数学方法之判别式法讲义-2026-2027学年初升高数学教材衔接

强基讲座05 考点1判别式法求值域 【典例分析】 1求函数y=X-x的值域。 x2-x+1 2.求函数y=3x-2x-1的值域。 x2-1 3.求函数，-x+x-1的值域。 V= x2+x-6 【练习】 1.求函数y=x+1 x2+x+1 ,x∈[1,2]的值域。 2.求函数y=X+x-2的值域。 x2-1 考点2判别式法求最值 数学方法之判别式法 【典例分析】 1.若2x-2y+y=1,求x+2y)的最小值与最大值。 2已知实数xy满足X+y+y=1'求S=+4Y的最小值与最大值。 x+2y1 3.实数x,y满足4x2-5y+4y2=5,求S=x2+y的最小值与最大值。 【巩固练习】 1.已知关于x的方程(m-1)x+(m-1)x+1=0有实根，求实数m的取值范围。 2.已知a>2,b>1,且满足ab=a+2b+1,求2a+b的最小值。 3.设实数x,y满足x+y=a(a>0),求x+y的取值范围。 考点3判别式法证明不等式 【典例精讲】 1.已知x,y,Z∈R,(a>0),且x+y+z=a,x2+y+z2=12a2. 求证：x,y,z∈0,23a. 2已知ab=2(c+d,证明：两个实系数方程x+ax+c=0,x2+bx+d=0 至少有一个有实根。 3.己知实数a,b,c满足(atc)(a+b+c)<0求证：(b-c2>4a(a+b+c). 【巩固练习】 1.已知a,b,c∈R,证明：（a-b2≥(c-2a)(2b-c). 2.已知x-3,y+3z=0,求证：y≥4xz. 3.已知实数a,b,c满足a+b+c=0求证：ab+bc+ca≤0 强基讲座05 数学方法之判别式法 考点1 判别式法求值域 判别式法求值域要点 形如的分式函数，常用“去分母后转化为关于 (x) 的方程，利用判别式”求 y)的范围。 需要注意： 1. 定义域：分母不能为 0； 2. 二次项系数为 0 时，要单独讨论； 3. 若分子分母有公因式，先约分，但必须保留原定义域； 4. 若给定区间，判别式法需结合区间根分布，单调性通常更简洁。 【典例分析】 1求函数的值域。 解:定义域为。去分母： 整理得：若 ，则上式变为：矛盾，所以。 当时，关于 x的二次方程有实数根，因此： ; ; 解得： 又因为，所以： 当时，，对应，可以取到。因此值域为： 例 2求函数的值域。 解定义域：所以： 先因式分解： 因此：约分后得到： 进一步变形： 令：t=x+1则： 于是： 当 时，，所以： 当 时，，所以 其余值都可以取到。因此值域为： 例 3求函数的值域。 解定义域：则所以： 去分母：整理得： 若 ，则：矛盾，所以： 当时，二次方程有实数根，需满足： ; 所以：即 解得： 又因为，所以： 【练习】 1求函数的值域。 解设：求导： 当时：f'(x)<0所以 f(x) 在 [1,2] 上单调递减。 因此：所以值域为： 2求函数的值域。 解定义域：所以： 因式分解：; 因此：约分后得：形： 令：t=x+1则：于是： 所以值域为： 考点2判别式法求最值 【典例分析】 例1：若，求 (x+2y) 的最小值与最大值。 解：设 ，则 。代入原方程：展开整理：即：这是关于 (y) 的一元二次方程，因存在实数 (y)，判别式：所以：当判别式为0时等号成立，故最值可取。 答案： 例2：已知实数x,y满足，求的最小值与最大值。 解：设 ，则：移项： 若 ，由原方程得，此时，故 可行。 若 (y e0)，令，上式化为：该方程有实根 (t)（因为存在实数 (x,y)）。 当 时，方程为 ，有实根，可行。 当时，判别式：得： 当 或 时判别式为0，对应实数存在，等号可取。 答案： 例3：实数 x,y 满足，求的最小值与最大值。 解：由条件：即： 因为 (x,y) 为实数，所以： 计算：得： 计算：得： 因此：等号分别由 和 时取得，且满足原方程，故最值可达。 答案： 练习 1：已知关于x的方程有实根，求实数m的取值范围。 解：分情况讨论。 情况一：二次项系数为0，即。 当 时，方程变为，即 ，无实根，舍去。 当 时，方程变为 ，有实根，符合。所以 可取。 情况二：二次项系数不为0，即，此时为一元二次方程，有实根需判别式： 即：因式分解：解得：但由于 在情况一中已排除，且 时二次项系数为0，此处应排除 。另外 虽在区间内，但已在情况一中单独讨论并允许，不影响。 综合情况一和情况二，最终： 答案： 2：已知 ，且满足 ，求的最小值。 解：设 ，则 。代入 ：[a(t-2a)=a+2(t-2a)+1]移项整理：即：这是关于的一元二次方程，因存在实数，判别式：解得：又因为 ，所以：因此只能取：等号成立时判别式为0，对应：满足条件，故最小值可达。 答案： 3：设实数满足，求的取值范围。 解：设 ，则：所以：若 ，则左边为0，右边为，矛盾，故。于是： 因为是实数，所以关于的方程有实根，其判别式：代入 p：即： 讨论：若 s<0，则（因为，分母为负，分式为负，不符合，故 s<0不可能。因此s>0，此时分母为正，所以需： 又因为s>0，且 不能取到（前面已证），所以： 当时，满足，且，最大值可取。最小值0不能取，因为 x+y为正。 答案： 考点3、判别式法证明不等式 核心思想：若一个一元二次方程有实数根，则其判别式；若有两个不同实根，则。 因此，要证明形如或 (>) 的不等式，可构造二次方程/函数，转化为判别式问题。 【典例精讲】 1.已知，(a>0)，且 求证： 证明：由得 于是 (y,z) 可看作一元二次方程 的两个实数根。所以判别式 化简： 因为 (a>0)，解得 同理可证故 2已知ab=2(c+d),证明：两个实系数方程 至少有一个有实根。 证明：设两个方程的判别式分别为 反设两个方程都无实根，则两式相加： 又因为ab=2(c+d),所以代入得 即也就是矛盾。 因此假设不成立，至少有一个方程的判别式不小于 (0)，即至少有一个方程有实根。 3.已知实数 a,b,c满足(a+c)(a+b+c)<0求证： 证明：构造二次函数 它的判别式恰好是 只要证明即可。计算：f(0)=a+b+c,f(-1)=a-(b-c)+(a+b+c)=2(a+c). 由条件(a+c)(a+b+c)<0,得f(0)f(-1)=2(a+c)(a+b+c)<0. 所以f(x)在 两端异号，因此方程f(x)=0在 内至少有一个实根。 若 ，则必有，否则条件不成立，所以 若，由于方程有实根且两端异号，不可能是重根，所以判别式严格大于 0。 因此即 【巩固练习】 1.已知，证明： 提示：移项并配方： 故原不等式成立。 2.已知求证： 提示：由条件得两边平方： 要证，只需证代入得 即也就是显然成立。 3.已知实数 a,b,c 满足求证： 提示：由 ，考虑以b,c为两根的一元二次方程： 即该方程有实数根b,c，所以判别式因此 于是故 学科网（北京）股份有限公司 $