二次函数讲义-2026-2027学年初升高数学教材衔接

强基讲座07 二次函数 考点1：二次函数的图象与性质（系数、对称轴、增减性、最值） 1．已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点， 与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中： ①； ②； ③与是抛物线上两点，若，则； ④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则； ⑤，则，正确的个数是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的 交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（    ） ①当时，； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3 D．4个 考点2：二次函数与方程、不等式（判别式、根、解集、参数范围） 1．已知关于x的二次函数与x轴交于不同的两点，则实数，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．点必在该抛物线上 4． 二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 考点3：二次函数与一次函数综合（交点、无交点、恒有公共点） 1．如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( ) A． B． C．或 D． 3．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是 ． 考点4：二次函数与几何变换（平移、旋转、对称） 1． 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶 点分别在轴、轴的正半轴上，如果将这个正方形绕点按 顺时针方向旋转，则点恰好落在二次函数的图象上， 则（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A是二次函数yx2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线yx上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（1，） D．（，） 3． 如图，抛物线与轴交于点（点在点的左 边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后 得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点 ，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解 析式为 ． 4．二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点 为点M． （1）求二次函数的解析式；答案：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ，请求出m的值； （3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME，求旋转中心点R的坐标． 考点5：二次函数综合应用（动点、面积、角度、最值、存在性） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则 ． 2．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 3．如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． （1）直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ （4）若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 4．抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． （1）如图①，求射线的解析式；答案：，， （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值； （3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基讲座07 二次函数 考点1：二次函数的图象与性质（系数、对称轴、增减性、最值） 1．已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解析：已知二次函数，其开口向上，对称轴为直线。二次函数开口向上时，图象上的点离对称轴越远，其函数值 (y) 越大。 点到对称轴 的距离为 点到对称轴 的距离为 点到对称轴 的距离为 因为 (2.25 > 1.25 > 0.75)，所以。故选 B。 2．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中： ①； ②； ③与是抛物线上两点，若，则； ④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则； ⑤，则，正确的个数是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 解析：由图象可知，抛物线开口向下（(a < 0)），对称轴在 (y) 轴右侧（），与 (y) 轴交于负半轴（(c < 0)）。 ①因为 (a<0, b>0, c<0)，所以 (abc > 0)，结论①正确。 ②因为点 (B(4,0)) 在抛物线上，代入得 。由于 (c < 0)，则 (16a + 4b > 0)，即 (4a + b > 0)，结论②正确。 ③由于对称轴具体位置未知，可能都在对称轴左侧（此时函数单调递增），则，结论③错误。 ④若对称轴为 ，则。原不等式左边，右边 。移项得：。因为 (a < 0) 且，所以。当 时，左边 ，右边 ，不满足严格小于 (0)，结论④错误。 ⑤设点。已知 (AB \ge 3)，且 (B(4,0))，故。由韦达定理，。因为，所以。由于 (a < 0)，两边乘以 (4a) 得：(c \ge 4a)。又因为，代入 (c \ge 4a) 得：。因为 (c < 0)，所以 (-2c > 0)，故 ，结论⑤正确。综上，正确的结论有①②⑤，共3个。故选 C。 3．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的 交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（    ） ①当时，； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：：抛物线过 ，顶点为 ((1, n))，所以对称轴为 ，即。将 代入解析式：。顶点纵坐标 。 ①点 关于对称轴 的对称点为 ((3,0))。因为抛物线开口向下（(a<0)），所以当 (x > 3) 时，(y < 0)，结论①正确。 ②。因为开口向下，(a < 0)，所以 (3a + b < 0)，结论②错误。 ③抛物线与 (y) 轴交点在 ((0,2)) 到 ((0,3)) 之间，即 (2 \le c \le 3)。代入 得：，解得，结论③正确。 ④因为 ，且，同时乘以 (-4)（不等式变号）：，即，也即，结论④正确。综上，正确的结论有①③④，共3个。故选 C。 考点2：二次函数与方程、不等式（判别式、根、解集、参数范围） 1．已知关于x的二次函数与x轴交于不同的两点，则实数，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 解析：方程 的两根在 (a,b) 外侧，故（默认），选A。 2．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由解集形式得 (a>0)，两根和为 (-4)，推出 ，再结合 (P(m,2)) 得到，且，解得（或负区间），选项中只有 满足，选A。 3．已知抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．点必在该抛物线上 解析：设 ，由 ((1,1)) 得 ，由 推出 (0<m<1)，进而 (a<0,\ b>0)。 A：(ab<0) 正确 B：可化为，正确 C：，故 (3a+b<0) 错误 D：对称轴 ，((1,1)) 的对称点为 ，正确 所以错误的是C。 4． 二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 解析：设二次函数两根为 (1) 和，则令 ，由得即一次函数交点： 情况 1：(a>0)则 (b>0)，。所以[m+n=5] 情况 2：(a<0)则 (b<0)，。 所以[m+n=-7] 考点3：二次函数与一次函数综合（交点、无交点、恒有公共点） 1．如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：抛物线与直线 都过 (y) 轴上的点 (D(0,c))。 抛物线对称轴为 ，故 抛物线与 (x) 轴交于 (A,B)，且 ，直线与 (x) 轴交于 (C)，且 (C) 在点 (B) 的右侧。 由图象可知点 (A) 在原点左侧，即，点 (B) 在原点右侧，即。 设，则 由 ，且 (D) 在 (y) 轴上，有因为，所以，故 判断 (c) 的符号若 (c>0)，则 ，所以，即。 由，得。又由韦达定理即因为 (c>0)，所以 (a<0)，抛物线开口向下。 此时 (C) 在 (B) 右侧，直线 与 (x) 轴交点横坐标由于 (c>0)，且，得 (k<0)。于是可推出 (A)：，错； (C)：，但 (k<0)，故 ； (D)：由 (k) 的范围可推出 (ac+k<0)，错； (B)：不一定成立。 所以 (c>0) 与选项矛盾，故 (c) 不能为正。 若 (c<0)，则 ，由得。 于是，且所以抛物线开口向上，且 。此时即选项 A 正确。 逐一验证其余选项均不能恒成立，故选A。 2．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( ) A． B． C．或 D． 解析：二次函数一次函数两图象无交点，即方程在 上无实数根。 整理得其判别式 情况一：即此时方程无实根，满足。 情况二：且两根均在区间左侧，两根均在 左侧，即较大根 (<-1)。 对称轴又因为开口向上，只需 (f(-1)>0)：结合，得[b<-4.] 情况三：两根均在区间右侧，需对称轴 (>5)，即，但此时，与矛盾，故不可能。 综上，无交点条件为故选C。 3．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是 ． 解析：已知无论 (k) 取何非零值，两函数图象总有公共点，即方程对任意 都有实数解。整理得其判别式化简：这是关于 (k) 的二次函数，开口向上。要使对一切 恒成立，只需其最小值非负。 最小值在[k=2a]处取得，所以4a(3a+1)≥0.因 ，解得故 (a) 的取值范围为 考点4：二次函数与几何变换（平移、旋转、对称） 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别 在轴、轴的正半轴上，如果将这个正方形绕点按顺时针方向旋转，则点恰好落在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 解析：正方形 (OABC) 边长为 (10)， 绕原点顺时针旋转后，点 (B) 的旋转角由变为 所以旋转后点 (B') 为 代入：， 故选D。 2．如图，点A是二次函数yx2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线yx上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（1，） D．（，） 解析：设点 (B) 在直线上，则 (B') 与 (B) 关于原点对称，所以 (BB') 的中点为原点 (O)。因为是等边三角形，所以AO⊥BB′。直线 (BB') 的斜率为 所以直线 (AO) 的斜率为即点 (A) 在直线上。 又因为点 (A) 在抛物线上，且在第一象限，所以联立： ，因为 (x>0)，所以，所以点 (A) 的坐标 3． 如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 解析：原抛物线为与 (x) 轴交点为 设新抛物线是由原抛物线向右平移 (h\ (h>0)) 个单位得到的，则新抛物线为 它与 (x) 轴交点为 两抛物线的交点为 (F)，则：， 解得所以 因为 (A,E) 都在 (x) 轴上，若为等腰直角三角形，直角顶点只能是 (F)。 由FA⊥FE，可得：即 分情况讨论： 情况一：，[(h-6)(h+4)=0] 因为 (h>0)，所以[h=6]新抛物线为 情况二：，[(h+4)(h-2)=0] 因为 (h>0)，所以[h=2]新抛物线为 因此新抛物线的解析式为：或 若结合图形中交点 (F) 在 (x) 轴下方，则取： 4．二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点 为点M． （1）求二次函数的解析式；答案：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ，请求出m的值； （3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME，求旋转中心点R的坐标． 解析（1）求二次函数解析式二次函数与 (x) 轴交于 设 又因为与 (y) 轴交于点 ，所以常数项为 (-3)：[-3a=-3] [a=1]所以顶点为[M对称轴为[x=1 （2）设点 (P) 的横坐标为 (m\ (m>3))，则 设点 (Q) 在对称轴上，则[Q(1,q)]令[u=m-1>2]则 设QP=(u,t)其中又AQ​=(2,q)因为 所以向量AQ是 QP旋转后放大 2 倍得到的。 因此，且[q=-2ut 又因为 所以： 当 时：，解得 均不满足 (u>2)，舍去。 当 时：，，[(u-3)(u+1)=0] 因为 (u>2)，所以[u=3]于是[m=u+1=4]所以m=4 （3）求旋转中心 (R)设旋转中心为 因为绕 (R) 旋转，点 的对应点为 (E)，所以 (R) 是 (AE) 的中点： [E=]又因为点 (B(3,0)) 的对应点为 (D)，所以[D=] 已知顶点[M则MB=(2,4) ,ME=(2r,4)所以 , , , 由题意：平方得： [(r-4)(11r+4)=0]因为 (r>0)，所以[r=4]因此旋转中心为R(4,0) 考点5：二次函数综合应用（动点、面积、角度、最值、存在性） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则 ． 解析：二次函数 令 ：两边乘 (-4)：[(x+8)(x-2)=0] 所以与 (x) 轴交点为 、((2,0))。取 ，则 (B(2,0))。 与 (y) 轴交点：[C(0,4)]直线 (AC) 的斜率为： 设直线 (AC) 的倾斜角为，则： 所以：因此： 因为直线 (l) 是由 (AC) 绕点 (A) 逆时针旋转得到的，所以 (l) 与 (AC) 的夹角为，即：又因为：所以： 在中，由正弦定理： 而：且： 所以：， 因此： 2．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 解析：（1）求二次函数解析式二次函数与 (x) 轴交于 、(B(2,0))，故可设： [y=a(x+1)(x-2)]展开： 当 时：[y=-2a]所以：[C] 因为 (a>0)，所以 (C) 在 (y) 轴负半轴上。在直角三角形 (AOC) 中： 且： 题给：所以：[2a=2][a=1] 因此二次函数解析式为：[y=(x+1)(x-2)]即： （2）求点 (P) 的坐标由（1）：[C]因为 (CD\parallel x) 轴，所以 (C,D) 的纵坐标相同，都是 (-2)。令：, ,[x(x-1)=0] 所以：因为 ，所以：[D]于是：[CD=1] 直线 (BC) 过 (B(2,0))、，其方程为：[y=x-2]即：[x-y-2=0] 设。点 (P) 到直线 (BC) 的距离为： ，， 又所以： 而：[S_{\triangle BCD}=\frac12\cdot CD\cdot \text{高}]其中 (CD) 上高为 (B) 到直线 的距离：[0-(-2)=2]所以：由题意：所以： 即： 分情况： 情况一：,, [x=1]此时： 即 ，与 (D) 重合，不符合题意，舍去。 情况二：, ， 当时：， 当时, ， 所以满足条件的点 (P) 为：或 （3）求并求最大值由（1）：设： 因为点 (P) 在直线 的下方，所以： ,[0<t<2]连接 (OP)，交 (BC) 于点 (Q)。 设点 (Q) 在线段 (OP) 上，令：[Q=mP]其中 (0<m<1)，则： 因为 (Q) 在直线 上，所以： 整理：， 而：代入 (m)：,所以 求最大值当 时，取最大值： 此时：[P]即点 (P) 与 (D) 重合，仍在 (BC) 下方，符合题意。 3．如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． （1）直接写出两点坐标以及抛物线的解析式；答案：：； （2）点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ （4）若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 解析：抛物线 (1)令 ，得所以 与 (y) 轴交点：。因为 (a<0)，所以 (-2a>0)。 由题意得所以抛物线解析式为 (2)由 (P(2,h)) 在抛物线上： 所以[P] 直线 (AP) 的斜率为 设直线 (PD) 的斜率为 (k)。因为 而的正切值为由两直线夹角公式： 即解得 当 时，(PD) 为直线 ，与抛物线交于另一点： ，，[x=2 \text{ 或 } x=-3]所以[D] 当时，另一交点不在第三象限，舍去。因此[\boxed{D}] (3)若的面积为的 2 倍，则又[AB=3] 所以点 (E) 到 (x) 轴的距离为即 抛物线顶点纵坐标所以无解，只能 代入抛物线：，， 所以[\boxed{E\text{ 或 }E}] (4)按顶点顺序 (A,C,P,Q) 为平行四边形。平行四边形对角线互相平分，所以 [A+P=C+Q]即[P=C+Q-A] 情况一：(Q) 在 (x) 轴上设[Q(q,0)]则[P=(0,1)+(q,0)-=] 因为 (P) 在抛物线上，且： ， 当 时，，退化，舍去。 当 时，，此时[q+2=-1]，[q=-3]所以 情况二：(Q) 在 (y) 轴上，设[Q(0,q)]则[P=(0,1)+(0,q)-=] 因为 (P) 在抛物线上，且，所以 因此[1+q=-2]，[q=-3] 所以 综上： [\boxed{P,Q}] 或[\boxed{P,Q}] 4．抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． （1）如图①，求射线的解析式；答案：，， （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值； （3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． (1)直线[y=-x+2]，与 (x) 轴交点：[M(2,0)]点 关于 (x) 轴对称点为[F(5,3)] 直线 (MF) 的斜率：所以直线 (MF) 为[y=x-2] 因为是从 (M(2,0)) 出发的射线，所以 (2)折线 (EMF)： 抛物线 的对称轴为[x=2] 且折线 (EM) 与射线 (MF) 关于直线 对称。 若两个交点都在 (EM) 上，则两个横坐标之和为 (5)，但都在 ([0,2]) 内，不可能。 若两个交点都在 (MF) 上，则两个横坐标之和为 (3)，但都在 ([2,+\infty)) 内，也不可能。 所以两个交点分别在 (EM) 和 (MF) 上，且关于 对称。 因此 (3)抛物线经过点 (C(0,5))，代入：[5=a]所以 与 (x) 轴交于： 所以[A]，设直线 (AP) 的斜率为 (k)，则 [AP:\ y=k(x+1)] 因为 (P) 是直线 (AP) 与抛物线的另一交点，代入： 整理得，其中一根为 ，另一根为 因为 (P) 在 (x) 轴上方的抛物线上，所以 [0<k<6] 直线 (AP) 与直线 [y=-x+2] 交于点 (N)，于是 [k(x+1)=-x+2]， 于是， 所以 其中 又 因此 令 其顶点为 最大值为 另一段取绝对值后最大值小于。 所以当 时， 此时 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $