分布

该高中数学高考复习讲义聚焦正态分布核心考点，涵盖定义、正态曲线特征、概率计算及实际应用，按课标要求构建知识体系，通过知识梳理、基础回顾、考点扫描（含性质分析与实际应用例题）等环节，帮助学生系统掌握正态分布的内在逻辑与解题方法。 资料突出数学建模与数据分析素养，如在实际应用考点中，通过“军训成绩优秀标兵人数估计”案例，引导学生用正态分布模型分析数据，培养应用意识。设置分层练习（基础判断、选择及综合应用题），配合规律方法总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

课时7 正态分布 一、课标要求 1．了解正态分布在实际生活中的意义和作用. 2．掌握正态分布的定义，正态曲线的特征，会求服从正态分布的随机变量的概率. 3．会用正态总体在区间上的概率解决一些简单的实际问题． 二、知识梳理 1．正态曲线：函数，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ＞0，μ∈)，我们称函数φμ，σ(x)的图象为______________，简称正态曲线． 2. 正态曲线的特点 (1) 曲线位于x轴________，与x轴不相交； (2) 曲线是单峰的，它关于直线________对称； (3) 曲线在________处达到峰值； (4) 曲线与x轴之间的面积为________； (5) 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图①所示； (6) 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示． 　　 图① 图② 3. 正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记作________．其中μ表示随机变量X的_______，表示随机变量X的_______． 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1) P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________； (2) P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________； (3) P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． ( ) (2) 正态曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方． ( ) (3) 若X～N(0，1)，则P(X＝0)＝0.5． ( ) (4) 若X～N(0，σ)，a＞0，则P(0＜X＜a)＝（1－P(X≥a)）． ( ) 2．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的有(　 　) A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ) B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ) C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化 D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化 4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 四、考点扫描 考点一 正态分布的性质 例1 (1) 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数(x∈)的图象，则这个正态总体的平均数与标准差分别是 ( ) A．10，8 B．10，2 C．8，10 D．2，10 （2）（2025·浙江宁波市模拟）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示.若，则与分别为（    ） A． B． C． D． （3）若随机变量，且，则 ． 规律方法： 对点训练 (1)设，且这两个正态分布密度曲线如图所示，则( ) A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． （2）已知随机变量，且，则的值为 ． （3） (2025·福建泉州市部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997)(　　) A.根据以上数据，无法估计本次数学考试的平均分 B.σ的值越大，成绩不低于100分的人数越大 C.若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 考点二 正态分布的实际应用 例2 某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图. (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数.（结果取整数） 参考数据：若，则，，. 例3 （2025·山东潍坊市模拟)面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少；（结果四舍五入保留整数） (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 参考数据：若，则，，. 对点训练 (2025·江西南昌市模拟)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)． (1) 生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率.(精确到0.001) (2) 根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ，σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N．某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为1 000，1 007，1 012，1 013，1 013(单位：Ω)，你认为这时生产线生产正常吗？请说明理由． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4． 课时7 正态分布参考答案 二、知识梳理 1．正态密度曲线 2. (1)上方 (2) x＝μ (3) x＝μ (4) 1 (5) μ (6) 较小 较大 3. X～N(μ，σ) 均值 方差 4．(1) 0.682 7 (2) 0.954 5 (3) 0.997 3 三、基础回顾 1．(1) √【解析】正态分布中参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． (2) ×【解析】正态分布的曲线关于直线x＝μ对称，恒在x轴上方，与x轴不相交．所以错误． (3) ×【解析】若X～N(0，1)，则P(X≤0)＝0.5．所以错误． (4) √【解析】因为P(－a＜X＜a)＋P(X≤－a)＋P(X≥a)＝1，所以P(0＜X＜a)＝[1－P(X≥a)]． 2．C【解析】由、分布曲线关于轴对称，则，因为越大，正态分布曲线越扁平，所以.故选C. 3．AC【解析】 由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确； P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误； P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确； P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．故选AC. 4．【解析】因为X～N(3,1)，所以正态曲线关于x＝3对称．因为P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝． 四、考点扫描 例1(1) B【解析】因为，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10，2．故选B． （2）C【解析】根据题意，且，则.由正态曲线得，所以．故选C． (3)0.1【解析】因为，且，则，所以． 对点训练（1）B【解析】依题意，对任意正实数，.因为 ，所以，A错误，B正确； ，C错误； 因为，所以，D错误.故选B. （2）【解析】由随机变量，且，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得. （3）BD【解析】　对于选项A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误； 对于选项B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少， 所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确； 对于选项C，当σ＝15时，P(X>120)＝[1－P(60≤X≤120)]≈×(1－0.954)＝0.023，故这次考试分数高于120的约有20 000×0.023＝460(人)，故C错误； 对于选项D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝，由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为＝＋＝，故D正确.故选BD. 例2【解】（1）由图可得，解得， . （2）的可能取值为，，，，，，，， ，， ，， ，，则其分布列如下： 0 200 300 500 700 800 1000 P . （3），，则,又，故，，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人. 例3 【解】（1）因为服从正态分布，所以，，，所以.进入面试的人数，.因此进入面试大约有人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，，则； ；；；所以. 对点训练 　【解】 （1）因为电阻阻值X服从正态分布N(1 000，52)，所以μ＝1 000，σ＝5，所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在(995，1 000]和在(1 005，1 010]的概率分别为P1＝P(995＜X≤1 000)＝P(μ－σ＜X≤μ)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.341 3，P2＝P(1 005＜X≤1 010)＝P(μ＋σ＜X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈0.135 9．因此这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率P＝2P1P2≈2×0.341 3×0.135 9≈0.093． （2） 生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N，即N(1 000，()2)，记σ′＝，计算可得＝1 009，而1 009＞1 000＋3，即＞μ＋3σ′，因为在一次试验中，小概率事件发生了，所以认为这时生产线生产不正常． . 学科网（北京）股份有限公司 $