第八章 课时9 圆锥曲线中定点与定值问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆锥曲线中定点与定值问题”核心考点，依据课标“研究动态问题、变中求不变”要求，对接高考评价体系，梳理直接法、间接法两大解题策略，分析双曲线、抛物线、椭圆等高频题型，归纳选择、证明等考查形式，体现备考针对性。 课件亮点为“真题引领+策略建模+素养提升”，如例2结合2025浙江模考，用数学思维推导弦长定值，通过“先找后证”技巧培养推理能力，设置双曲线定义符号等易错点分析，帮助学生掌握答题模板，教师可据此精准复习，提升备考效率。

课时9圆锥曲线 题 定点与定值问 课标要求 1.会研究一些含有参数的 2.理解圆锥曲线中的定点 动态问题. 定值问题本质是 在“变”中寻求“不变”性. 二、知识梳理 解决定点、定值问题的两大策略： 1.直接法：引入变量（设点或设直线等）法推理论证，选择适当的变量，构造要 求值的函数（或方程），通过化简为定值（恒成立求出定值） 2.间接法：先找后证，即从特殊（或极端）入手→求出定值→证明这个值与变量 无关 注意以下几点： 1.熟记一些常见的二级结论，如中点弦的性质等； 2.识别一些常见的模型，如直线系方程、圆系方程、阿波罗尼斯圆、“手电筒” 模型、极点极线等模型等； 3.掌握常用的方法与技巧，如通过对称性与极端化思想，大致确定位置或数值 等. 三、基础回顾 1.已知点M为双曲线C: 则MMF1+FF2-MF2=( ) A.2 B.4 之21的左支上一点，F, 45 C.6 F2分别为C的左、右焦点， D.8 A【解析】由于M为双曲线C:1 的左支上一点 4 焦点，所以Mf2-MF1=2a,故Mf1+FF2-Mf2=2c-2a,由 所以M1+FF2-MF2=2c-2=6-4=2.故选A. F,F2分别为C的左、右 于=2，b=√5，c=Va2+b2=3, 2.(多选题)已知双曲线C 22 :221(a>0,b>0)的左、 一 条渐近线为y=x,直线1过点F2且与双曲线C的右 分别为△AFF2和△BFF2的内心，则下列结论正确的 A.双曲线C的离心率为V2 B.直线1斜率的取值范围是[-1,1] C.△MWF2为直角三角形 D.点M与点N的横坐标都为a 右焦点分别为F1,F2,其 支交于A,B两点，M,N 有( ) ACD【解析】依题意，双曲线C为等轴双曲线，所以离心率为V2,故A正确； 双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和红，作图可知，若直线1过点F2且与双 曲线C的右支有两个交点，则直线1顿斜角的取值范围是（任，）， 则直线1斜率 的取值范围是(-0，-1)U(1，+o),故B错误； F 因为MF2和NF2分别为∠AF2F1和∠BFF的平分线，则2∠MFF1+2∠NF2F1=π， 所以∠MFN-,即△MNF是直角三角形，故C正确： 设焦距为2C,由题可知-1，故c=V2a,如图，过点M分别作F4,FF2,AF2 的垂线，垂足分别为D,E,H,易得FD=FE,FE=FH,AD=AH,因为AF-AF2=2a, 所以FE-FE-2a,所以E(α，O),M点的横坐标为a,同理可得N点的横坐标也 为a,故D正确.故选ACD 3.抛物线y2=4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是 2【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为-1， 设抛物线上一点P(xo,yo)到焦点F(1,0)的距离为3， 则PF=x5x0+1=3,所以x0-2. 4.已知A(1,2),B(1,-2),过抛物线y2=4x的焦点F M,N两点（异于A,B两，点），且M,A位于x轴同一侧 交于点G,求证：点G在定直线上. 的直线1与抛物线交于 直线AM与直线BN相 【证明】显然直线1不垂直于 x=y+1 )<0<,由 2=4x, 4t,y1y2=-4. 坐标轴，设其方程为 消去x得y2-4y M X x=y+1(0),Mx1,y1),Nx2, 4=0,显然>0，则y1十y2= 直线AM的斜率为k-力一2_” 一1 4 线BN的斜率为y=+2 2+2 2-1Γ2-1 4 4 y= 口x-1口+2， y1+2 4 P=-2 0x-1□-2， 2 4 其方程为y= 4 y1十2 x1)+2;直 1y1十2 4 其方程为y= y2-2 -少2.由 消y得十22-2-D=-4,整理雅 口y+200y2-2□ =1-+22-21-4=1 口y2-20-0y1+2口 y2-y1-4 的横坐标恒为一1，所以点G在定直线x=一1上. 1 x=1- 1 1 三1一 y1+2y2-2 2y2-2y-8=-1, 因此点G y2-y1-4 四、考点扫描 考点一定点问题 例1i 知椭圆C: 22十2=1b0)附离心室是 1/5 3 (1)求C的方程； (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线AP, W,证明：线段W的中点为定点. 点A(-2,0)在C上. AQ与y轴的交点分别为M, b=2, a2=b2+c2, (1)【解】由题意可得 C /5 e a 3 Are =1 4 a=3, 解得b=2, c=5, 厅以椭圆C的万程为。 (2)【证明】由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图， =+2+3 设B(-2,3),直线PQ:y=kx+2)+3,Px1,y),Q(x2,),联立方程 消去y得(4K2+9)2+82k+3)x+16(2+3k)=0,则△=642(2k+3)2-64(42+ 9+3=-1728>0,解得K0,可得1十=- 82k+3 12+30 ,X1X2= 42+9 42+9 因为《-20直线加2+a令=8=2甲 2y+22 则x十2+2=+23+s+23 2 X+2 S+2 G 3径肉自年 生寓③年 是一 径一 1名为1乌 是→→ _108-3,所以线段MN的中点是定点(0,3). 36 规律方法： 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是 过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零， 这样就得到一个关于X,y的方程组，这个方程组的解所确定的，点就是直线或曲 线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y一0=(x一0)，则 直线必过定点，o):若得到了直线方程的斜截式y=十m,则直线必过定点(0， m). 对点训练 已知F1,F2分别为双曲线E: 点乃到双曲线E的渐近线的距离为22， (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形ABCD为矩形，其中点 过定点 a2 a>0,>0的左、行焦岛 A为双曲线E的右顶点，且AF1=2AF2. B,D在双曲线E上，求证：直线BD (1)【解】设焦距为2c,则 的距离为 bc=b=22. b2+a2 =a2+b2,所以(3a2=2+8, F(一C,O),故点F到双曲线E的渐近线bx士ay=0 由AF1=2AF2,知c十a=2(c-a,得c=3a.又c2 解得=1，所以双曲线E的标准方程为只 =1. 8 (2)【证明】①当直线BD的斜率不存在时，由AB⊥AD可得直线BD的方程为 .②当直线BD的斜率存在时，设直线BD的方程为y=x十m,B1,m), =1, D2,2,联立 8 8-12≠0， 得(8-k2)x2-2kamx-m2-8=0.当 4>0 时， y=kx+m, m2+8 x1十x2= 2km 8-R'=、 因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以 8-k2 i·A亦=61-1，)·(x2-1,y2)=(G-1)x2-1)十y=0,所以(x-1x2-1) +(1+m)k2+m)=(2+1)x1x2+(m-1)x1+ k+10m2+8)12khmm-I)48-k20m2+1)=0,所 8-2 8-k2 8-k2 m+)(7m-9A=0,所以m=-k或m=9k.当 m =kx-k=x-1),恒过定点A(1,0),不合题意，舍 的交程方y-加+子-+胃硅定〔； 名小 x2)+m2+1=0,所以- 以7m2-2m-9k2=0,所以 一k时，直线BD的方程为y 去.当m=9k时，直线BD 7 综合①②，直线BD恒过定 考点二定值问题 创a8T中-2e9t人的子公 +62-l(a>b >0)上两点 (1)求椭圆C的离心率 (2)过点(-1,0)的直线1与椭圆C交于D,E两点D,E不在x轴上).直线 AD和AE分别与y轴交于M,N两点，求证：以W为直径的圆被x轴截得的 弦长为定值. (1)【解】由A2,0),知a=4,可 得b2=1,则c2=4-1=3,c=3, 是a2.代人人 所以椭圆C的离心率 e c_V3 a 2 (2)【证明】由（①）可知椭圆C的方程为+=1，设D,,,),设 过点(-1,0)的直线1的方程为x=my-1,与+2=1联立得m+4加-2my-3 =0,则4=4n+120m+4)>0恒成立，所以y1+2= 2m m+4'少·2= 3 所 m2+4 以x+=m0n+均）-2=二8 m2+4'·=mn-0n+p)十1=-4r+4 直 m2+4 线D的方程为y=h,c-2)令x=0,得=一2：直线B的方程为y= X12 X1-2 2,c-2),令x=0,得w=-29 X2-2 2-2 如图，记以W为直径的圆 -2 2 -12 m2+4 -41m2+4 16 +4 m2+4 m2+4 轴截得的弦长为定值. Pen 与x轴交于P,Q两点，由圆的弦长公式可知，22 w·w=--2y.-2y 4y1·y2 x1-2x2-2 x1x2-2(c1+x2)+4 -12 m2+4=1,月 故以MN为直径的圆被x 36 3 以0-23， m2+4 M 规律方法： 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式， 化简即可得出定值 (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再 利用题设条件化简、变形求得 3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行 化简、变形即可求得. 对点训练 (2025广东广州市模拟)已知点419,10，平面内有动点P, 且直线AP的斜率与直线P的斜率之积为1. (1)求动点P的轨迹2的方程 (2)过点A的直线与2交于点M(M在第一象限)，过点B的直线与Ω交于点N(N 在第三象限)，记直线，BV的斜率分别为k,,k,且4飞.试判断A2与 B的面积之比是否为定值若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理 由. 【解】(1)设白~)， 2=, 故求动点P 出，由题意可得 , 整理得 的轨迹方程为 尾尾2 (2)由题意可知丞云，且，可得人子 显然直线MN的斜 率不为0，设直线不的方程为，仁1，~1)，c:2,~2),联立方程 0+t 消去x得(， 则品A,△(，可得 2n 片+= n-l 则 2-1 %= -1 整理可得 (事，则 一r国为出则长，可件 山 整理可得1=，所以直线八不方程为 3 3 即直线过定点0)，则+三李受 此时 装aw之5所以塔之定位 米 感谢观看 THANKS