第59讲 椭 圆——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，依据课标要求系统梳理定义、标准方程、几何性质等核心考点，通过知识要点整合定义要素、方程形式及性质关系，结合基础检测和考点例题分析焦点三角形、离心率等高频考点权重，归纳轨迹方程、最值问题等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题导向+方法提炼+素养渗透”，如例2焦点三角形面积计算用定义和余弦定理结合，培养数学思维与运算能力，对应训练含高考模拟题，指导离心率取值范围问题用方程法建立齐次式求解，帮助学生掌握得分技巧，为教师提供明确的考点突破指导，助力高效复习。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 第59讲 椭 圆 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2 【知识要点】 1.椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和　 　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两定点F1，F2叫做椭圆的　 　.  集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数. (1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆; (2)当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段; (3)当2a<|F1F2|时，P点不存在. 等于常数 焦点 3 2.椭圆的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 ________________________________________ _______________________________ 标准方程 范围 ________________________ ________________________ 顶点 ___________________________ ____________________ ___________________________ ____________________ 且 且 ，， ， ，， ， 4 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 轴长 短轴长为____，长轴长为____ 焦点 __________________ __________________ 焦距 ____ 对称性 对称轴：__________，对称中心：______ 离心率 ，， 的关 系 _____________ ， ， 轴和轴 原点 续表 5 【常用结论】 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a; (2)a-c≤|PF|≤a+c. 2.椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2=θ. 6 (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大为bc. (2)=|PF1|·|PF2|sin θ=b2tan=c|y0|. (3)=|PF1|·|PF2|≤()2=a2. (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos θ. 3.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin=. 4.若AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB=-(其中≠). 7 5.椭圆+=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是蒙日圆:x2+y2=a2+b2. 6.椭圆周角定理:直线l过椭圆C的对称中心O且交椭圆+=1(a>b>0)于A，B两点(AB称为中心弦或椭圆直径)，点P为椭圆C上异于A，B的一点，则kPA·kPB=-=e2-1. (其中kPA·kPB均存在且不为0) 8 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.(　　) (3)方程mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　) (5)已知方程+=1表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是.(　　) × √ √ × × 9 2.[选择性必修1p115T4]已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(-，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为(　　) A.+y2=1 B.+y2=1 C.x2+=1 D.x2+=1 A [解析] 由题可知a=2b，c=.又a2=b2+c2，所以b2=1，a2=4， 故椭圆的标准方程为+y2=1.故选A. 10 3.若椭圆+=1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　) A.6 B.3 C.4 D.2 A [解析] 由椭圆方程+=1，得a2=25，即a=5， 设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|+|PF2|=2a=10， 因为|PF2|=4，所以|PF1|=6，即点P到下焦点的距离为6. 11 4.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为　　　　　.  [解析] 由已知可得b2=4，c=2，则a2=b2+c2=8， 所以a=2，则离心率e= = . 12 5.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　　　　　.  (7，10) [解析] 根据题意得解得7<k<10. 13 考点1 椭圆的定义及应用 角度1.利用椭圆的定义求轨迹方程 例1　已知两圆C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 D 14 [解析] 设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切，与C2:(x+4)2+y2=9外切.所以|MC1|=13-r，|MC2|=3+r.|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8， 由椭圆的定义，圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆， 则a=8，c=4，所以b2=82-42=48，动圆的圆心M的轨迹方程为+=1. 故选D. 15 角度2.利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 例2　设点P为椭圆C:+=1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为　　　　.  [解析] 方法一:由题意知，c=.又∠F1PF2=60°，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2， ∴|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°=4a2-3|PF1|·|PF2|=4a2-16， ∴|PF1|·|PF2|=， ∴=|PF1|·|PF2|sin 60°= ×× = . 方法二:由题意得b2=4，∠F1PF2=60°，∴= 4×tan 30°= . 16 变式探究 若将本例2中“∠F1PF2=60° ”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积. [解析] ∵PF1⊥PF2， ∴+==4=4a2-16， 又|PF1|+|PF2|=2a，+=-2|PF1||PF2|， ∴|PF1|·|PF2|=8， ∴=|PF1|·|PF2|=4. 17 [小结]1.求解涉及椭圆上的点到焦点的距离有关问题时,常考虑利用定义求解.常见题型主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.求解关于焦点三角形的周长和面积问题,常用定义和余弦定理结合使用,但焦点三角形的面积公式通常更简便快捷. 18 1.已知点P是☉C:x2+y2+2x-8=0上的动点，点A(1，0)，AP的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 B [解析] ∵☉C:x2+y2+2x-8=0的圆心C为(-1，0)，半径r=3，点A(1，0)，∴=2， 又AP的垂直平分线交CP于点M，∴+=+=r=3>=2， ∴点M的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为3的椭圆，∴2a=3，2c=2，∴a=，c=1，b2=a2-c2=-1=，∴点M的轨迹方程是+=1.故选B. 对应训练 19 2.设F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，P是椭圆C上一点，若|PF1|=8，则点P到原点的距离|OP|为(　　) A.4 B.5 C.8 D.10 B [解析] 由椭圆的方程可得，a2=49，b2=24，所以a=7，c=5， 则|F1F2|=2c=10，且|PF1|+|PF2|=2a=14，所以|PF2|=6， 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以三角形PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形， 又OP是斜边F1F2的中线，所以|OP|=|F1F2|=5.故选B. 20 考点2 求椭圆的标准方程 角度1.直推法 例3　曲线C上任意一点P到点F(2，0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于，则C的方程为　　　　　　　.  +=1 [解析] 设P(x，y)，由题意=⇒(x-2)2+y2=(x-4)2， 化简得+=1，即曲线C的方程为+=1. 21 角度2.待定系数法 例4　(1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4，过焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB的长为3，则椭圆C的方程为(　　) A.x2+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 C 22 [解析] 依题意，由椭圆定义得2a=4，即a=2， 设椭圆C:+=1(a>b>0)的半焦距为c，则F2(c，0)， 直线AB:x=c，由得|y|=， 于是得|AB|==3，则b2=3， 所以椭圆C的方程为+=1.故选C. 23 (2)已知椭圆经过P，Q两点，则椭圆的标准方程是　　　　　　.  +=1 [解析] 方法一:若椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 依题意有解得 由a>b>0知，不符合题意，故舍去; 故椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 24 依题意有解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，则 解得 ∴所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，故椭圆的标准方程为+=1. 25 [小结]求椭圆的方程多采用定义法、直推法和待定系数法. 1.定义法:题设情境为动点到两定点的距离之和为定值; 2.直推法:将题设条件中动点所满足的关系式转化为动点的坐标关系式,整理化简即得动点轨迹方程; 3.待定系数法:具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式. 26 3.已知点P是椭圆+y2=1上的动点，PM⊥x轴于点M，若=，则点N的轨迹方程为　　　 　　.  +=1(y≠0) [解析] 由于点P是椭圆+y2=1上的动点，故设P(x0，y0)，则+=1， 又PM⊥x轴于点M，则M(x0，0)，y0≠0， 设N(x，y)，由=，得(x-x0，y-y0)=(x0-x，-y)， 则代入+=1，得+=1， 即点N的轨迹方程为+=1(y≠0). 对应训练 27 4.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆 的标准方程是　　　　　　　　　　.  +=1或+=1 [解析] 由题意设椭圆的方程为+=1或+=1(a>b>0)， 由椭圆的焦距是6，可得2c=6，即c=3， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10， 可得2a=10，即a=5，则b2=a2-c2=25-9=16， 当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为+=1; 当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为+=1. 28 5.已知椭圆C的焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=3|BF2|，|BF1|=5|BF2|，则椭圆C的方程为　　　　　.  +y2=1 [解析] ∵|BF1|=5|BF2|，且|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=，|BF1|=， ∵|AF2|=3|BF2|，∴|AF2|=a，∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=a， ∴|AF1|=|AF2|，则点A在y轴上. 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=， 在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1==，根据 cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=2，∴b2=a2-c2=1. ∴椭圆C的方程为+y2=1. 29 考点3 椭圆的几何性质及应用 角度1.椭圆的长轴、短轴、焦距 例5　(2025·甘肃金昌·二模)已知F1(-2，0)，F2(2，0)是椭圆C:+=1(b>0)的左、右焦点，则b=　　　　　.  [解析] 由已知得2a=6，2c=4，即a=3，c=2， 所以b2=a2-c2=32-22=5，所以b=. 30 角度2.椭圆的离心率 例6　设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为　　　　.  [解析] 方法一:由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m， 故离心率e=====. 方法二:由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y=±，所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=·，变形可得(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去). 31 变式探究 1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率. [解析] 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°，∴∠F1PF2=60°， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，m+n=2a， 则在△PF1F2中，有 = = ， ∴ = ， ∴e=== = . 32 2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. [解析] 由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2=a2-c2，∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=>，∴e>，又0<e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围为. 33 角度3.与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 例7　(1)(24-25高二上·浙江杭州·期中)已知F为椭圆C:+=1的右焦点，P为椭圆C上一点，Q为圆M:x2+(y-4)2=1上一点，则|PQ|-|PF|的最小值为(　　) A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 [解析] 在椭圆C中，a=4，b=，则c==3，则F(3，0)， 则椭圆C的左焦点为F'(-3，0)，圆M的圆心为M(0，4)，半径为1， 由椭圆的定义可得|PF|=2a-|PF'|=8-|PF'|， 所以|PQ|-|PF|=|PQ|-(8-|PF'|)=|PQ|+|PF'|-8， B 34 再由圆外的点P到圆上动点Q的最小值为到圆心M的距离减去半径， 所以有|PQ|+|PF'|-8≥|PM|-1+|PF'|-8=|PM|+|PF'|-9， 当且仅当P，F'，M三点共线且点P在线段MF'上时，|PQ|-|PF|取最小值， 所以有|PM|+|PF'|-9≥|MF'|-9=-9=5-9=-4， 故|PQ|-|PF|的最小值为-4. 故选B. 35 (2)(2025高三·江苏南通·阶段考)如图，已知F1，F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N，线段F1N的中点为M，线段F1N的垂直平分线MP与l2的交点P(第一象限)在椭圆上，若O为坐标原点，则的取值范围为(　　) A. B. C. D.(0，1) D 36 [解析] 如题图所示，点P在y轴右边， 因为PM为线段F1N的垂直平分线， 所以|F1M|=|MN|，|F1P|=|PN|. 由中位线定理可得|OM|=|F2N|. 设点P(x0，y0)(x0>0，y0>0). 由两点间的距离公式，|PF1|== 37 ==a+ex0， 同理可得|PF2|=a-ex0，所以|F2N|=|PF1|-|PF2|=2ex0，故|OM|=ex0， 因为a=8，c=4，所以e=，故|OM|=x0，所以==. 因为x0∈(0，8)，所以x0∈(0，1)， 故的取值范围为(0，1). 故选D. 38 [小结]1.讨论或利用椭圆几何性质解题时,一是注意椭圆中的不等关系,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围或离心率的范围等不等关系;二是注意要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 2.求椭圆离心率的方法 ①定义法:根据条件求出a,c的值,直接利用公式e=求解. ②方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解. [注意]在解关于离心率问题时,注意根据椭圆离心率e∈(0,1)进行根的取舍. 39 6.已知椭圆+=1与椭圆+=1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定(　　) A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距 C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率 B [解析] 因为k<9，k≠0，所以25-k>9-k>0，所以椭圆+=1(k<9，k≠0)中，a2=25-k≠25，b2=9-k≠9，故A，C错误;椭圆+=1(k<9，k≠0)中的c2=a2-b2=25-k-(9-k)=16，椭圆+=1中的c2=25-9=16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确;离心率e=，两椭圆的a不相等，c相等，故离心率不一样，故D错误.故选B. 对应训练 40 7.已知椭圆C:+=1的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点，则|PF|2+8|QF|的取值范围是(　　) A.[63，79] B.[64，79] C.[64，78] D.[64，80] D [解析] 椭圆C:+=1的长半轴长a=5，半焦距c==3， 由椭圆的对称性，不妨令F为右焦点，A是左焦点， 连接AP，AQ，FP，FQ，又P，Q关于原点对称， 则四边形APFQ为平行四边形或P，Q为左、右顶点， 则|AQ|=|PF|，|AP|=|QF|， 41 由|PF|+|PA|=|QF|+|QA|=2a=10， 则|PF|+|QF|=10，故|QF|=10-|PF|， 则|PF|2+8|QF|=|PF|2-8|PF|+80=(|PF|-4)2+64， 而2≤|PF|≤8，所以|PF|2+8|QF|∈[64，80]. 故选D. 42 $