反比例函数讲义-2026-2027学年初升高数学教材衔接

强基讲座06 反比例函数 考点1 k的几何意义与面积 1.如图，在函数 的图象上取三点 A, B, C ，由这三点分别向轴、轴作垂线，设矩形的面积分别为，则下列正确的是（ ） A. . .. 答案：C 解析：对于反比例函数 ，图象上任意一点 P(x,y) 向坐标轴作垂线，所形成的矩形面积等于 。本题中 k = 1 ，所以三个矩形面积都等于 1，故 2.已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、下列结论： 若点，在图象上，且，则； 当点P坐标为时，是等腰三角形； 无论点P在什么位置，始终有，； 当点P移动到使时，点A的坐标为 其中正确的结论个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 解析：设 P(0, p) ，其中p<0。由题意可得： ①：当x<0时，函数为 ，在上单调递减。若，则。故①错误。 ②：当p=-3 时，A, B( )。计算得 ( OA = 5 ,AB = 5 ，，所以是等腰三角形。故②正确。 ③： 故③正确。 ④：当时，。 · 因为 ( p<0 )，所以。 此时，，即。故④正确。 综上，正确的有②③④，共3个，选C。 3.如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且，点E在线段AC上，且，点D为OB的中点，若的面积为3，则k的值为 ． 答案： 解析：设 ( A(a, b) )，则 ( ab = k )。( B(0, b) )，( D ) 为 ( OB ) 中点，所以； ( OC = 2AB = 2a )，故 ( C(2a, 0) )；( E ) 在 ( AC ) 上，且 ，由定比分点公式得：计算的面积（利用坐标公式）： 已知面积为 3：所以 。 4.如图，双曲线经过斜边ON上的点A，与直角边MN相交于点B，已知，的面积为5，则k的值是     A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 答案：C（12） 解析：设。由 可知。利用反比例函数与直角三角形面积关系，可得（此处为常见压轴推导，略去冗长计算），代入 ( S = 5 ) 可解得 ( k = 12 )。（推荐牢记结论：此类题型通常，本题精确计算后答案为12。） 5.如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是 ≌；； 若，则OP平分；若，则 A. B. C. D. 答案：B（②③） 解析：设，，则。 ①：与不一定全等（仅面积相等），故①错误。 ②： 两者相等，故②正确。 ③：若 OA = OB，则 A 与B 关于直线y = x 对称（或关于原点对称），此时 P 位于y = x 上，故 OP 平分，③正确。 ④：若，则（令。 计算。 当或时，面积分别为或 8，均不等于16，故④错误。 综上，正确的是②③，选B。 考点2反比例函数与一次函数综合 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，x的取值范围为 A. B. C. D. 或 解析：由 (A(2,3))、(B(6,1)) 可得反比例函数为： 一次函数为：解不等式： 结合图象可知，在 (0<x<2) 和 (x>6) 时，一次函数图象在反比例函数图象下方。 答案：D 2.如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作轴于点M，若与的面积是4：1，则k等于 ． 解析：直线与 (x) 轴交点：与 轴交点：[Q] 所以：设 ，则： 因为面积比为 ，所以： 又：解得符合题意的交点： 因为 在双曲线 上： 答案： 3.如图，直线与双曲线交于A，B两点，过B作直线轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是 解析：联立：; 解得： 对应： 过 作 轴，则直线 为：[y=1],以 为直径的圆，，，圆心为：半径为： 圆的方程为：;与 联立： ;解得： 答案：((2,1)) 和 4.如图，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，与反比例函数的图象相交于点和点，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，连结MN、OA、下列结论： ≌；；四边形DMNB与四边形MNCA的周长相等；其中正确的个数是个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：求函数解析式反比例函数过A(1,3)，得 ，故 ，验证满足。 直线过 A,B，斜率，代入A得 ，故y=-2x+5与 (x) 轴交点，与 (y) 轴交点D(0,5)。各点坐标(M(0,3))，。逐项判断①与： ，，；，，，两直角三角形全等HL，正确。 ② MN斜率，AB 斜率也为-2，平行，正确。 ③ 周长比较：不相等，错误。 ④ 面积：相等，正确。 所以正确结论为①②④，共3个。 答案：C 5.如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交AB于C，交AB于D， ，则k的值为 A. B. C. D. 解析：求 (A,B) 坐标 设点，则，且。因轴，C的纵坐标为，由直线方程得，因，故MD竖直，D的横坐标为，纵坐标 ，计算 AC与 BD直线 AB斜率为，与x轴夹角为，因此线段长度与水平差的关系为： 利用已知条件即又，所以 由于反比例函数图象在 x>0 且点M位于直线上方（图中显示在第四象限），故k<0，因此k=-3答案：A 考点3反比例函数与几何图形 1.如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 A. B. C. D. 解：由题意，正方形ABCD边长为5，点，点B在x轴上。 因为 ，所以B(1,0)。正方形在 x轴上方，则 C(1,5)反比例函数 过点C，代入得所以表达式为 答案：C 2.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象分别交边BC、AB于点D、E，连结DE，与关于直线DE对称，当点F恰好落在线段OA上时，则k的值是______． 解：矩形OABC中，O(0,0))，(B(8,4)，所以 反比例函数 交BC于点D，交AB于点E。 BC上 ，故；AB上 ，故。 设点F为B关于直线DE的对称点，且F在OA上，设 因为与关于DE对称，所以DE是BF的垂直平分线，因此 计算各线段长度： 由 得 由 得 由 (2) 化简：所以 令 代入 (1)： 化简后得到： 因式分解：因为，所以[t=2] 于是 答案：(12) 3.如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数的图象经过点C，反比例函数的图象分别与AD，CD交于点E，F，若，，则等于______． 解：设矩形ABCD关于y轴对称A、B在x轴上， 令 因为反比例函数（(x>0)）过点C，所以又 反比例函数（(x<0)）与AD交于点E，AD上 ，设，则 与 CD交于点F，CD上 ，设，则 因此 计算的面积： 已知所以而故 答案：9 4.如图，四边形AOBC是平行四边形，点B在x轴上，CA的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边BC交于点若，且，则点E的横坐标为 A. B. C. D. 解：建立坐标设 O(0,0)，B(b,0)（b>0），(A(2,y))（(y>0)）。 因为 (AOBC) 是平行四边形，且 (OB) 在 (x) 轴上，所以，故 AC水平，C的纵坐标等于A的纵坐标y。又 ，且方向与OB相同，所以 C由面积求平行四边形面积 利用 确定 b，CA的延长线向左与y轴交于点D。 由于AC是水平线段，D 在y 轴上，且与A的纵坐标相同，故D(0,; y) 所以已知 ，得b 由 (1)(2)：所以 (A(2,3))，反比例函数过点 (A)，故 ；反比例函数为 求点 E的横坐标B(2,0)，C(4,3)，直线BC的斜率 直线 BC方程为与 联立： 两边乘以 2x：解得 因为点 E在边 BC上，x应在 2 到4之间，所以取 答案：D. 考点4相似、全等与比例 1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数在第一象限的图象交于点E，F，过点E作轴于M，过点F作轴于N，直线EM与FN交于点C，若，则与的面积之比是    A. B. C. D. 解：由得。因 (E,F) 在反比例函数上，有。 设 (B(0,b))，由直线斜率得。面积： · 故面积比 (2:1)，选D。 2.如图，A为反比例函数其中图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，连接OA、AB，且． 求k的值； 过点B作，交反比例函数的图象于点C． 连接AC，求的面积； 在图上连接OC交AB于点D，求的值． 解：(A(2,6))，。 (C(4,3))，。 联立与 得， 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点，轴于点E，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，P两点． 求m，n的值与点A的坐标； 求证：∽； 求的值． 解：。 求得 。 三边对应成比例：故。 面积法得代入，得 考点5存在性、最值与取值范围 1.如图，若的3个顶点分别为，，且反比例函数第一象限内的图象与有公共点，则k的取值范围是   A. B. C. D. 解：反比例函数与三角形有公共点 已知 三角形区域内，只需考虑 (xy) 的取值范围，因为反比例函数 三条边上：(AB)：直线 ， AC：直线， BC：直线 ， 对称轴为，最大值为 所以 的最小值为 ，最大值为 。因此 答案：C 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点若点C的坐标为，则阴影部分面积S最小值为 ． 解：设 (A(a,2))，因为，(C(2,2))，所以 (0<a<2)。 双曲线过点 (A)，故 它与对角线 交于点 (D)，由得 与 交于点 (E)，得[E(2,a)] 若图中阴影部分为，则 令，则当，即时，。 所以面积的下确界为 。若原图允许极限情形，最小值为 。 3.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点，若，且． 求反比例函数与一次函数的表达式； 若点P为x轴上一点，是等腰三角形，求点P的坐标． 解：已知一次函数过 (B(5,0))，且[OB=AB=5]又 所以 设 (A(x,3))，由 ： 因此 (A) 可能是 情况一：若 (A(1,3))反比例函数：即 一次函数过 (A(1,3))，(B(5,0))，斜率为所以 点 (P) 在 (x) 轴上，设 (P(x,0))，是等腰三角形，分类讨论： ：解得 ：[|x-5|=5]得 ：得其中 与 (B) 重合，舍去，所以[x=-3]所以 (P) 的坐标为 情况二：若 (A(9,3))反比例函数： 一次函数过 (A(9,3))，(B(5,0))，斜率为所以 同理可得 (P) 坐标为 4.如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，直线OA与反比例函数的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点． ______； 判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由； 如图2，已知点F在x轴正半轴上，，点P是反比例函数的图象位于第一象限部分上的点点P在点A的上方，，则点P的坐标为______，______ 解：已知一次函数[y=-x+b]与反比例函数交于点[A(1,3)] （1）求 (k)因为 在反比例函数上，所以 答案： （2）判断 (B,E,C) 是否共线一次函数过 (A(1,3))：所以 [y=-x+4]点 (B(m,1)) 在反比例函数上：所以[B(3,1)] 直线 与 (x) 轴交点为[D(4,0)]直线 (OA) 的方程为 [y=3x]与反比例函数的另一交点为 (C)：[x=-1][C] 过 (B) 作直线 轴，则[l:x=3] 点 (D(4,0)) 关于直线 的对称点为[E(2,0)] 现在判断 (B(3,1))，(E(2,0))， 是否共线： 直线 (BE) 的斜率为 直线 (BC) 的斜率为 斜率相等，所以[B,E,C]三点共线，且直线为[y=x-2] （3）求点 (P) 的坐标已知所以 点 (P) 在反比例函数第一象限部分，且 (P) 在 (A) 上方，设 先求 的正切值： 两直线夹角的正切为 再求 的正切值： 又所以 由，得，[5(1-t)=1+t] [5-5t=1+t]，[4=6t]，所以 答案： 5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． 分别求出a和b的值； 结合图象直接写出的解集； 在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 解：已知反比例函数过 且 (A) 在第二象限，(B) 在第四象限。 （1）求 (a,b)过 (A) 作 (x) 轴垂线，垂足为 (C)，则[C(a,0)] 所以[|a|=2] 因为 (A) 在第二象限，[a=-2]于是 又因为 (B(8,b)) 在反比例函数上，[8b=-8][b=-1]所以 反比例函数为 一次函数 过;斜率 代入 ：[-1=-4+n][n=3] 所以一次函数为 （2）解不等式求即 解得[-2<x<0]或[x>8]所以解集为 （3）求使 (PA-PB) 最大的点 (P)点 关于 (x) 轴的对称点为 [B'(8,1)]因为 (P) 在 (x) 轴上，所以[PB=PB'] 于是[PA-PB=PA-PB'由三角形不等式，[PA-PB'\le AB' 当且仅当 (P) 在直线 (AB') 上时取等号。 直线 (AB') 过斜率为 直线方程为令 ，得 ，所以 此时 答案： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基讲座06 反比例函数 考点1 k的几何意义与面积 1.如图，在函数 的图象上取三点 A, B, C ，由这三点分别向轴、轴作垂线，设矩形的面积分别为，则下列正确的是（ ） A. . .. 2.已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、下列结论： 若点，在图象上，且，则； 当点P坐标为时，是等腰三角形； 无论点P在什么位置，始终有，； 当点P移动到使时，点A的坐标为 其中正确的结论个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直 于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且，点E在线 段AC上，且，点D为OB的中点，若的面积 为3，则k的值为 ． 4.如图，双曲线经过斜边ON上的点A，与直角边MN 相交于点B，已知，的面积为5，则k的值是     A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 5.如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴， 下列说法正确的是 ≌；； 若，则OP平分；若，则 A. B. C. D. 考点2反比例函数与一次函数综合 1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，x的取值范围为 A. B. C. D. 或 2.如图，直线与双曲线在第一象限内的交 点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作轴于点 M，若与的面积是4：1，则k等于 ． 3.如图，直线与双曲线交于A，B两点，过B作直线 轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是 4.如图，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，与反比例 函数的图象相交于点和点，过点A作轴于 点M，过点B作轴于点N，连结MN、OA、下列结论： ≌；；四边形DMNB与四边形MNCA的周长相等；其中正确的个数是个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比 例函数的图象上位于直线上方的一点，轴 交AB于C，交AB于D， ，则k的值为 A. B. C. D. 考点3反比例函数与几何图形 1.如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B 在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比 例函数的表达式为 A. B. C. D. 2.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐 标为，反比例函数的图象分别交边BC、AB于点 D、E，连结DE，与关于直线DE对称，当点F恰好 落在线段OA上时，则k的值是______． 3.如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称， 反比例函数的图象经过点C，反比例函数 的图象分别与AD，CD交于点E，F， 若，，则等于______． 4.如图，四边形AOBC是平行四边形，点B在x轴上，CA的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边BC交于点若，且，则点E的横坐标为 A. B. C. D. 考点4相似、全等与比例 1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数在第一象限的图象交于点E，F，过点E作轴于M，过点F作轴于N，直线EM与FN交于点C，若，则与的面积之比是    A. B. C. D. 2.如图，A为反比例函数其中图象上的一点，在x轴 正半轴上有一点B，连接OA、AB，且． 求k的值； 过点B作，交反比例函数的图象于点C． 连接AC，求的面积； 在图上连接OC交AB于点D，求的值． 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交 于点，轴于点E，正比例函数的图象与反比例 函数的图象相交于A，P两点． 求m，n的值与点A的坐标； 求证：∽； 求的值． 考点5存在性、最值与取值范围 1.如图，若的3个顶点分别为，，且反比 例函数第一象限内的图象与有公共点，则k的取值范围 是   A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的 正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第 一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点若点C的坐标 为，则阴影部分面积S最小值为 ． 3.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A， 与x轴交于点，若，且． 求反比例函数与一次函数的表达式； 若点P为x轴上一点，是等腰三角形，求点P的坐标． 4.如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，直线OA与反比例函数的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点． ______； 判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由； 如图2，已知点F在x轴正半轴上，，点P是反比例函数的图象位于第一象限部分上的点点P在点A的上方，，则点P的坐标为______，______ 5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． 分别求出a和b的值； 结合图象直接写出的解集； 在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $