2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

该高中数学高考复习讲义聚焦离散型随机变量及其分布列、期望与方差核心考点，按课标要求构建知识体系，涵盖概念性质、公式应用及实际问题解决，通过知识梳理、基础回顾、考点扫描和真题训练，帮助学生系统突破重点难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，如例3通过猜歌名游戏两种顺序计算期望方差，培养数据分析与决策能力，例2结合保险赔付建立毛利润模型强化应用意识，分层练习配合真题讲解，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 一、课标要求 1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列. 2．理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义. 3．会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题． 二、知识梳理 1．随机变量的有关概念 (1) 随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2) 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以______________的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 ① (i＝1，2，…，n)的取值范围是_______；② ＋＋…＋＝_______． 3．两点分布 已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 1－p p 其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 4．离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列如下： X … P … (1) 均值(期望) 称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 均值的意义是反映了离散型随机变量取值的______________． (2) 方差 称D(X)＝_____________________为随机变量X的方差． 称为随机变量X的______________，记为σ(X)． 方差和的标准差的意义是度量随机变量X取值与其均值E(X)的______________． 【拓展知识】 1．均值与方差的性质 (1) E(aX＋b)＝______________ (a，b为常数)． (2) D(aX＋b)＝______________(a，b为常数)． 2．均值与方差的关系 D(X)＝x＋x＋…＋x－（E(X)）＝E(X)－（E(X)）． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义． ( ) (2) 离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1． ( ) (3) 随机变量的方差刻画了随机变量取值偏离均值的程度，方差越小，偏离程度越小． ( ) (4) 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事． ( ) 2．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(多选题) 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P 0.2 a 0.4 0.1 则下列结论正确的有 ( ) A．a＝0.3 B．E(X)＝2.4 C．D(X)＝1.84 D．E(2X－1)＝3.8 4．在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，那么选对的概率为0.25．若选对得分X＝_______，选错得分Y＝_______，则随机选择时得分的均值为0． 四、考点扫描 考点一 分布列的性质 例1（1）（2025·河南洛阳市联考）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的为(　 　) A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝ C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0 （2）（多选题） 设离散型随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　 　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 规律方法： 对点训练 (1) （多选题）若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则有(　 　) A．E(X)＝ B．E(2X＋3)＝3 C．D(X)＝ D．D(3X＋2)＝ (2)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋2)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 考点二 概率分布列 例2 （2024·北京卷）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽样100单，以频率估计概率. （1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率. （2）①毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，试估计X的数学期望. ②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．试估计保单下一保险期毛利润的数学期望． 对点训练 （1） (2025·河北邯郸市调研)从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)＝_ _． （2）（2025·新高考Ⅰ卷）一个箱子里有5个球，分别以标号.若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数，则　　 ． 考点三 期望、方差在决策问题中的应用 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 (1) 求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率． (2) 甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望．为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 规律方法： 对点训练 一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作. (1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率. (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元.为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考. 方案1：更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元. 方案2：对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元. 请从期望损失最小的角度判断如何决策. 课时5 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差参考答案 二、知识梳理 1．(2)一一列出 2．①[0，1] ②1 4．(1) ＋＋…＋ 平均水平 (2)(－E(X))＋(－E(X))＋…＋(－E(X)) 标准差 偏离程度 【拓展知识】 1．(1)aE(X)＋b (2) aD(X) 三、基础回顾 1．(1)×【解析】离散型随机变量的取值描述了由这个随机变量所刻画的随机现象． (2)×【解析】随机变量取各个值的概率之和等于1． (3)√【解析】方差越小，越稳定，偏离程度越小；方差越大，越离散，偏离程度越大． (4)×【解析】均值是刻画离散型随机变量的平均水平，方差是随机变量取值偏离均值的程度． 2．D【解析】依题意，每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的可能取值为，，，共种情况.故选D. 3．ABD【解析】因为0.2＋a＋0.4＋0.1＝1，所以a＝0.3．所以A正确． 变量X的数学期望E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4．所以B正确． 变量X的数学期望D(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1－2.4＝0.84．所以C错误． 因为E(2X－1)＝2E(X)－1＝3.8．所以D正确．故选ABD． 4． 3；－1(答题不唯一，只要满足X＋3Y＝0的均可)【解析】得分的可能取值为X，Y，其概率分别为0.25，0.75．所以得分的均值为0.25X＋0.75Y＝0．化简得X＋3Y＝0．当X＝3时，Y＝－1． 四、考点扫描 例1（1）C【解析】 P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，故A错误； P(ξ＞1)＝＋＝，故B错误； P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，故C正确； P(ξ＜0.5)＝＋＝，故D错误．故选C. (2)ACD【解析】因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确； 又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确； 因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD. 对点训练 (1) AC【解析】因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＋×＝，故A，C正确； E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝，故B，D错误．故选AC. (2) C【解析】因为随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，由概率分布的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1. P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝，故A不正确； 因为E(X)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确； 由D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确； 因为D(X)＝2，所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确．故选C. 例2 【解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得. （2） ①设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得，， ，， 故， 故（万元）. ②由题设保费的变化为， 故（万元）. 对点训练 (1)8【解析】 从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张卡片共有10种结果：(1，2)，(1，3)，(1，5)，(1，9)，(2，3)，(2，5)，(2，9)，(3，5)，(3，9)，(5，9)．2张卡片上的数字之和X分别为3，4，6，10，5，7，11，8，12，14，则P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝P(X＝7)＝P(X＝8)＝P(X＝10)＝P(X＝11)＝P(X＝12)＝P(X＝14)＝，所以E(X)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋10＋11＋12＋14)＝8． (2)【解析】的可能取值为1，2，3，， ，，． 例3 【解】（1）由题意，可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C．这两种情况不会同时发生．设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名”为事件E，由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立得P(E)＝P(AB＋ABC)＝0.8×0.5×(1－0.5)＋0.8×0.5×0.5＝0.4． （2）甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X，则X的所有可能取值为0,1 000，3 000，6 000，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1 000)＝0.8×(1－0.5)＝0.4，P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2，P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5＝0.2，所以E(X)＝0×0.2＋1 000×0.4＋3 000×0.2＋6 000×0.2＝2 200；甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y，则Y的所有可能取值为0,3 000,5 000,6 000，P(Y＝0)＝0.5，P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5)＝0.25，P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05，P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E(Y)＝0×0.5＋3 000×0.25＋5 000×0.05＋6 000×0.2＝2 200． 参考答案一：由于D(X)＝(0－2 200)2×0.2＋(1 000－2 200)2×0.4＋(3 000－2 200)2×0.2＋(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000，D(Y)＝(0－2 200)2×0.5＋(3 000－2 200)2×0.25＋(5 000－2 200)2×0.05＋(6 000－2 200)2×0.2＝5 860 000，由于D(Y)＞D(X)，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名． 参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名． 对点训练 【解】（1）当时，每台设备能正常工作的概率为，所以一天内制冰厂不亏本的概率为. （2）若不采取措施，设总损失为，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，故元；设方案1、方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，故元；采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，故元，又，且，因此，从期望损失最小的角度，当时，可以选择方案1或2；当时，选择方案2；当时，采取方案1. . 学科网（北京）股份有限公司 $