微专题19 圆锥曲线情境的新定义——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“圆锥曲线情境的新定义”专题，依据高考评价体系梳理了双曲线性质、点列构造、等比数列证明、三角形面积计算等核心考点，通过2024新课标Ⅱ卷真题分析，明确新定义下解析几何与数列综合应用的高频考查方向，归纳出坐标变换、韦达定理应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+技巧提炼”，如例1通过点列构造过程培养数学眼光，利用韦达定理推导等比数列公比强化数学思维，面积证明中用向量叉积公式提升数学语言表达。特设易错点分析如坐标对称变换失误提示，帮助学生掌握综合题解题逻辑，教师可据此精准突破高考难点，实现高效复习。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 微专题19：圆锥曲线情境的新定义 2027届高考一轮复习数学 1 【典型例题】 例1　(2024·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)，过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn). (1)若k=，求x2，y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明:对任意的正整数n，Sn=Sn+1. 2 (1)若k=，求x2，y2; [解析] (1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9. 当k=时，过点P1(5，4)且斜率为的直线方程为y=， 与x2-y2=9联立得到x2-=9. 解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1， 该点显然在C的左支上，故P2(3，0)，从而x2=3，y2=0. 3 (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; [解析] (2)由于过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线方程为y=k(x-xn)+yn， 与x2-y2=9联立，得到方程x2-=9. 展开即得(1-k2)x2-2kx--9=0， 由于Pn已经是直线y=k+yn和x2-y2=9的公共点， 故方程必有一根x=xn， 从而根据韦达定理，另一根x=-xn=， 相应的y=k+yn=， 所以该直线与C的不同于Pn的交点为Qn， 4 而注意到Qn的横坐标亦可通过韦达定理表示为， 故Qn一定在C的左支上， 所以Pn+1. 这就得到xn+1= ， yn+1=. 5 所以xn+1-yn+1=- =- ==. 再由-=9，就知道x1-y1≠0， 所以数列是公比为的等比数列. 6 (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明:对任意的正整数n，Sn=Sn+1. [解析] (3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U，V，W，若==，则S△UVW=.(若U，V，W在同一条直线上，约定S△UVW=0) 证明:S△UVW=·sin<> =· =· 7 = = = = ==. 证毕，回到原题. 8 由(2)得到xn+1=，yn+1=， 故xn+1+yn+1= + = =. 再由-=9，就知道x1+y1≠0， 所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数m，都有 xnyn+m-ynxn+m= [+]- [-] 9 =-(xn+yn)(xn+m-yn+m) =-(xn+yn)(xn-yn) = =. 而又有= =， 10 故利用前面已经证明的结论即得 Sn== |-(xn+1-xn)(yn+2-yn+1)+(yn+1-yn)(xn+2-xn+1)| = |(xn+1-xn)(yn+2-yn+1)-(yn+1-yn)(xn+2-xn+1)| = |(xn+1yn+2-yn+1xn+2)+(xnyn+1-ynxn+1)-(xnyn+2-ynxn+2)| = . 这就表明Sn的取值是与n无关的定值，所以Sn=Sn+1. 11 方法二:由(2)得到xn+1= ，yn+1= ， 故xn+1+yn+1= + = =. 再由-=9，就知道x1+y1≠0， 所以数列是公比为的等比数列. 12 所以对任意的正整数m，都有 xnyn+m-ynxn+m=[+] -[-] =(xn-yn)(xn+m+yn+m)-(xn+yn)(xn+m-yn+m) =(xn-yn)(xn+yn)-(xn+yn)(xn-yn) ==. 得到xn+2yn+3-yn+2xn+3==xnyn+1-ynxn+1， 13 以及xn+1yn+3-yn+1xn+3==xnyn+2-ynxn+2. 两式相减，即得(xn+2yn+3-yn+2xn+3)-(xn+1yn+3-yn+1xn+3) =(xnyn+1-ynxn+1)-(xnyn+2-ynxn+2)， 移项得到xn+2yn+3-ynxn+2-xn+1yn+3+ynxn+1=yn+2xn+3-xnyn+2-yn+1xn+3+xnyn+1， 故(yn+3-yn)(xn+2-xn+1)=(yn+2-yn+1)(xn+3-xn). 而=(xn+3-xn，yn+3-yn)，=(xn+2-xn+1，yn+2-yn+1). 所以和平行， 这就得到=，即Sn=Sn+1. 14 [小结]解决此类试题的核心是将解析几何和数列知识结合,明确题设条件的构成要素,准确把握图形的结构特征,由此联想解析几何和数列的内在联系与本质区别,在此基础上进行运算、推理、归纳,从而解决问题. 第(1)问:直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可; 第(2)问:思路一:根据等比数列的定义即可验证结论;思路二:利用点差法和合比性质即可证明; 第(3)问:思路一:使用等差数列工具,证明Sn的取值为与n无关的定值即可.思路二:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明Sn的取值为与n无关的定值即可.思路三:利用点差法得到=,=,再结合(2)中的结论得xn+1+yn+1=q(xn+2+yn+2),最后证明出=即可. 15 【训练巩固】 1.(2025·山东潍坊·二模)双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A，A1，点A1到C的渐近线的距离为. (1)求C的方程. (2)按照如下方式依次构造点An(n≥2且n∈N):过点An-1作斜率为-2的直线交C于另一点Bn-1，设An是点Bn-1关于实轴的对称点，记点An的坐标为(xn，yn). (ⅰ)证明:数列{xn-yn}、{xn+yn}是等比数列，并求数列{xn}和{yn}的通项公式; (ⅱ)记△AnAAn+1的面积为S，△AnA1An+1的面积为T，求的最大值. 16 (1)求C的方程. [解析] (1)双曲线C的渐近线方程为x±y=0，A1(a，0)， 则点A1到渐近线的距离为=，所以a=1，所以C的方程为x2-y2=1. 17 (2)按照如下方式依次构造点An(n≥2且n∈N):过点An-1作斜率为-2的直线交C于另一点Bn-1，设An是点Bn-1关于实轴的对称点，记点An的坐标为(xn，yn). (ⅰ)证明:数列{xn-yn}、{xn+yn}是等比数列，并求数列{xn}和{yn}的通项公式; [解析] (2)(ⅰ)因为An(xn，yn)，所以An-1(xn-1，yn-1)，Bn-1(xn，-yn)， 直线An-1Bn-1的方程为y+yn=-2(x-xn)，即y=-2x+2xn-yn， 代入x2-y2=1，得3x2-4(2xn-yn)x+(2xn-yn)2+1=0， 根据韦达定理得xn-1+xn= (2xn-yn). 所以yn=xn-xn-1，yn-1=-2xn-1+2xn-yn=xn-xn-1， 由题设有x1+y1=x1-y1=1， 18 因为 = = =， 所以{xn-yn}是公比为的等比数列. 因为 = = =3， 所以是公比为3的等比数列，所以xn-yn=，xn+yn=3n-1， 所以xn= ，yn= . 19 (ⅱ)记△AnAAn+1的面积为S，△AnA1An+1的面积为T，求的最大值. [解析] (ⅱ)先证明结论:若=(a1，b1)，=(a2，b2)为两个不共线的非零向量， 则S△PMN=||·||sin∠PMN=||·|| = ||·||·= = = = |a1b2-a2b1|. 20 本题中，因为=(xn+1，yn)，=(xn+1+1，yn+1)， 所以S=|(xn+1)yn+1-(xn+1+1)yn|= |xnyn+1-xn+1yn+yn+1-yn|. 因为=(xn-1，yn)，=(xn+1-1，yn+1)， T= |(xn-1)yn+1-(xn+1-1)yn|= |xnyn+1-xn+1yn+yn-yn+1|， 又因为xnyn+1-xn+1yn= - = ， yn+1-yn=3n-1+， 21 所以S=，T=， 所以= =1+， 设dn=3n-1+-，则dn+1=3n+- ， 所以dn+1-dn>0，所以dn+1>dn，所以dn≥3+ - = ， 所以≤1+ =1+×=1+ =，当且仅当n=2时等号成立，所以的最大值为. 22 $