强基讲座04 数学方法之待定系数法-2026年初高中数学衔接讲义

强基讲座04 数学方法之待定系数法 考点1 配方法与完全平方式 1. 若是完全平方式，则 k = （　） A．9　　B．－9　　C．±9　　D．±3 2. 把多项式写成一个多项式的平方。 考点2 因式定理与余式定理——求参数或因式 1. 若有两个因式x + 2和 x - 1，则 的值是（　） A．4　　B．3　　C．2　　D．0 2. 设为常数，多项式除以所得的余式为 ，则 　 A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2 3. 已知多项式的一个因式是，则______。 4. 若多项式能被整除，则_______。 5. 若多项式当 和 时的值均为0，则当 ______ 时，多项式的值也是0。 考点3因式分解与部分分式 1. 因式分解 。 2. 把 化为部分分式。 考点 4（待定系数法求函数解析式——一次、二次、抛物线） 1.已知二次函数，若，，则 的取值范围是______。 2.设二次函数满足 ，且其图像在轴上的截距为 1，被轴截得的弦长为，求的解析式。 3.如图，抛物线（）经过轴上的两点、 和 轴上的点，⊙p 的圆心p在 轴上，且经过B、C两点。若，。 (1)求抛物线的解析式； (2)设点 D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心 P ，并说明理由。 4.已知一次函数满足：，则的解析式是______。 5.如图，抛物线与 轴交于点 B ，与 轴交于点 A 、C (点A在点C的右边）OB=3OC 。 (1)求抛物线的表达式； (2) P )为抛物线上任意一点，将点P 向上平移 2 个单位长度得到点 P' ，若点 P' 关于原点 O 的对称点恰好落在抛物线上，求此时点 P 的坐标； (3)将抛物线 向右平移 n （( n>0 )）个单位长度得到抛物线 L ，若点、 均在抛物线L 上，且，直接写出n 的取值范围。 考点5（恒等式、方程、不等式、最值及其他综合应用） 1.已知函数的最大值为7，最小值 -1，求此函数式。 2.设实数x, y满足：则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 16 3.是否存在常数 a, b, c，使得等式 对一切自然数 n都成立？并证明你的结论。 4.已知，则的值是（ ） A. B.  C. D. 5.如上图，将矩形 ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6.方程与 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为（ ） A. 1 B. (-1) C. p+q D. 无法确定 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基讲座04 数学方法之待定系数法 —— 详细解答 考点1 配方法与完全平方式 1. 若是完全平方式，则 解：所以 。 答案：A 2. 把多项式写成一个多项式的平方。 解：设 展开比较系数：取 ，符合所有等式。故 考点2 因式定理与余式定理 —— 求参数或因式 1. 若有两个因式 x+2和x-1，则 的值是 解：由因式定理： 当 时，。 当 时，。 解得 。则 。 答案：D 2. 设为常数，多项式除以所得的余式为 ，则 　 A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2 解：设 展开：。 比较系数得，故 。 答案：C 3. 已知多项式的一个因式是，则______ 解：设 展开比较系数：常数项：。x的系数： 成立。y的系数：。 所以 ，故 。 答案：-3 4. 若多项式能被整除，则 解：设 展开比较系数： 所以 。 答案：-7 5. 若多项式当 和 时的值均为0，则当 多少时，多项式的值也是0？ 解：已知两根为1和2，设第三根为r，则 展开得，比较系数：。 所以第三个根为3。 答案：3 考点3 因式分解与部分分式 1 因式分解 解：设 比较系数，取 ，则 解得 ，验证通过。 故 2. 把化为部分分式。 解：分母分解： 设 去分母：[13x+14=A(2x+1)(x-7)+Bx(x-7)+Cx(2x+1)] 令 ：。 令 ：。 令：。 故 考点4 待定系数法求函数解析式（一次、二次、抛物线） 1. 已知二次函数，若，，则 (f(3)) 的取值范围是 解：令 ，。 则 。[f(3)=9+3a+b=-u+2v+2] 由， 当 时，； 当 时，。故。 答案： 2.设二次函数满足 ，且其图像在轴上的截距为 1，被轴截得的弦长为，求的解析式。 解：由 知对称轴为 ，设 截距为1：。 弦长公式：两根距离为。 代入得。 故 3. 如图，抛物线（）经过 x轴上的两点、和y轴上的点，圆P的圆心在y轴上，且经过B、C两点。若，。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 设点D在抛物线上，且C、D关于对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由。 解：由得。 又，设两根为，则 且，平方： 所以，抛物线为 解得两根为和。取右侧交点，对称轴。 点关于对称轴的对称点D： 圆心P在y轴上，设P(0,p)，由 得： 所以。直线BD的斜率，直线BP的斜率， 故B、D、P共线，所以直线BD经过圆心P。 4. 已知一次函数满足：，则的解析式是 解：设 ，则 所以。 当 时，； 当 时，。 故 5. 如图，抛物与y轴交于B，与x轴交于点A、C（点 A在点C的右边），且 。 (1) 求抛物线的表达式； (2) 若 P为抛物线上任意一点，将点) 向上平移2个单位得到点P'，若点P'关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点 P的坐标； (3) 将抛物线向右平移n（(n>0)）个单位得到抛物线L，若点、均在L上，且，直接写出n的取值范围。 解：(1)由 得 (B(0,3))，故 。 由 ，得 。 抛物线对称轴为 ，且 (A) 在 (C) 右边，所以 (C) 应在对称轴左侧，取 ，则 (A(3,0))。代入 ： 故抛物线： (2) 设，向上平移2个单位得。 其关于原点对称的点为。 点 (Q) 在抛物线上： 化简得。 当 时，(P(2,3))；当 时，。 所以点 (P) 的坐标为 ((2,3)) 或 。 (3) 原抛物线向右平移 (n) 个单位得 代入 ： 代入 ： 由： 又n>0，故。 考点5 恒等式、方程、不等式、最值及其他综合应用 1.已知函数的最大值为7，最小值 -1，求此函数式 解：由得 因x)为实数，判别式： 即 该不等式的解集为 ，所以方程 的两根为 -1和7。 由韦达定理： 解得 或 ((5,1))。 故函数式为 2. 设实数 (x,y) 满足，则的最小值为 解：令，用 (a,b) 表示 (z)： 比较指数：，解得。 所以。要使 (z) 最小，取，得 答案：A 3. 是否存在常数 (a,b,c)，使得等式 对一切自然数 (n) 都成立？并证明你的结论。 解：令。 分别取 ：：，右边，得 。 ：，右边，得 。 ：，右边，得 。 解方程组： 相减得 ，解得 。 证明（数学归纳法）： 当 时，左边 ，右边，成立。 假设 时成立，即 则 这正是 时的右边形式（因 ）。 故等式对一切自然数 (n) 成立。 4. 已知，则的值是 解：设 （），则 答案：D 5. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点) 恰好落在边AD的F处，如果，那么的值是 解：设 ，则 。折叠后 。 在直角三角形 (CDF) 中， 所以 答案：A 6. 方程与只有一个公共根，则其余两个不同根之和为 解：设公共根为 (r)，则 相减得。 因为只有一个公共根，所以，故 。 代入任一方程得。 设第一个方程的另一根为，第二个方程的另一根为，由韦达定理： 相加： 答案：B 学科网（北京）股份有限公司 $