精品解析：上海市位育中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期位育中学期末考试试卷 高一年级数学学科 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2026°是第___________象限角 【答案】三 【解析】 【详解】，所以为第三象限角 2. 设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 【答案】3 【解析】 【详解】根据复数的概念，的虚部为 ，所以的虚部为3. 3. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，所以扇形面积是. 4. 已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【答案】 2 【解析】 【详解】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为 ， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 5. 已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 【答案】 增 【解析】 【分析】利用作差法比较相邻两项与的大小，根据差的正负判断数列单调性. 【详解】对任意，计算相邻两项的差：  ， 由且，可得，因此， 所以， 即对所有满足条件的 恒成立， 因此数列是严格增数列. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 7. 在等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 8. 已知，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知分式左边分子分母同时除以，转化为只含的式子，由此解方程求得的值. 【详解】对左边分式的分子分母同时除以得，解得. 故填：. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的计算，属于基础题. 9. 设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数模长的几何意义进行求解 【详解】，故复数的几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆， 其中， 几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离， 显然最大值为圆心到点的距离加上半径， 即. 10. 在中，已知， ．若此三角形有两解，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理建立关系， 分析三角形有两解的条件， 解不等式求 的范围. 【详解】在中，由正弦定理得：， 整理得：， 三角形有两解，说明存在两个不同的取值（一个锐角、一个钝角），且都满足三角形内角和为： ，因此必须满足； 要使有两解，需满足：； 由，结合，得：， 由，得； 由，得，即； 因此， 的取值范围是. 11. 若函数在上恰好存在 个不同的满足，则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可求得的取值范围，根据题意得出关于 的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，所以， 由可得， 函数在区间上从大到小第二个最小值点为，第三个最小值点为， 因为函数在上恰好存在 个不同的满足， 所以，解得，即正实数 的取值范围是. 12. 已知平面向量，，满足，，且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，将问题转化为求的最大值，由，建立的关系式并换元求解. 【详解】， 因为，所以， ，，则求的最小值等价于求的最大值， 因为，所以， 令， ， 则， 整理得， 令，则，该方程有正实数解， 故， 解得，故 的最大值为， 即的最大值为， 此时， 故的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦、余弦以及正切函数的周期以及单调性求解即可. 【详解】选项A.的最小正周期为，不符. 选项B.的最小正周期为，但当时，， 在上单调递增，因此在区间内单调递增，不符. 选项C.，周期，不符合. 选项D.，是将轴下方部分翻折到上方，最小正周期为. 当时，，在上单调递减，因此在区间内单调递减，符合. 14. 若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】复数在复平面对应的点为，所以复数对应的点在第一象限. 15. 已知向量和都是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由及向量夹角范围推断充分性，再由数量积定义以及“为锐角”即可推断必要性. 【详解】因为，向量和都是非零向量， 则由得， 所以由向量夹角范围为，得“”或“为锐角”； 反之，若为锐角，则， 故“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是真命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【详解】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，， 又， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故命题①是假命题； 对于命题②，因为， 因为，所以，所以， 又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有， 又， 所以，故命题②是真命题， 综上，①是假命题，②是真命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知点，，，．若 ， ， 三点共线，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题目条件得到方程组，求出答案 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 18. 已知复数，其中 是正实数，是虚数单位. （1）如果，求实数 的值； （2）如果，是关于 的方程（）的一个复根，求 ， 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据 为正实数确定 的取值. （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出 和 的值. 【小问1详解】 复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为 是正实数，所以. 【小问2详解】 当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 19. 在数列中， ， ， ， ． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求． 【答案】（1）因为 ， 所以数列是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，即 ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行运算证明即可； （2）结合等比数列前 项和公式，根据分组求和法进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 20. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为 和． （1）若一根长为 的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过 点且与两墙分别交于 ， 两点（如图2），其中点 ， 分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且，．为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法． 方法1：设 ，得到 关于 的函数： 方法2：设 ，得到 关于的函数； 请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最大值． （2）若直角走廊的宽度均设计为（如图3），现有矩形平板车 ，宽 为1，长 为 （车高忽略），平板车可以灵活转动，并过 点且与两墙分别交于 ， 两点．为了求能通过该直角走廊的平板车长 的最大值，请自行引入一个变量，并求出 关于该变量的函数．（只求函数，不用求函数最值）． 【答案】（1）方法1：； 铁棒的最大长度是函数的最小值； 方法2：； 铁棒的最大长度是函数的最小值； （2）设 与底边夹角为，．． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形边角关系，建立函数关系式；利用函数解析式可知，求铁棒的最大长度即是函数的最小值； （2）利用第一问结果，将直线变成了板车，根据直角三角形关系，设出一角，根据三角函数可得函数解析式． 【小问1详解】 如图所示，做 ， ； 方法1：因为 ， ， ，则 ， 根据勾股定理可知； 由图可知 ，则，解得； 则 ， 故； 铁棒的最大长度是函数的最小值； 方法2：设 ，则，， 则； 铁棒的最大长度是函数的最小值； 【小问2详解】 设 与底边夹角为，， 由图可知，， 则，，； ，，； 则， 故． 21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． （1）判断，是否具有性质P，并说明理由； （2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）对，由性质 得定义举例说明；对，结合的周期为，利用反证法证明； （2）若，结合的周期为，可得也是的周期，且，利用反证法证明，由此得证. 【小问1详解】 具有性质 ，理由如下： 令，，显然和是两个周期均为的不同的偶函数， 且，所以具有性质 . 不具有性质 ，理由如下： 假设具有性质 ，由性质 的定义可得的周期为， 但，， 所以，矛盾. 所以不具有性质 . 【小问2详解】 若，则， 所以，又的周期为，即， ， 所以也是的周期，且， 所以， 假设，则对任意，， 则 ， 所以，即， 故对任意，成立，矛盾. 所以， 故若为有限集，则中的元素个数为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期位育中学期末考试试卷 高一年级数学学科 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2026°是第___________象限角 2. 设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 3. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 4. 已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 5. 已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 7. 在等比数列中，，，则________． 8. 已知，则______________. 9. 设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 10. 在中，已知， ．若此三角形有两解，则 的取值范围为__________. 11. 若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________. 12. 已知平面向量，，满足，，且，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 14. 若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知向量和都是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是真命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知点，，，．若 ， ， 三点共线，求 的值． 18. 已知复数，其中 是正实数，是虚数单位. （1）如果，求实数 的值； （2）如果，是关于 的方程（）的一个复根，求 ， 的值. 19. 在数列中， ， ， ， ． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求． 20. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为 和． （1）若一根长为 的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过 点且与两墙分别交于 ， 两点（如图2），其中点 ， 分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且，．为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法． 方法1：设 ，得到 关于 的函数： 方法2：设 ，得到 关于的函数； 请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最大值． （2）若直角走廊的宽度均设计为（如图3），现有矩形平板车 ，宽 为1，长为 （车高忽略），平板车可以灵活转动，并过 点且与两墙分别交于 ， 两点．为了求能通过该直角走廊的平板车长 的最大值，请自行引入一个变量，并求出 关于该变量的函数．（只求函数，不用求函数最值）． 21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． （1）判断，是否具有性质P，并说明理由； （2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $