第56讲 两直线的位置关系与对称问题——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“两直线的位置关系与对称问题”，依据课标要求覆盖平行垂直判定、距离公式、中心对称与轴对称等核心考点，通过基础检测与考点例题分析，明确高考中参数求解、距离计算、对称应用等常考题型，体现备考的针对性和系统性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”，如例5直线对称问题采用“两点对称法”和“对称点代入法”，培养学生的数学思维与模型观念。特设易错点分析（如平行中斜率存在性讨论）和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可借此精准指导复习，提升备考效率。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 第56讲 两直线的位置关系与对称问题 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题. 2.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题. 2 【知识要点】 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇒　 　，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2.  (2)两条直线垂直 ①如果l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔　 　.  ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，那么l1⊥l2. k1=k2 k1k2=-1 3 2.两直线相交 直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有　 　，交点的坐标就是方程组的解;  平行⇔方程组　 　;  重合⇔方程组有　 　.  唯一解 无解 无穷多组解 4 3.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|=  　;  (2)点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=  　 ;   d= (3)两平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为　 　.  5 4.中心对称 (1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P'(x'，y')，如果满足:=a，=b，那么我们称P，P'两点关于点M对称，点M叫做对称中心. (2)点与点对称的坐标关系:设点P(x，y)关于点M(x0，y0)的对称点P'的坐标是(x'，y')， 则 5.轴对称 (1)设平面上有直线l:Ax+By+C=0和两点P(x，y)，P'(x'，y')，若满足下列两个条件:①　 　;②　 　，则点P，P'关于直线l对称.  PP'⊥直线l PP'的中点在直线l上 6 (2)对称轴是特殊直线的对称问题 对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解: ①关于x轴对称(以　　代　　);  ②关于y轴对称(以　 　代　　);  ③关于y=x对称(　 　互换);  ④关于x+y=0对称(以　　代　　，以　　代　　);  ⑤关于x=a对称(以　 　代　　);  ⑥关于y=b对称(以　 　代　　).  -y y -x x x，y -x y -y x 2a-x x 2b-y y 7 （3）对称轴为一般直线的对称问题 可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系： 设点，关于直线 对称，则 8 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　　) (2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.(　　) (3)点P(x0，y0)到直线y=kx+b的距离为.(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　) (5)若点A，B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-，且线段AB的中点在直线l上.(　　) × [解析] (1)两直线可能重合. √ × √ √ 9 2.[选择性必修1p67T8]若直线2x+(m+1)y+4=0与直线4x+6y-2=0平行，则m=(　　) A.2 B.-3 C.3 D.-2 A [解析] 直线2x+(m+1)y+4=0与直线4x+6y-2=0平行， 则有=≠，故m=2.故选A. 10 3.点A(2，5)到直线l:x-2y+3=0的距离为(　　) A.2 B. C. D. C [解析] 点A(2，5)到直线l:x-2y+3=0的距离为d==.故选C. 11 4.若三条直线y=2x，x+y=3，mx+2y+5=0相交于同一点，则m的值为　　　　.  -9 [解析] 由得 ∴点(1，2)满足方程mx+2y+5=0， 即m×1+2×2+5=0， ∴m=-9. 12 5.点P(2，5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是　　　　　.  (-4，-1) [解析] 设点P(2，5)关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为(m，n)， 则由题意可得 ∴m=-4，n=-1. 13 考点1 两条直线的平行与垂直问题 例1　直线l1:mx-3y-1=0，l2:(3m-2)x-my+2=0，则“m=0或-”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 C [解析] 当m=0时，直线l1:y=-，l2:x=1，两直线倾斜角分别为0°和90°，l1⊥l2; 当m=-时，直线l1的斜率为-，l2的斜率为9，-×9=-1，l1⊥l2.充分性成立， 直线l1:mx-3y-1=0，l2:(3m-2)x-my+2=0， 若l1⊥l2，则有m(3m-2)+3m=0，解得m=0或m=-.必要性成立. 所以“m=0或-”是“l1⊥l2”的充要条件.故选C. 14 [小结]1.解题要“前思后想” 解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想” 2.方法要“因题而定” (1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行、垂直的方法: ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. 15 (2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2+B1B2=0 l1与l2平行的充分条件 =≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ==(A2B2C2≠0) [注意]在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答. 16 1.已知直线l1:2x+2y-1=0，l2:4x+ny+3=0，l3:mx+6y-1=0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为(　　) A.-10 B.10 C.-2 D.2 C [解析] 由l1∥l2有 = ≠ ，所以n=4， 由l1⊥l3有2m+12=0，所以m=-6，所以m+n=-2.故选C. 对应训练 17 2.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R，则( 　　) A.当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行，则a=0或a=-1 C.直线l过定点(0，1) D.当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 ABC [解析] 对于A:当a=-1时，直线l的方程为x-y+1=0，其斜率为1， 而直线x+y=0的斜率为-1，所以当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直，故A正确; 对于B:若直线l与直线x-y=0平行，则a2+a+1=1，解得a=0或a=-1，故B正确; 对于C:当x=0时，y=1，与a无关，故直线l过定点(0，1)，故C正确; 对于D:当a=0时，直线l的方程为x-y+1=0，在两坐标轴上的截距分别是-1，1， 不相等，故D错误.故选ABC. 18 考点2 两直线的交点问题 例2　(1)直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点为　　　　　.  (-) [解析] 由方程组解得即交点(-). 19 (2)在平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为　　　　　　　　.(写成一般式)  9x+5y-5=0 [解析] 由题设，令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0，且直线过点(0，1)， 则0-3+1+λ(0+4-3)=0⇒λ=2， 故直线l的方程为9x+5y-5=0. 20 [小结](1)求解两直线交点问题通常转化为解方程组的问题. (2)求过两直线交点的直线方程的方法:一是先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;二是利用相交直线系方程求解. 21 3.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. A [解析] ⇒即交点为. 因为交点在第一象限，所以⇒-<k<.故选A. 对应训练 22 4.使三条直线x+y=2，mx+y=0，x-y=4不能围成三角形的实数m的值为　　　　　　.  或1或-1 [解析] 当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形. 若三条直线交于一点，由得直线x+y=2，x-y=4的交点坐标为(3，-1)， 把(3，-1)代入到直线mx+y=0，得m=; 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为-1，-m，1，所以m=1或-1. 综上，m=或m=1或m=-1. 23 考点3 距离公式的应用 例3　(1)已知直线l1:x-y=1，l2:-x+y=1，则l1与l2的距离为　　　　.  [解析] l1:x-y-1=0，l2:x-y+1=0， 则l1与l2的距离d==. 24 (2)已知点P(-2，-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是　　　 　.  [0，] [解析] 由(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ⇒(3x+2y-5)λ+x+y-2=0， 解方程组⇒即直线l过定点A(1，1)， 所以dmax=|PA|==，则0≤d≤. 25 [小结]距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等. (2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在. (3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 26 5.已知直线l过点(3，9)，且原点到直线l的距离为3，则l的方程为　　　　 　.  x=3或4x-3y+15=0 [解析] 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时原点到直线l的距离为3，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-9=k(x-3)，即kx-y+9-3k=0， 由=3解得k=，直线l的方程为x-y+9-4=0，即4x-3y+15=0. 对应训练 27 6.已知两条直线l1:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ-5=0，l2:(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0，且l1∥l2，则两平行线之间的距离最大为(　　) A.3 B.4 C. D. C [解析] 因为l1:λ(x-y+2)+2x+y-5=0，由 解得故l1过定点A(1，3). 又l2:k(x-2y+1)+x+y-5=0，由解得故l2过定点B(3，2)， 故l1，l2之间的距离的最大值为|AB|==.故选C. 28 考点4 对称问题 角度1.中心对称 例4　直线l:y=x+1关于点P(2，4)对称的直线方程为　　　　　.  y=x+3 [解析] 在直线l上取两点A(0，1)，B(1，2)， 则它们关于点P(2，4)的对称点分别为A'(4，7)，B'(3，6)， 所以所求的直线方程即过点A'，B'的直线方程，为y=x+3. 29 角度2.轴对称 例5　直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是　　　　　.  x-2y+3=0 [解析] 解法一:联立得在直线2x-y+3=0上取一点(0，3)， 设其关于直线x-y+2=0的对称点为(a，b)，则解得故所 求直线方程经过点(-1，1)，(1，2)，所以该直线方程为=，即x-2y+3=0. 解法二:设所求直线上任意一点P(x，y)，则点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0，y0)， 由得由点P'(x0，y0)在直线2x-y+3=0上， ∴2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0. 30 角度3.对称的应用 例6　已知A(-3，0)，B(3，0)，C(0，3)，一束光线从点F(-1，0)出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E(1，0)上.则点D的坐标为(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，1) C [解析] 根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H，连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图， 31 因为AC所在直线方程为y=x+3，F(-1，0)， 设G(x，y)，则解得 即G(-3，2)，由BC所在直线方程为y=-x+3，E(1，0)，同理可得H(3，2)， 所以直线GH方程为y=2， 由解得D(1，2)，故选C. 32 [小结]解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P'(x',y')满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点R(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为R'(m,n),则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 33 (3)对有关中点、角平分线、光线反射以及在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小(或距离之差最大)等问题,通常将其转化为对称问题来处理. 34 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P，若光线QR经过△ABC的重心，则BP长为　　　　　.  对应训练 35 [解析] 以A为坐标原点，以AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，所以直线BC的方程为x+y-2=0，且△ABC的重心G，设M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点， 设P(a，0)，M(x0，y0)， 则解得x0=2，y0=2-a， 即M(2，2-a)， 36 又由N(-a，0)，根据光的反射原理，可知M，Q，R，N四点共线， 所以kMN=kNG，即 = ，解得a=(a=0舍)， 即AP长为，所以BP长为. 37 $