2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时6 超几何分布与二项分布

该高中数学高考复习讲义围绕超几何分布与二项分布核心考点，按课标要求构建知识体系，涵盖概念理解、分布判定、均值方差计算及实际应用。通过知识梳理夯实基础，基础回顾检测漏洞，考点扫描分三个模块，配合真题例题与对点训练，形成系统性复习链条。 讲义采用对比辨析与分层训练策略，如通过有放回与无放回抽样情境区分两种分布，培养学生数学思维与模型观念。结合2024九省联考等真题实例，设置基础判断、选择及综合解答题，帮助学生高效突破分布应用难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时6 超几何分布与二项分布 一、课标要求 1．理解超几何分布，能判定随机变量是否服从超几何分布，会求超几何分布的均值. 2．理解伯努利试验，掌握二项分布，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差. 3．能够利用超几何分布和二项分布解决简单的实际问题． 二、知识梳理 1．超几何分布 (1) 概念 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么P(X＝k)＝______________(k＝0，1，2，…，m)．即 X 0 1 2 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n，M，N∈． 若一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． (2) 均值 从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么E(X)＝________． 2．n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫作______________． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 3．二项分布 (1) 概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝______________(k＝0，1，2，…，n)．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从二项分布，记做X～_____________． (2) 特征数字 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝_______，D(X)＝_______． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取1个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布． ( ) (2) 从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． ( ) (3) 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，则在第5次试验时恰好第3次发生的概率为C(1－p)． ( ) (4) 设随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np． ( ) 2．一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是(　 　) A．若事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1 B．集合A中的元素个数不确定 C．用X表示事件B“试验成功”发生的次数，p为事件B发生的概率，则P(X＝4)＝Cp4·(1－p)n－4 D．该n重伯努利试验共做了n次互相独立的试验 3．(多选题) 抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功．在30次试验中成功次数为X，则有 ( ) A．试验成功的概率是P(X＝1) B．X～B(30，) C．E(X)＝10 D．D(X)＝ 4．某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援.设表示其中内科医生的人数，则 四、考点扫描 考点一 超几何分布 例1(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，一次随机取出3个小球． (1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2) 记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 规律方法： 对点训练 (2025•北京大兴区模拟)某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（单位：元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下： 牙膏品牌 销售价格 市场份额 （1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，试估计其销售价格低于元的概率. （2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管． ①求n的值. ②从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测．记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望． 考点二 二项分布 例2 (2025·安徽池州市模拟)学校组织某项劳动技能测试，每名学生最多有3次测试机会．一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会．如果每名学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立．现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题． (1) 求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X)． (2) 规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书．记该小组3名学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P(Y＝k)取最大值时的整数k． 规律方法： 对点训练（2025·陕西咸阳市调研）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度，特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.求： (1)甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率； (2)甲队总得分X的分布列和数学期望. 考点三 超几何分布与二项分布的综合 例3 （2025·北京西城区期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过.已知6道备选题中，甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是. (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 规律方法： 对点训练 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本，并称出它们的质量（单位：克），如下表． 质量/克 件数 3 4 7 5 1 (1)从抽取的20件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列： (2)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的期望与方差． 课时6 超几何分布与二项分布参考答案 二、知识梳理 1．(1) (2) 2．伯努利试验 3．(1)Cp(1－p) B(n，p) (2)np np(1－p) 三、基础回顾 1．(1)×【解析】有放回地任取一个球，连取3次，取到红球的个数X服从二项分布．无放回地任取一个球，连取3次，取到红球的个数X服从超几何分布． (2) √【解析】超几何分布的特征是①对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，某类个体数X的概率分布． (3) ×【解析】因为在第5次试验时恰好第3次发生，所以前面4次试验中事件A发生了两次，第5次试验事件A发生，其概率为C(1－p)． (4) ×【解析】因为随机变量X～B(n，p)，所以D(X)＝np(1－p)． 2．B【解析】对于选项A，事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1，故A正确； 对于选项B，一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，所以集合A内的元素个数为n＋1，故B错误； 对于选项C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为P(X＝4)＝C(1－p)n－4p4＝Cp4(1－p)n－4，故C正确； 对于选项D，该n重伯努利试验共做了n次互相独立的试验，故D正确．故选B. 3． BCD【解析】一次试验成功的概率为＝，A错误． 在30次试验中成功次数为X～B，B正确． 所以E(X)＝30×＝10，D(X)＝30××＝．C，D正确．故选BCD． 4．【解析】由题意，得. 四、考点扫描 例1【解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有C种方法，然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，所以P(M)＝＝． （2）由题意可知X的所有可能取值为1,2,3，当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以P(X＝1)＝＝；当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以P(X＝2)＝＝；当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以P(X＝3)＝＝，所以X的分布列如下： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 对点训练【解】（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件． 由题设，． （2） ①由题设，品牌的牙膏抽取了（管），品牌的牙膏抽取了（管），所以． ②随机变量的可能取值为．；； ．所以的分布列如下： 的数学期望为． 例2【解】（1）由题意，知X的所有可能取值为1,2,3，因为P(X＝1)＝0.5，P(X＝2)＝(1－0.5)×0.6＝0.3，P(X＝3)＝(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2，所以X的分布列如下： X 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 所以E(X)＝1×0.5＋2×0.3＋3×0.2＝1.7． （2） 由题知每位学生获得优秀证书的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.5＋0.3＝0.8＝． 方法一：因为Y的所有可能取值为0,1,2,3，且Y～B，所以P(Y＝0)＝C×0×3＝，P(Y＝1)＝C×1×2＝，P(Y＝2)＝C×2×1＝，P(Y＝3)＝C×3×0＝，所以P(Y＝0)＜P(Y＝1)＜P(Y＝2)＜P(Y＝3)，所以使得P(Y＝k)取得最大值时，整数k的值为3． 方法二：由Y～B得P(Y＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，所以＝＝＝4≥4＝＞1，k＝1,2,3，所以P(Y＝3)＞P(Y＝2)＞P(Y＝1)＞P(Y＝0)，所以使得P(Y＝k)取得最大值时，整数k的值为3． 对点训练【解】（1）由题设，甲队得20分，即2人答对1人答错，概率为， 乙队得10分，即1人答对2人答错，概率为，所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. （2）由题意可知，甲队总得分X的可能值为，，，，，甲队总得分X的分布列如下： 0 10 20 30 所以 例3【解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，，所以ξ的分布列如下： ξ 1 2 2 P 则.设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知，所以，，所以η的分布列如下： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知，， ，，所以，，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 对点训练 【解】（1）重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件， X的取值可能为0，1，2，X服从超几何分布，，，，故X的分布列如下： X 0 1 2 P （2）由质量超过505克的产品的频率为，故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为，从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验，即，则，． . 学科网（北京）股份有限公司 $