2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时1 排列与组合

该高中数学高考复习讲义围绕两个计数原理与排列组合核心考点，按原理定义、公式推导、方法拓展的逻辑架构梳理知识，通过知识梳理、基础回顾、考点扫描（含四类考点例题及分层训练）的教学环节，帮助学生构建解题框架，突破应用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于结合无人机灯光组合、排队等实际问题培养数学眼光，通过插空法解决不相邻问题、分类讨论处理特殊位置限制等策略训练数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习保障效果，助力学生高效掌握高考题型，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时1 两个计数原理与排列组合 一、课标要求 1．了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3．能够运用计数原理、排列、组合解决简单的实际问题． 二、知识梳理 1．两个计数原理 名 称 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法数 分类加法 计数原理 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同 的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝_______ 分步乘法 计数原理 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝_______ 2．排列、组合的定义 从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素 按_______排成一列 是从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 作为一_______ 是从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 特别地，把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列． 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有不同_______的_______． 从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有不同_______的_______． 公式 A＝__________________________ ＝______________ n的阶乘n！＝A＝______________ C＝_______ ＝___________________________ ＝___________________________ 规定 0！＝_______ C＝_______ 4． 组合数的两个性质 (1) C＝_______； (2) C＋C＝_______． 【拓展知识】 1．解决排列、组合问题的常用方法 (1) 合理分类与准确分步； (2) 特殊元素优先安排； (3) 相邻问题_______法； (4) 不相邻问题_____法； (5) 顺序一定问题_____法； (6) 排列、组合混合问题先__后__. 2．两个区别 (1) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别： 分类加法计数原理针对“分类”问题，各类中的方法相互独立，每种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对“分步”问题，各步之间相互依存，只有所有步骤都完成才能做成这件事． (2) 排列与组合的区别 排列需要将取出的元素排序，组合只要将元素取出，因此，排列_______序，组合_______序．交换被取出两元素的顺序，若与顺序有关，则是_______；若与顺序无关，则是_______． 3．计数原理的推广 如果完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有_______种不同的方法． 如果完成一件事，需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有______________种不同的方法． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． ( ) (2) 若两个排列中的元素完全相同，则两个排列也相同． ( ) (3) 排列数的意义是“从3个不同的元素中取2个元素”． ( ) (4) 若C＝C，则n＝3． ( ) 2．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255，在电脑上绘画，可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( ) A．6 B．27 C．255 D．256 3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ） A. 种 B. 种 C 种 D. 种 4．（多选题）下列式子的值等于10的有 ( ) A．A B． C．C＋C D．C－C 5．已知直线上有n个点．从中任取2个点连成线段，可得到____条线段；从中任取2个点，分别作为有向线段的起点和终点，可得到____个有向线段． 四、考点扫描 考点一 两个基本计数原理 例1 （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，则从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是__ __． （2）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　 　) A.4种 B．6种 C．10种 D．16种 （3）(2025·广东汕头市模拟)如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同.则这架无人机同时发光时，一共有灯光组合（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 规律方法： 对点训练（1）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，，设1≤i<j<k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，则称，，为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称，，为原位小三和弦．则用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 ( ) A．5 B．8 C．10 D．15 （2）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，则不同的报名方法有( ) A．81种 B．64种 C．24种 D．4种 考点二 排列问题 例2 现有男运动员4名、女运动员3名，其中男、女队长各1人．7名运动员排成一排，求分别满足下列条件的不同排法的种数． (1) 女运动员都不相邻； (2) 男队长不站左端，女队长不站右端； (3) 男队长必须排在女队长左边(可不相邻)． 规律方法： 【对点训练】（1）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有_ __种不同的排法． （2）（2025·上海高考）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有　 　 种． （3）(2025·福建厦门市二模)在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有__________种. 考点三 组合问题 例3 （1）有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有__ __种不同的选法． （2）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的情形有___种；2个0不相邻的情形有____种． 规律方法： 【对点训练】（1）已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（   ） A．24种 B．70种 C．48种 D．50种 （2）（2025·安徽安庆市模拟）A，B，C，D，E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 考点四 排列、组合的综合应用 例4 (1)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 (2) (2025·湖南长沙市长郡中学模拟)小明与位男生、位女生在排队购物，已知每名女生需分钟，男生需分钟.若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于分钟，则不同的排队情况共有 种. 【对点训练】（1）在2025年第十五届全国运动会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作.若甲只能参加接待工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．38 B．42 C．50 D．56 （2）（2024·全国新课标Ⅱ卷）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 课时1 两个计数原理与排列组合参考答案 二、知识梳理 1．m＋n m×n 2．一定顺序 组 3．排列 个数 组合 个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n(n－1)(n－2)×…×2×1 1 1 4．(1) (2) C 【拓展知识】 1．（3）捆绑 （4）插空 （5）除序 （6）选 排 2．（2）有 无 排列 组合 3．＋＋…＋ ·… 三、基础回顾 1．(1)√【解析】分类加法计数原理中，各类中的方法相互独立，每种方法都可以做完这件事．所以正确． (2)×【解析】两个排列中的元素相同，顺序可能不同，因此不一定是同一个排列．所以错误． (3)×【解析】排列数的意义是“从3个不同的元素中取2个元素，并排列”．所以错误． (4)×【解析】因为C＝C，所以n＝2或n＝3．所以错误． 2．D【解析】每种颜色的色号均为0～255，即红、绿、蓝三种基本颜色的色号均有256种选择，所以在电脑上可配成的颜色种数为256．故选D． 3．D【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取（人），高中部共抽取（人），根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选D. 4．BCD【解析】A＝20；＝C＝10；C＋C＝C＝10；C－C＝C＝10.故选BCD． 5．；n(n－1) 【解析】线段的两端点没有顺序，所以取2个点形成的线段数是C；有向线段的起点和终点是有顺序的，所以取2个点形成的有向线段数是A． 四、考点扫描 例1 （1）9【解析】　因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9． （2）B【解析】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)， 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．故选B. （3）D【解析】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择.再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有（种）.故选D. 对点训练（1）C【解析】原位大三和弦满足k－j＝3且j－i＝4，即k＝i＋7，j＝i＋4，所以i可取1到5的整数，即原位大三和弦的个数为5．原位小三和弦满足k－j＝4且j－i＝3，即k＝i＋7，j＝i＋3，所以i可取1到5的整数，即原位小三和弦的个数为5．根据分类加法计数原理，原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5＋5＝10．故选C． （2）A【解析】根据题意知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有（种）.故选A. 例2【解】(1) 插空法：分两步 第一步：排无要求的元素,4名男运动员排成一排，有A种排法． 第二步：将要求不相邻的元素插入, 4名男运动员之间和两端有5个空位，从中选3个，把3名女运动员排进去，有A种排法．所以女运动员都不相邻共有A·A＝1 440 (种)不同排法． (2) 男、女队长为特殊元素，左、右两端为特殊位置,依据男队长所在的位置，分成两类： 第一类：男队长排在右端，此时分两步完成, 第一步：排男队长, 将男队长排在的在右端，有1种排法． 第二步：排除男队长外的所有运动员，此时女队长不可能在右端了，将女队长与其余5名运动员一起排，有A种排法．所以男队长排在右端的有1×A种排法． 第二类：男队长不排在右端，此时分三步完成, 第一步：排男队长, 除去左、右两端的位置，男队长可排在中间5个位置，有A种排法． 第二步：排女队长, 除去右端和男队长的位置，还有5个位置可用来排女队长，有A种排法． 第三步：排其余运动员 将余下的5名运动员排在剩下的5个位置，有A种排法．所以男队长不排在右端有A××A种排法．所以男队长不站左端，女队长不站右端有1×A＋A×A×A＝3 720(种)排法． (3) 除序法 第一步：将所有元素排成一排,不考虑男队长和女队长的顺序要求，所以7名运动员排成一排，有A种排法． 第二步：除序 在其余运动员位置和顺序均确定的情况下，男、女队长之间有A种排法，这当中只有男队长在女队长左边一种是符合要求，所以男队长在女队长前占总数的．所以男队长必须排在女队长前面共有A·＝2 520 (种)不同排法． 【对点训练】（1）288【解析】 第一步排音乐节目，有A种排法；第二步排舞蹈节目，有A种排法；第三步排曲艺节目，有A种排法．所以共有AAA＝288(种)排法． （2）288【解析】先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为，剩下的家长和儿童全排的排法种数为.由分步乘法计算原理可得，不同的排列个数有（种）． （3）80【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故,若人数为3，则每人值一天班，故,故总的方法有（种）. 例3（1）12【解析】 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有CC＝12(种)不同的选法． （2）5；10【解析】4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法．先4个1排成一行，产生5个空；若2个0相邻，则有5(种)排法．若2个0不相邻，则有＝10(种)排法． 对点训练（1）D【解析】根据题意，分三种情况：①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包，则有（种）方式，②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包，则有（种）方式，③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包，则有（种）方式，所以承包方式共有（种）.故选D. （2）B【解析】①A校去乙地有（种）；②A校与另一所学校去丙地有（种），③A校单独去丙地有（种），所以共有（种）.故选B． 例4 (1)B【解析】不妨记五名志愿者为.假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有（种）方法.同理：连续参加了两天社区服务，也各有12种方法.所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有（种）.故选B. （2）【解析】分以下四种情况讨论：①若小明等待的时间为分钟，则在他前面的只有个男生，此时，满足条件的排队方法种数为；②若小明等待的时间为分钟，则在他前面的为个男生或个女生，此时，满足条件的排队方法种数为；③若小明等待的时间为分钟，则在他前面的为个男生或男女，此时，满足条件的排队方法种数为；④若小明等待的时间为分钟，则在他前面的为个男生个女生或个女生，此时，符合条件的排队方法种数为.综上所述，不同的排队方法种数为. 对点训练（1）C【解析】①如果参加接待工作只有一人，则只能为甲，再把其余4人分组有两类情况：和.把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，所以不同分配方法种数是. ②如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况，再把其余3人分组成，有种分组方法，再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，所以不同分配方法种数是. ③如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况，再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，所以不同分配方法种数是.综上，不同的志愿者分配方案的种数是.故选C. （2）24 ；112【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有（种）选法.每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为： ， ， ， ，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. . 学科网（北京）股份有限公司 $