精品解析：河北省保定市新秀学校2024-2025学年七年级下学期3月考数学试题

2024-2025学年第二学期七年级3月学情诊断 数学试卷 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将答题卡收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 2. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若为正整数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若x和y互为倒数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 将9.52变形正确的是（　　） A. 9.52=92+0.52 B. 9.52=（10+0.5）（10﹣0.5） C. 9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D. 9.52=92+9×0.5+0.52 7. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏，淇淇说，从一副没有大小王的52张扑克牌中任抽一张，将你抽到牌的点数乘以3，然后加6，所得的和再除以3，最后减去你抽到牌的点数，得到一个结果．无论你抽到牌的点数是几，我都可以猜中刚才的结果． 假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 10. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积与原来相比（ ） A. 减少了 B. 增加了 C. 保持不变 D. 无法确定 12. 已知，则的值（ ） A. B. 8 C. 13 D. 15 二、填空题（本大题共4个小题，每小题各3分，共12分．） 13. 数据0.0000893用科学记数法表示为________． 14. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______． 15. 若关于x的多项式9x2﹣kx+1是一个完全平方式，则k的值是_____． 16. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，因此4，12，20，28都可以称为“幸运数”． （1）请判断：44________“幸运数”．（填“是”或“不是”） （2）设这两个连续偶数为和（其中k取非负整数），用k表示“幸运数”是________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值： （1），其中． （2），其中． 19. 如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积结果要化简； （2）若恒成立，求休息区域的面积． 20. 现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． （3）从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 21. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 ． （2）若，求的值． （3）利用以上等式计算：． 22. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 23. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1：_____；图2：_____； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式之间的等量关系_____ 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期七年级3月学情诊断 数学试卷 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将答题卡收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵（）， ， ∴覆盖的是：÷． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键．根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，计算错误，故选项不符合题意； B、，计算错误，故选项不符合题意； C、，计算错误，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 4. 若为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解． 【详解】=， 故选A． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 5. 若x和y互为倒数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可 【详解】 ∵x和y互为倒数 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1 6. 将9.52变形正确的是（　　） A. 9.52=92+0.52 B. 9.52=（10+0.5）（10﹣0.5） C. 9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D. 9.52=92+9×0.5+0.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可． 【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52， 或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52， 观察可知只有C选项符合， 故选C． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 7. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法分配律，除法分配律和去括号解题即可. 【详解】解：①a(b+c)＝ab+ac，正确； ②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正确； ③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正确； ④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，错误，无法分解计算． 故选C． 【点睛】本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键. 8. 若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 9. 如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏，淇淇说，从一副没有大小王的52张扑克牌中任抽一张，将你抽到牌的点数乘以3，然后加6，所得的和再除以3，最后减去你抽到牌的点数，得到一个结果．无论你抽到牌的点数是几，我都可以猜中刚才的结果． 假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出式子． 根据题意列出式子，再根据整式加减的运算法则进行计算即可． 【详解】解：设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则 ． 故选：A 10. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 11. 为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积与原来相比（ ） A. 减少了 B. 增加了 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用．用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案． 【详解】解：设原正方形花坛的边长为，则正方形花坛的面积为， 长方形花坛的长和宽分别为， 则长方形花坛的面积为， ，且， 则所得长方形花坛的面积与原来相比减少了， 故选：A． 12. 已知，则的值（ ） A. B. 8 C. 13 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方差公式化简已知条件中的等式，求出的值，再把所求代数式的前两项提取公因式2，再整体代入求值即可． 本题主要考查了平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题各3分，共12分．） 13. 数据0.0000893用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.0000893用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数据0.0000893用科学记数法表示为 故答案为： 14. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 若关于x的多项式9x2﹣kx+1是一个完全平方式，则k的值是_____． 【答案】±6 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵关于x的多项式9x2﹣kx+1是一个完全平方式， ∴k＝±6， 故答案为±6 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，因此4，12，20，28都可以称为“幸运数”． （1）请判断：44________“幸运数”．（填“是”或“不是”） （2）设这两个连续偶数为和（其中k取非负整数），用k表示“幸运数”是________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了平方差公式的应用： （1）根据“幸运数”的定义，只需看能否把44写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】解：（1）是．理由： 设44是和的平方差， ∴， 即， ∴ ∴是12和10的平方差． ∴44是“幸运数”． 故答案为：是 （2）依题意， ， ∴由这两个连续偶数为和（其中k取非负整数），用k表示“幸运数”是． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，零次幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． （2）结合多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． （3）先运算平方差公式进行计算，再运算完全平方公式，即可作答． （4）先运算零次幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中． （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，化简求值，完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． （2）先运算平方差公式，再合并同类项，然后运算单项式除以单项式，得，再把分别代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 把代入， 得原式． 【小问2详解】 解： ， 把分别代入， 得原式． 19. 如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积结果要化简； （2）若恒成立，求休息区域的面积． 【答案】（1）平方米； （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值， （1）根据图形可知，休息区域的面积长方形土地的面积花坛的面积，据此列出代数式，即可求解； （2）先根据整式的 乘法计算等式的右边，进而根据等式恒成立，得出的值，代入（1）中的代数式求值，即可求解． 【小问1详解】 解：休息区域的面积为： 平方米； 【小问2详解】 ， ， ， ，， 解得，， 平方米 20. 现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． （3）从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 【答案】（1） （2）6 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式． （1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可； （3）把原式进行因式分解可得所拼的长方形的长为，宽为，即可解答． 【小问1详解】 解：取甲，乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块， 故答案为：6． 【小问3详解】 解：∵， ∴所拼的长方形的长为，宽为， 画出所拼的长方形为 21. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 ． （2）若，求的值． （3）利用以上等式计算：． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，已知式子的值求代数式的值，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，结合阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分的面积等于长乘宽，进行列式表示，即可作答． （2）整理得，再代入，进行计算得，即可作答． （3）先结合平方差公式进行整理，然后展开得，故得，再进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：结合阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分的面积等于长乘宽， 即． 【小问2详解】 解：依题意， ∵ ∴ 【小问3详解】 解： ． 22. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 【答案】验证：（1）的结果是5的3倍； （2）设五个连续整数的中间一个为n， 则， ∵n为整数， ∴这个和是5的倍数； 延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2，理由如下： 设三个连续整数的中间的整数为n， 则 ∵， 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． 验证：（1）直接计算这个算式的值即可；（2）先用代数式表示出这五个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论； 延伸：设三个连续整数的中间的整数为n，先用代数式表示出这三个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论． 【详解】解：验证：（1）∵， ∴结果是5的3倍； （2）略 延伸：略 23. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1：_____；图2：_____； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式之间的等量关系_____ 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，求 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $