第56练圆锥曲线热点问题 第3课时　定点、定值、探索性问题专项练习-2027届高三数学一轮复习

第3课时　定点、定值、探索性问题

1.[2025·海口模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0,点P(2,1)是C上一点,过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,且直线l1与C交于另一点A,直线l2与C交于另一点B.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若k1+k2=1,证明:直线AB与y轴的交点为定点,并求出定点坐标.

 

 

 

 

 

2.[2025·山西忻州模拟] 已知抛物线C:x2=16y的准线为l,以(1,2)为圆心,面积为10π的圆与y轴的负半轴交于点Q,动点P到直线l的距离为2|PQ|.

(1)求动点P的轨迹Γ的方程.

(2)若直线l与y轴的交点为M,是否存在过点M且斜率存在的直线n交Γ于A,B两点,使|MA|·|MB|=3|AB|?若存在,求出直线n的方程;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

3.已知抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)在C上,且|MF|=2|OF|,其中O为坐标原点,过点A(0,1)的直线l与C相交.

(1)求C的方程;

(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在,求l的斜率;

(3)若l与C交于M,N两点,记直线OM与直线ON的斜率分别为k1,k2,证明k1+k2为定值,并求出该定值.

 

 

 

 

 

 

4.已知点F1,F2分别为双曲线Γ:-y2=1的左、右焦点,直线l:y=kx+1与双曲线Γ:-y2=1有两个不同的交点A,B.

(1)当l经过点F1时,求F2到直线l的距离.

(2)若O为原点,直线l与Γ的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C,D,当△COD的面积最小时,求直线l的方程.

(3)设P为x轴上一点,是否存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值以及点P的坐标;若不存在,说明理由.