精品解析：上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

2026年复旦中学高一年级下学期期末 2026.06 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是 . 2. 已知向量，，若，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法的坐标运算求出，再利用向量平行的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 3. 已知，则 ______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以. 4. 等差数列中，2和8的等差中项为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：5. 5. 函数的最小正周期是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最小正周期得公式直接求解. 【详解】由题意得， 故答案为： . 6. 在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 7. 等差数列的前项和分别是与，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解. 【详解】由等差数列的前项和公式，得， 又由等差数列的性质，得，而， 所以. 故答案为： 8. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， ， ， 向量在向量方向上的投影向量的坐标为： ． 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】． 10. 在等腰直角中， 为斜边 的中点，点 在边 上，，则的最小值为______. 【答案】28 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则. 则. 所以. 当时，取得最小值28. 11. 声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，求得，得到或，又由时，求得，此时 是函数的一个周期，不符合图象，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以 为 的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时 是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时 是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为： . 12. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【详解】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据复数的加减法运算、几何意义、乘方运算与共轭复数的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 14. 阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与 互质）的形式，从而有理数集与 互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，即可得出循环小数化成分数. 【详解】由题意， ． 故选：D． 15. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而得，计算可得，逐项计算判断即可. 【详解】由，可得，化简得， 可得，又时恒成立， 所以， 所以，所以， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 所以，所以，所以，故C正确； . ，故D错误. 故选：C. 16. 若函数 满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数 在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则 的取值范围是；②函数在上具有性质P，则 的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数 的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得 的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数 的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则 的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则 的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 三、解答题（共78分） 17. 已知关于 的实系数一元二次方程. （1）若一根为，求， 的值； （2）设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出， 的值； （2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可. 【小问1详解】 依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理，，解得，. 【小问2详解】 若，则方程的根为，， 若，则，，则，，， 所以； 若，则，，则，，， 所以； 故. 18. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1） （2）最小值； 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 19. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达 处，测得小岛在 的北偏西的方向上，小岛在 的北偏东 的方向上． （1）求处与小岛之间的距离； （2）求，两座小岛之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【小问1详解】 由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． 【小问2详解】 由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 20. 已知 中，，令，且．过 边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边 的垂线，垂足为．设． （1）求 的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数 ，使得为常数，求 的值，并写出该常数． 【答案】（1） （2） （3）；该常数为 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求 的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【小问1详解】 设，则，得， 所以. 【小问2详解】 由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. 【小问3详解】 由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 21. 已知函数 （1）当时，求函数 的最大值，并求出取得最大值时所有 的值； （2）若 为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若 过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【小问1详解】 当时，, 所以当，即 时，所以 ,此时 ； 【小问2详解】 因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; 【小问3详解】 因为 过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年复旦中学高一年级下学期期末 2026.06 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 2. 已知向量，，若，则 ______. 3. 已知，则 ______． 4. 等差数列中，2和8的等差中项为__________. 5. 函数的最小正周期是________． 6. 在中，若，则的形状为__________. 7. 等差数列的前项和分别是与，且，则______. 8. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 9. 已知，则___________． 10. 在等腰直角中， 为斜边 的中点，点 在边 上，，则的最小值为______. 11. 声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则________． 12. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 14. 阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与 互质）的形式，从而有理数集与 互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 16. 若函数 满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数 在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则 的取值范围是；②函数在上具有性质P，则 的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 三、解答题（共78分） 17. 已知关于 的实系数一元二次方程. （1）若一根为，求， 的值； （2）设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 18. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 19. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达 处，测得小岛在 的北偏西的方向上，小岛在 的北偏东 的方向上． （1）求处与小岛之间的距离； （2）求，两座小岛之间的距离． 20. 已知 中，，令，且．过 边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边 的垂线，垂足为．设． （1）求 的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数 ，使得为常数，求 的值，并写出该常数． 21. 已知函数 （1）当时，求函数 的最大值，并求出取得最大值时所有 的值； （2）若 为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若 过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $