第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题-第二课时 定点问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆锥曲线中的定点问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了直线过定点、曲线过定点两大考查方向，结合2025年山东青岛二模、云南玉溪保山三模等真题案例，明确“直线系思想”“轨迹方程法”等高频命题角度，构建了“特殊探路—一般证明—模型归纳”的完整备考体系。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培育”的融合设计，如例1通过韦达定理建立斜率关系证明直线过定点，例2结合对称点坐标推导轨迹方程探索曲线定点，培养学生的逻辑推理与模型观念素养。特设“易错点警示”和“解题模板”，助力学生掌握定点问题通法，教师可据此精准开展专题突破，提升复习效率。

第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题 第二课时 定点问题 2027届高考一轮复习数学 1 【知识要点】 定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y=kx+b，然后利用条件建立b，k的等量关系进行消元，借助直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明这个定点与变量无关. 2 考点1 直线过定点 例1　(2025·山东青岛·二模)设点A，B在椭圆C:+=1上，点P(1，1)，直线PA，PB均与圆O:x2+y2=r2(0<r<1)相切，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2. (1)证明:k1k2=1; (2)证明:直线AB过定点. 3 (1)证明:k1k2=1; [解析] (1)设直线PA的方程为y=k1x-k1+1， 直线PB的方程为y=k2x-k2+1， 由题知=r， 所以(1-k1)2=r2(1+)， 所以(1-r2)-2k1+1-r2=0， 同理，(1-r2)-2k2+1-r2=0， 所以k1，k2是方程(1-r2)x2-2x+1-r2=0的两根，所以k1k2=1. 4 (2)证明:直线AB过定点. [解析](2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为y=kx+m， 将y=kx+m代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-3=0， 所以x1+x2=-，① x1x2=，② 所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=，③ y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=，④ 5 又因为k1k2=×===1，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得3k2+4km+m2+2m-3=0， 所以3k2+4km+(m+3)(m-1)=0，所以(m+3k+3)(m+k-1)=0， 若m+k-1=0，则直线AB:y=kx+1-k=k(x-1)+1，此时AB过点P，舍去; 若m+3k+3=0，则直线AB:y=kx-3-3k=k(x-3)-3，此时AB恒过点(3，-3)， 所以直线AB过定点(3，-3). 6 [小结]圆锥曲线中定点问题的两种解法 7 1.已知双曲线C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为y=-2x，且点E(，-4)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)已知M(-3，0)，N(3，0)，过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线PM与直线x=交于点A.证明:直线AQ恒过定点; 对应训练 8 (1)求双曲线C的方程; [解析] (1)因为点E(，-4)在渐近线y=-2x上方， 所以双曲线C的焦点在x轴上， 设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0). 由题知解得a2=1，b2=8， 故双曲线C的方程为x2-=1. 9 (2)已知M(-3，0)，N(3，0)，过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线PM与直线x=交于点A.证明:直线AQ恒过定点; [解析] (2)因为P，Q两点在双曲线C的右支，所以直线PQ与x轴不重合， 设直线PQ的方程为x=my+3，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 联立方程得(8m2-1)y2+48my+64=0， 则Δ=(48m)2-4(8m2-1)×64=256(m2+1)>0，y1+y2=-，y1y2=， 10 直线PM的方程为y=(x+3)，令x=，得点A的坐标为， 所以直线AQ的方程为(y-y2)=(x-x2)， 令y=0，得直线AQ与x轴交点的横坐标 x=x2-== 11 = = = = ==. 故直线AQ恒过定点. 12 考点2 曲线过定点 例2　(2025·云南省玉溪市、保山市·三模)已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点P(2，)在C上. (1)求双曲线C的方程; (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，设直线l是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线l的对称点为M，证明:动点M的轨迹过定点(±2-2，0). 13 (1)求双曲线C的方程; [解析] (1)∵双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点P(2，)在C上. 所以c=2，且 解得a2=b2=2，所以双曲线的方程为-=1. 14 (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，设直线l是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线l的对称点为M，证明:动点M的轨迹过定点(±2-2，0). [解析] (2)①当双曲线的切线l斜率不存在时， 若l:x=±，易得点M(±2-2，0); ②当双曲线的切线l斜率存在时， 设l:y=kx+n， 联立消y得(1-k2)x2-2knx-n2-2=0， 由1-k2≠0，Δ=0，得n2+2=2k2. 15 设点F(2，0)关于直线l:y=kx+n的对称点M(x1，y1)， 则解得 16 代入n2+2=2k2，得+2=2. 化简得(+-4)2+8=8(2-x1)2， 展开得++16-8-8+2+8=32-32x1+8， 即++2=16-32x1+16， 化简得(+)2-(4x1-4)2=0，即(++4x1-4)(+-4x1+4)=0. 当+-4x1+4=0时，即(x1-2)2+=0，M点的轨迹为点(2，0)与F重合，不合题意; 当++4x1-4=0时，即(x1+2)2+=8， 所以M点的轨迹是以点(-2，0)为圆心，2为半径的圆， 即M点的轨迹为(x+2)2+y2=8，所以M点的轨迹过定点(±2-2，0). 17 [小结]求解曲线过定点问题的基本思路 把曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 18 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上，且椭圆C经过点A(，1). (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+t与直线l1，l2分别交于M，N两点.求证:以MN为直径的圆经过定点F. 对应训练 19 (1)求椭圆C的方程; [解析] (1)抛物线y2=8x的准线为x=-2， 所以F(-2，0)，即c=2， 又因为椭圆C经过点A(，1)， 所以解得a2=8，b2=4， 所以椭圆C的方程为+=1. 20 (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+t与直线l1，l2分别交于M，N两点.求证:以MN为直径的圆经过定点F. [解析] (2)由(1)知，A1(-2，0)，A2(2，0)， 所以l1:x=-2，l2:x=2，联立 消y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-8=0， 因为直线l为椭圆C的一条切线， 所以Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-8)=0， 整理得8k2-t2+4=0，故t2-8k2=4， 21 因为l与直线l1，l2分别交于M，N两点， 设M(-2，y1)，N(2，y2)， 所以=(-2+2，y1)，=(2+2，y2)， 则·=y1y2-4， 因为y1=-2k+t，y2=2k+t， 则y1y2=t2-8k2=4， 所以·=y1y2-4=4-4=0， 所以FM⊥FN，即∠MFN=90°， 所以以MN为直径的圆经过定点F. 22 $