上海市位育中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期位育中学期末考试试卷 高一年级数学学科 (考试时间：100分钟总分：100分命题：俞冰清审题：刘子源苏发银) 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题年题4分）考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1.2026°是第 象限角 2.设i是虚数单位，则复数z=1+3i的虚部为 3.已知半径为2的扇形的圆心角为二， 则扇形面积为 4.已知一简谐振动满足函数y=2sin x+6》 则该振动的振幅为 5.已知数列{a}的通项公式为an=n-二(n∈N,n≥1)，则数列{a,}是严格 数列 (填“增”或“减”) 6.已知向量ā=(3,4)，=(4,3)，则向量ā在向量i上的投影向量的坐标为 7.已知等比数列{a}满足：a2a54g=8,a3464g=27,则a= &.已知sm0+2cos日 =3,则tan0= 2sin0+cos0 9.设i是虚数单位，且复数z满足以=1，则2+Q+V3)的最大值为 10.在在△BC中，已知b=2,∠A=45°.若此三角形有两解，则a的取值范围为 11. 已蜘知-=3s如(ox-引@>0，若西数y=f(在[-香]上恰好存在2个不同 的满足∫()=-3，则ω的取值范围为 12. 已知平面向量a6,满足1a1,<6,石-a>=行，且a-两-a=0以>0，则 2的最小值为 高一数学第11 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 2π上严格减的是 () A.y=cos月 B.y=cos2x C.y=-tan2x D.y=2sinx 14.若复数z=1+i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.已知mn为非零向量，则“mn>0”是“<m,n>为锐角”的 () A充分且必要条件 B.必要非充分条件 C.充分非必要条件 D.非充分非必要条件 16.对于数列{an},若存在M>0,使得对任意n∈N,n≥1，有 a-a+凸-a+.…+口l-a<M,则称{an}为“有界变差数列”.有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列{an}为“有界变差数列”，则其公比9的取值范围是(0,1)； ②若数列{x},{y}均为“有界变差数列，且yn≥为>0，则数列 是“有界变差数列” 则以下选项正确的是 A.①是假命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤 17.本题满分8分) 已知点A(2,1),B(3,-2),C(-2,4,BP=xAB+AC.若A,C,P三点共线，求x的 值。 瓦共2页 18.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分. 已知复数z=4+ai,其中a是正实数，i是虚数单位 (1)如果z·z=32,求实数a的值： (②如果a=2,马=忌是关于x的方程+m+n=0(%neR)的一个根，求m和n 的值. 19.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分， 在数列{a}中，a=6,at1=3an-l0,n∈N,n≥1. (1)证明数列{an-5}为等比数列，并求{a}的通项公式： (2)求a. 20.(本题满分9分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为m和n(m>0,n>0): m 图1 图2 图3 (1)若一根长为L的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过P点且与两墙分别交于A,B两点 (如图2)，其中点P,0分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且m=2,n=3, 为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法 方法1：设O4=a,得到L关于a的函数： 方法2：设∠BAO=B,得到L关于0的函数： 高一数学第2页 请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最 大值 (②)若直角走廊的宽度均设计为t=2(如图3)，现有矩形平板车CDEF,宽DE为1，长 EF为L（车高忽略)，平板车可以灵活转动，并过P点且与两墙分别交于C,D两点， 为了求能通过该直角走廊的平板车长L的最大值，请自行引入一个变量，并求出L关于该 变量的函数.（只求函数，不用求函数最值） 21.(本题满分9分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分 已知函数y=f()的定义域为R,若存在周期均为的两个不同的偶函数y=8()和 h(x),使得f(x)=g(x)cosx+h(x)sinx,则称函数y=f(x)具有性质P. ()判断f(x)=sinx,(x)=x+si血x是否具有性质P,并说明理由： (②)已知函数y=∫(x)具有性质P,且f(x)不恒为0.设 M={T(T+x)=f(x),0<T<2x.证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数. 〔共2页