精品解析：河北保定市北京市八一学校保定分校2025-2026学年度下学期6月质量检测七年级数学试卷

2025-2026学年度下学期6月质量检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将学生信息填写在试卷和答题卡的相应位置上． 3．答卷时，选择题用2B，铅笔在答题卡对应题目处填涂；非选择题用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上，在本试卷作答无效． 一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算过程正确的是（） A. B. C. D. 3. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 4. 图1是一乐谱架，图2是底座的平面图，其中 ，点E，F分别为 ， 中点，， 是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆总有，其判定依据是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 购买1张彩票，中奖 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 温度降到以下，纯净的水结冰 D. 汽车累积行驶，从未出现故障 6. 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 对于，用一把直角三角尺，作 边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵． 其中合理的是　　 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（ ） A. B. C. D. 11. 如图（1），在长方形 中，厘米，厘米，动点 从点 出发，沿路线运动，到点 停止；点 出发时的速度为1厘米/秒， 秒时点 的速度变为厘米/秒， 秒后点 以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点 出发 秒后，的面积（平方厘米）与时间 （秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点 从点 运动到点 用时4秒；④当 的值为10时，点 运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形 面积的时， 的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在和 中， ， ，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分．） 13. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 14. 现有长为的三根木条，若用这三根木条钉成一个三角形的木框，则 的取值范围是__________． 15. 如图，等腰的底边 长为6．面积是24，腰 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若点 为底边 的中点，点 为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 三、解答题（本大题共8小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线 成轴对称的 ； （2）求的面积； （3）在直线 上找一点P，使的长最短． 20. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球的概率是多少？ （2）小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 21. 如图，四边形 中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交 于点 ．（保留作图痕迹） （2）如果（1）中的点 恰好是 的中点，求证：． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：元每分钟； B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照元每分钟收费． （1）骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： （）；． （2）为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图） ①根据图象，当骑行时间为 时，两种品牌的共享电动车所收费用相同． ②若郑老师家距离学校，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 23. 【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 24. 已知，在四边形 中， ，， 、 分别是边 、 上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长 到点，使，连接 ． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出 ，， 之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若 、 分别是边 、 延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段， ， 之间的数量关系为_____．（不用证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期6月质量检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将学生信息填写在试卷和答题卡的相应位置上． 3．答卷时，选择题用2B，铅笔在答题卡对应题目处填涂；非选择题用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上，在本试卷作答无效． 一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 2. 下列各式中，计算过程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应运算法则逐一判断各选项的计算过程即可． 【详解】解：∵A选项中，是合并同类项，正确结果为，选项错误将合并同类项当作同底数幂乘法计算，过程错误； ∵B选项中，是同底数幂乘法，正确计算为，选项中间步骤错误合并系数得到，过程错误； ∵C选项中，，正确计算为，选项错误将 的指数记为，过程错误； ∵D选项，正确计算过程为，计算过程正确． 3. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义依次判断． 【详解】解：油量是自变量，金额是因变量，单价是常量，金额是油量的函数， 观察四个选项，只有A正确． 4. 图1是一乐谱架，图2是底座的平面图，其中，点E，F分别为 ， 中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆总有，其判定依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据题设条件，选择合适的判定依据即可． 【详解】解：∵， 又∵点E，F分别为 ， 中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 购买1张彩票，中奖 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 温度降到以下，纯净的水结冰 D. 汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 7. 对于，用一把直角三角尺，作 边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形高的定义，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D是高线． 故选：D． 8. 若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 9. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵． 其中合理的是　　 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，据此进行判断即可． 【详解】解：当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是，故错误； 随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，故正确； 若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确； 若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 10. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据直角三角形两锐角互余得出，利用平角的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵重力 的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴． 故选：B． 11. 如图（1），在长方形 中，厘米，厘米，动点从点 出发，沿路线运动，到点 停止；点出发时的速度为1厘米/秒， 秒时点的速度变为 厘米/秒， 秒后点以 厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发 秒后，的面积（平方厘米）与时间 （秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点 运动到点 用时4秒；④当 的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形 面积的时， 的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图象，当点P在边 上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点 运动到点 用时秒，故③正确； 当 的值为10时，点在边 上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形 面积为， 当的面积是长方形 面积的时，， 由图知，点P在边 上时，由得 ； 当点P在边 上时，由得， ∴， 即当的面积是长方形 面积的时， 的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 12. 如图，在和 中，， ，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； ， 而， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分．） 13. 2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 现有长为的三根木条，若用这三根木条钉成一个三角形的木框，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等腰的底边 长为6．面积是24，腰 的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ．若点 为底边 的中点，点为线段 上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接 ，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小， 的垂直平分线为 ，得到关于 对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵ 的垂直平分线为 ， ∴关于 对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点 为底边 的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意分为P在 上，Q在 上和当P、Q都在 上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在 上，Q在 上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在 上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 三、解答题（本大题共8小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）3x 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式的乘除法等知识，掌握相关法则是解题的关键． （1）运用零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可； （2）运用积的乘方，单项式的乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握对应的运算法则是解题的关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 将，代入上式得， ． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线 成轴对称的 ； （2）求的面积； （3）在直线 上找一点P，使的长最短． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线 的对称点，再顺次连接即可； （2）由割补法求解； （3）由点C与点F关于直线 对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【小问1详解】 解：如图， 即为所作： 【小问2详解】 解：的面积为 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求： 20. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球的概率是多少？ （2）小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】（1） （2） 解：不公平，理由如下： 一共有6个球，黄球有2个，其它球有4个， 则小颖获胜的概率是，小英获胜的概率是， 因为， 所以小英获胜的可能性大，则游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）先分别求出两人获胜的概率，再比较可得答案． 【小问1详解】 解：一共有个球，红球有1个， 所以小颖同学摸出红球的概率是； 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形 中，． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交 于点 ．（保留作图痕迹） （2）如果（1）中的点 恰好是 的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用角的尺规作图方法，进行作图即可； （2）先结合（1）的作图过程以及点 恰好是 的中点，证明，再整理得，再根据等角对等边得出，又因为，且，故，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：延长，交于点 ， ， ∵点 是 中点， ， ， ， ∵， ∴， ，， 平分， ， ， ， ∵，且， ． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：元每分钟； B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照元每分钟收费． （1）骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： （）；． （2）为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图） ①根据图象，当骑行时间为 时，两种品牌的共享电动车所收费用相同． ②若郑老师家距离学校，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 【答案】（1）0.4x， （2）①20；②郑老师选B品牌的电动车更省钱，省2元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练分析函数图象是解题关键． （1）根据题意可得，当时，； （2）①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，两种品牌的共享电动车所收费用相同； ②先求出郑老师从家去学校所需时间为，求出的值，计算差值即可． 【小问1详解】 解：∵A品牌元每分钟， ∴， ∵B品牌起步价6元（含 分钟骑行时间），超过 分钟的部分按照元每分钟收费， ∴当时，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，两种品牌的共享电动车所收费用相同； 故答案为： 20； ②郑老师从家去学校所需时间为； 当 时，，， （元）， ∴郑老师选B品牌的电动车更省钱，省2元． 23. 【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】（1）需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）12 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出 即可． 【小问1详解】 解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； 【小问2详解】 解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； 【小问3详解】 解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 24. 已知，在四边形 中， ，， 、 分别是边 、 上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点 ，使，连接 ． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出 ， ，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若 、 分别是边 、 延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段 ， ，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】（1）图见解析，，， （2）成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点 ，使，连接 ，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在 上取一点 ，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 延长到点 ，使，则， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在 上取一点 ，使， ∵，， ∴， 又 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $