10.6二项分布、超几何分布与正态分布讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大核心考点，按定义、公式、均值方差及应用场景的逻辑层次梳理知识，通过知识清单夯实基础，自主诊断检验理解，分命题点设置例题精讲与跟踪训练，构建从基础到应用的复习体系，帮助学生突破概率分布的辨析与计算难点。 讲义突出数学建模与逻辑推理素养，如通过青花瓷烧制、选学生会等现实情境引导学生用数学眼光观察问题，对比二项分布与超几何分布的区别培养数学思维，结合新高考真题探源设计分层练习。精准对接高考命题规律，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第六节　二项分布、超几何分布与正态分布 知识清单 1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为________． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝________． ②若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________． 2．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (2)均值：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E＝p，即E(X)＝. 剖析　“二项分布”与“超几何分布”的区别：放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布． 3．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为________． (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②曲线在________处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________． 【常用结论】 对于X～N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)． (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p.(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．(　　) 2．(人教A版选修三P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝(　　) A.2 B．1 C． D． 3．(人教A版选修三P80练习T2改编)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为________． 4．(人教A版选修三P87习题T2(2)改编)某市高二年级学生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝________．(精确到0.000 1) 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　二项分布 例1 (2026·玉溪模拟)玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为. (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X，求X的分布列及期望． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修三P91T6)已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有n门大炮同时对某一目标各射击一次． (1)当n＝5时，求恰好击中目标2次的概率(精确到0.01)； (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要多少门大炮？(lg 2≈0.301) 命题点二　超几何分布 例2 某中学组织庆五一教职工篮球活动，高三年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装． (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设X表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求X的分布列及数学期望． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修三P81T6)袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X. (1)求X的分布列； (2)求E(X)； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为Y分，求P(Y>15)的值． 命题点三　正态分布 例3 (1)(多选)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 (2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修三P91T12)某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(75，82)．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1)． 学霸笔记：(1)正态曲线在已知区间上的概率求解问题，可利用正态曲线关于直线x＝μ对称的特征，结合正态曲线及正态曲线的性质如P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)等求解． (2)利用正态分布结合样本总体估计样本落在某一区间的频数时，首先应计算出样本落在该区间的频(概)率，再根据频(概)率的意义求解，此类问题要注意3σ原则的应用． (3)利用正态分布求解实际问题，首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差，进而计算标准差，将问题转化为正态分布问题，结合正态分布的有关性质求解．计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据，则在计算中应出现并利用相应的数据)． 第六节　二项分布、超几何分布与正态分布 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)两个　n重伯努利试验 (2)Cpk(1－p)n－k　X～B(n，p) (3)①p　p(1－p)　②np　np(1－p) 2．(1) 3．(1)X～N(μ，σ2)　(2)①x＝μ　②x＝μ　(4)μ　σ2 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．解析：由题意可知X～B(4，)，所以E(X)＝4×＝2. 答案：A 3．解析：从12名候选人中选4名同学组成学生会，有C种选法；选出的4人中有2名候选人来自甲班，有CC种选法．所以甲班恰有2名同学被选到的概率为＝＝. 答案： 4．解析：由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. 答案：0.682 7 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为Y，则Y≤2的对立事件为Y＝3， ∵P(Y＝3)＝()3＝，∴P(Y≤2)＝1－P(Y＝3)＝1－＝. (2)∵乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X，乙烧制青花瓷的成品率为， ∴X～B(3，)，∵X的可能取值为0，1，2，3， ∴P(X＝0)＝C·()0·()3＝1×1×＝， P(X＝1)＝C·()1·()2＝3××＝， P(X＝2)＝C·()2·()1＝3××＝， P(X＝3)＝C·()3·()0＝1××1＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望E(X)＝np＝3×＝. 跟踪训练　解析：(1)5门大炮同时对某一目标各射击一次， 设击中目标的次数为X，则X～B(5，0.5)， 故恰好击中目标2次的概率为C×0.52×(1－0.5)3≈0.31. (2)由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次， 击中0次的概率为(1－0.5)n＝0.5n，则至少击中一次的概率为1－0.5n， 则1－0.5n>80%，即n lg 0.5<lg 0.2， 解得n>＝＝≈≈2.3. 因为n∈N*，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要3门大炮． 例2　解析：(1)由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有C种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有C种，故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为p＝1－＝. (2)X的所有可能取值有0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 跟踪训练　解析：(1)由题意得，X的可能取值为0，1，2，且X～H(8，3，2). P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)因为X～H(8，3，2)，所以E(X)＝1+2＝. (3)由已知得Y＝10X＋5×(3－X)＝5X＋15， 因为5X＋15>15，所以X>0， 所以P(Y>15)＝P(X>0)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 例3　解析：(1)由题可得X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，故A错误，B正确；P(Y>2)＝P(Y>－s)≈0.841 3>0.5，故C正确，D错误． (2)由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 答案：(1)BC　(2)0.14 真题探源　解析：因为考试成绩服从于正态分布，记考试成绩为X，则由题意X～N(75，82)，其中75为期望，8为标准差． 设分数达到a及以上就是A等级，分数达到b但小于a就是B等级，分数达到c但小于b就是C等级，分数未达到c就是D等级． 由题意P(X≥a)＝16%，P(b≤X<a)＝34%，P(c≤X<b)＝34%，P(X<c)＝16%， 由于P(X≥b)＝P(X≥a)＋P(b≤x<a)＝50%，因此b＝75， 由于P(X≥a)＝P(X<c)＝16%，因此a和c是关于X＝75对称的． 接下来需要把该正态分布转换为标准正态分布，依据若X～N(μ，σ2)， 则z＝～N(0，1)，因此P(X≥a)＝P(≥)＝16%， 查标准正态分布表可知0.99<<1.0， 因此82.92<a<83.0，故取a＝83，则c＝67. 综上所述，等级分数线的划分为：分数大于或等于83分为A等级；分数大于或等于75分但小于83分为B等级；分数大于或等于67分但小于75分为C等级；分数小于67分为D等级． 学科网（北京）股份有限公司 $