强基讲座03 数学方法之换元法-2026年初高中数学衔接讲义

讲座03：数学方强基法之换元法 考点1：换元法在因式分解中的应用 1.分解因式： 。 2.分解因式：。 考点2：换元法在解方程与方程组中的应用 1.已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是______。 2.解方程或方程组： （1） （2） （3） （4） 巩固练习 1.方程的解为______。 巩固练习 2.解方程：。 考点3：换元法在求值、范围、最值及证明中的应用 1.已知是方程的两根，的值是（ ）。 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 2.设均为正数，如果， ，则的大小关系是（ ） A. M>N B. M<N C.  D. 不确定 3.实数满足，则的取值范围是______。 4.已知，求证： 5.实数满足，设，求 的值。 巩固练习 1.若，则函数的最小值为（ ） A.  B. 2  C. 4  D. 2.如果 ，则的值为 ______。 3.已知，则的范围是 ______。 4.已知，，，则的范围是 ______。 5.函数的值域是 ______。 学科网（北京）股份有限公司 $强基讲座03：换元法 考点1：换元法在因式分解中的应用 1.分解因式：（X2+4x+3(X2+4x+5)+1° 答案：(x+24 解析：令t=X2+4x则原式=(t+3)t+5)+1=t+8t+16=(t+4=(X2+4x+4=(x+2 2.分解因式：(x+1)(x+2(x+6)(x+3)+x° 答案：（x+6x+6 解折：组合：(x+1(x+6)=X2+7x+6'(x+2(x+3=X2+5x+6 令u=X+6:则原式=(u+7x)0u+5x)+X2=2+12x+36x2=(u+6x=(x+6x+6 考点2：换元法在解方程与方程组中的应用 1已知关于X,y的方程组0，X+hVC的解是小X=9则关于x,y的方程组 a2x+b2y=C2 (y=5 a1x2-2a1x+b1y=C1-a1的解是 -。 azx2-2a2x+b2y=c2-a2 答案：x=4,y=5或x=-2,y=5 解题过程：将每个方程左边关于 (x)的部分配方： aX-2ax=a1(x2-2x)=a(x-12-1]=a,(x-1P-a.代入第一个方程： a,(x-12-a,+b1y=G,-a,→a,(x-1P+b,y=c1.同理，第二个方程化为：a,(x-1P+b,y=c,.因 此，新方程组等价于： a1(x-12+b1y=C1 az(x-1)2+b2y=c2 原方程组可视为关于未知数X=xY=y的线性方程组： a1X+b1Y=C1且其解为X=9,Y=5° aX+b2Y=C2 现在新方程组中，(x-1})充当了原来W的角色，而W仍充当。 因为系数a,b,a2,b,不变，右边常数也相同，所以必须有：(X-1P=9,y=5 (x-1)=9→x-1=±3→x=4或x=-2. 最终答案：x=4,y=5或x=-2,y=5 2.解方程或方程组： (1)x4+(x-44=626 答案：x=5或-1 解折：令t=x-2则（t+2产+t-2=626:展开得2t4+48+32=626=t4+242-297=0令 u=t,得u=9,故t=±3，即x=5或-1。 (2)2x4+3x3-16x2+3x+2=0 答案：x=2,12,-2+3,-2-3 解析：除以X得2(X2+1X)+3(x+1x)-16=0令 t=x+1x' 得 2t2-2)+3t-16=0→22+3t-20=0解得t=52或-4分别解x+1x=t得上述根。 (3) x+y=18 Vx-3-y+2=3 答案：x=19,y=-1 解析：令u=x-3,v=y+2,则u2+v2=17,u-v=3,解得u=4,v=1,故x=19,y=-1。 (4)2x2+5xy+2y2+x+y+1=0 x2+4xy+y2+12x+12y+10=0 答案：四组解 解析：令u=x+y,v=y,第一式得V=-2u-u-1,第二式得u+2v+12u+10=0,代入得 3u2-10u-8=0,得u=4或-23。分别代入求v,再解t2-ut+v=0,得到： 当u=4,v=-37:(x,y)=(2+V41,2-V41)或交换： =-23=号(xy12,12交换 巩图练习1：方程2X-6X-5VX-3X-1=5的解为—。 答案：x=5或-2 解折：令t=X-3x-1≥0则x-3x=2+1原方程化为2(2+1)-5t=5→22-5t-3=0:得 t=3,故x2-3x-1=9→x2-3x-10=0,得x=5或-2。 巩固练习2：解方程X+3x+7-X+3x-9=2° 答案：x=3或-6 解折：令u=+3x+7,v=+3x-9则u-v=2,-v=16:所以u+v=8得u=5放 x2+3x+7=25→x2+3x-18=0,得x=3或-6。 考点3：换元法在求值、范围、最值及证明中的应用 1.己知 m ,n 是方程X2-2019x+2020=0的两根，则（m2-2020m+2020)(72-2020n+2020)】 的值是() A.2017B.2018C.2019D.2020 答案：D 解析：由根的定义，m-2019m+2020=0,所 以m2-2020m+2020=-m,同理n2-2020n+2020=-n。原式=(-m(-n)=mn=2020。 2.设Q1,Q2,…,Q2004均为正数，如果 M=(a1+a2+…+a2003)(a2+a3+…+a2o04, N=(a1+a2+…+a2oo4)(a2+a3+…+a2oo3),则M,N的大小关系是() A.M>NB.M<NC.M=ND.不确定 答案：A 解析：令S=a2+a3+.+a2003,则 M=(a1+S)S+a2o04,N=(a1+S+a2oo4)S。M-N=a1a2o04>0,故M>N。 3.实数x,y满足x+2Xy-1=0,则x+y的取值范围是一。 答案：t之1或t≤-1。 解析：令t=x+y,则t=x2+2xy+y2=1+y≥1，所以t≥1或t≤-1。 4.已知a,b,c∈R,求证： 6品e+0ab22 证明：令X=b+C,y=C+a,z=a+b,则 a-y+z-x b-z+x-y c-x+y-z b+c2x’c+a2y’a+b2z 左边-12x+xy+2x+a+2y+yz-3212(2+2+2-3)=32. 5.实数x,y清是4X-5y+4y=5设5=X+y,求31+3的值。 S 答案：85 僻折由4S=5y5得y5。由yyS2,得 4S-5 sS2→19sS≤9 5 13 所以5go吕5go=号改15n+15ga贵+310=-85 巩固练习1：若x∈R,则函数y=x+4x+1 的最小值为() x+4x 7B.2C.4D.5 A. 4 答案：A 解析：令t=x+4x之4，则y=t+1t,在t≥1时递增，故最小值为4+14= 49 巩国练习2果a*b+e=0g*6=0,则1a*1+6+274c+37的做为 答案：36 解析： 令x=a+1,y=b+2,Z=c+3,则x+y+Z=6,且1x+1y+1z=0→y+yz+zx=0。 则2+y+z2=(x+y+zP-2(y+yz+zx)=36° 巩固练习3：已知x+4y=4x,则x+y的范围是 答案：[2-V5,2+V51 解析： 由X+4y2=4x→(x-2P+4y=4令x=2+2cos0,y=sin0则x+y=2+2cos6+sin0 而2cos0+sin0∈[-V,V5],故范围如上。 巩练习年已知a≥0，b20,ab=i,则则Q+分计b+号的范是 .1 解析：令u=a+2v=b+2 则2+-2.且u号 求u+v:u+v2+2w,由uv≤红得u+v≤2，等号在Q=b)时取得。 V2,6 最小值在端点a=0,b=1或反之，此时u+v= 2 巩固练习5函数y=2x+1+x的值域是一一。 答案：y≥-2 解折：令t=1+x≥0则X=-1'y=2(t-1)+t=2t+t-2该二次函数在t≥0上单调递增， 最小值为t=0时y=-2,无最大值。