8.10圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的定点、定值、定直线核心考点，依据高考评价体系梳理了三大问题的考查要求，通过真题与模拟题分析明确其在解答题中的高频考点地位，归纳出证明定点、计算定值、探究定直线等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+规律方法+对点训练”的系统设计，如以2023年新高考Ⅱ卷定直线问题为范例，详解“直接消参法”等突破策略，培养学生的数学思维与模型观念。特设规律方法总结和易错点提示，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现高效复习教学，提升学生得分率。

第10节　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 高考总复习 2027 研考点•精准突破 考点一　定点问题 例1　(2025·安徽马鞍山模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且点P(1,)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若A,B为椭圆C上的两点,且满足AP⊥BP,求证:直线AB过定点. (1)解 因为椭圆C的离心率为,所以e=.又因为点P(1,)在椭圆C上,所以=1.解得a2=4,b2=3,故椭圆C的标准方程为=1. 考点一 考点二 考点三 (2)证明 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=m, 则A(m,n),B(m,-n),=(m-1,n-),=(m-1,-n-). 因为PA⊥PB,所以=(m-1)2-(n2-)=0. 因为=1,所以n2=3-m2. 所以-2m+=0,解得m=或m=1(舍去). 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,与=1联立消去y得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0, Δ=64k2t2-16(4k2+3)(t2-3)>0,即4k2-t2+3>0. 考点一 考点二 考点三 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=,y1y2=. 因为PA⊥PB,所以=(x1-1)(x2-1)+(y1-)(y2-)=0, 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+=0,代入化简得4k2+28t2+32kt-36t-9=0,即(2k+2t-3)(2k+14t+3)=0,当2k+2t-3=0时,t=-k, 此时直线AB的方程为y=k(x-1)+,过定点(1,),舍去; 当2k+14t+3=0时,t=-k-, 此时直线AB的方程为y=k(x-)-,过定点(,-). 综上,直线AB过定点(,-). 考点一 考点二 考点三 规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)由特殊到一般法:常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. (2)直接消参法:其一般步骤如下 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·江西六校联考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)与双曲线 =1的渐近线在第一象限的交点为Q,且点Q的横坐标为6. (1)求抛物线E的方程; (2)过点M(-3,0)的直线l与抛物线E相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B',证明:直线AB'必过定点. 考点一 考点二 考点三 (1)解 设点Q的坐标为(6,y0),因为点Q在第一象限,所以y0>0. 双曲线=1的渐近线方程为y=±x,因为点Q在双曲线的渐近线上,所以y0=4,所以点Q的坐标为(6,4). 又点Q(6,4)在抛物线y2=2px上,所以48=2p×6,所以p=4, 故抛物线E的标准方程为y2=8x. 考点一 考点二 考点三 (2)证明 设直线AB的方程为x=my-3,与y2=8x联立,消去x得y2-8my+24=0, Δ=64m2-96>0,即2m2-3>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(x2,-y2),y1+y2=8m,y1y2=24. 则直线AB'的方程为y+y2=(x-x2). 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上,令y=0,得x=y2×+x2== ==3. 故直线AB'过定点(3,0). 考点一 考点二 考点三 考点二　定值问题 例2　(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作倾斜角为θ的动直线l交抛物线E于A,B两点.当θ=60°时,|AB|=. (1)求抛物线E的方程; (2)证明:无论θ如何变化,是定值(O为坐标原点); (3)点M(3,0),直线AM与抛物线E交于另一点C,直线BM与抛物线E交于另一点D,证明:△ABM与△CDM的面积之比为定值. 考点一 考点二 考点三 (1)解 根据题意直线l的斜率不为0,可设直线l:x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-2pty-p2=0,∴Δ=4p2(t2+1)>0,y1+y2=2pt,y1y2=-p2, ∴|AB|=|y1-y2|==2p(t2+1), 当θ=60°时,t=,∴|AB|=, ∴p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明 由(1)可知,y1y2=-p2=-4, 则x1x2==1,∴=x1x2+y1y2=-4+1=-3,为定值. 考点一 考点二 考点三 (3)证明 设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AC的方程为x=my+3,直线BD的方程为x=ny+3, 联立得y2-4my-12=0, ∴y1y3=-12,同理,y2y4=-12, ∴y1y2y3y4=(y1y3)(y2y4)=144. 由(2)知y1y2=-4,则y3y4=-36, ∴=||=,为定值. 考点一 考点二 考点三 规律方法　直接消参法求证圆锥曲线中定值问题的一般步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·山东济宁模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且点A(4,3)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l交双曲线C于P,Q两点,∠PAQ的平分线与x轴垂直,求证:l的倾斜角为定值. 考点一 考点二 考点三 (1)解 由题意有得b2=a2.又点A(4,3)在双曲线C上, 所以=1.联立解得 所以双曲线C的方程为=1. 考点一 考点二 考点三 (2)证明 由已知得直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+b,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得(3-4k2)x2-8kbx-4b2-12=0, 所以3-4k2≠0,Δ=(-8kb)2-4(3-4k2)(-4b2-12)=48(b2-4k2+3)>0, 则x1+x2=,x1x2=-. 又因为∠PAQ的平分线与x轴垂直,所以kAP+kAQ=0,即=0, 所以(y1-3)(x2-4)+(y2-3)(x1-4)=0,即2kx1x2+(b-3-4k)(x1+x2)-8(b-3)=0, 所以-2k·+(b-3-4k)·-8(b-3)=0,即-24(k+1)(b+4k-3)=0, 所以k=-1或b=3-4k. 考点一 考点二 考点三 当b=3-4k时,直线l的方程为y=kx+3-4k=k(x-4)+3,即直线l过点A(4,3),不符合题意,所以k=-1.设l的倾斜角为α(0≤α<π),即k=tan α=-1,α=,即直线l的倾斜角为定值. 考点一 考点二 考点三 考点三　定直线问题 例3　(2023·新高考Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为 (-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上. (1)解 设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0), ∵c=2,e=,∴a=2,∴b2=c2-a2=16, 故双曲线C的方程为=1. 考点一 考点二 考点三 (2)证明 (方法1)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0. 联立消去y,得(k2-4)x2+8k2x+16k2+16=0,∴ 又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,x2≠2,从而直线A1M、直线A2N的方程分别为y=(x+2),① y=(x-2),② ①÷②,得.③ 考点一 考点二 考点三 ∵点(x1,y1)在=1上,∴=1,-4=(x1-2)(x1+2), ∴,代入③得=, 代入根与系数的关系式得=-,∴x=-1. ∴当直线MN的斜率存在时,点P在定直线x=-1上. 当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,代入=1, 得M(-4,4),N(-4,-4). 考点一 考点二 考点三 又A1(-2,0),A2(2,0),∴直线A1M、直线A2N的方程分别为y=-2(x+2), y=,联立解得x=-1.此时点P也在定直线x=-1上. 综上,点P在定直线x=-1上. 考点一 考点二 考点三 (方法2)由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0. 设直线MN的方程为x+4=my,与双曲线方程联立消去x,得(4m2-1)y2-32my+48=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0, 则 考点一 考点二 考点三 又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,x2≠2,∴直线A1M、直线A2N的方程分别为y=,y=,联立消去y,得x=, (*) 由x1=my1-4,x2=my2-4,得x1y2+x2y1=(my1-4)y2+(my2-4)y1=2my1y2-4(y1+y2) =,① x2y1-x1y2=(my2-4)y1-(my1-4)y2=-4(y1-y2),② 把①②及y1+y2=代入(*)式,得x==-1, ∴点P在定直线x=-1上. 考点一 考点二 考点三 规律方法　设动点P(x0,y0)在某定直线上,需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数,从而建立一个无参的直线方程,此时会分为三种情况: (1)x0=a,即动点恒过直线x=a. (2)y0=b,即动点恒过直线y=b. (3)y0=f(x0),即动点恒过直线y=f(x). 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·北京石景山模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点(2,),短轴长为4. (1)求椭圆C的方程. (2)椭圆C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线l:y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N.设直线AN与直线BM相交于点G.试问点G是否在某定直线上?若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.   解 (1)依题意可得解得 所以椭圆C的方程为=1. 考点一 考点二 考点三 (2)点G在定直线y=1上.理由如下: 设点N(x1,y1),M(x2,y2)(y1,y2≠±2),联立 消去y整理得(1+2k2)x2+16kx+24=0, 由Δ=(16k)2-4×24(1+2k2)>0⇒k2>, 且x1+x2=-,x1x2=,所以x1+x2=-kx1x2. 易知A(0,2),B(0,-2),则lAN:y-2=x,lBM:y+2=x,两式作商得=-,解得y=1,故点G在定直线y=1上. 考点一 考点二 考点三 $