圆锥曲线的第二定义 课件——2027届高三数学一轮复习

　圆锥曲线的第二定义 题型一　椭圆的第二定义 1.椭圆的第二定义 椭圆是平面内到一个定点F与到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e(0<e<1)的动点的轨迹.其中,e为椭圆的离心率,F为椭圆的焦点,l为椭圆的准线. 题型一 题型二 2.椭圆的准线方程和焦半径公式 (1)焦点在x轴上的椭圆=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则焦半径|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0. 题型一 题型二 (2)焦点在y轴上的椭圆=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆的下、上焦点,则焦半径|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0. 注意:在焦半径公式中,到负半轴上的焦点都是“+”,到正半轴上的焦点都是“-”. 题型一 题型二 典例1(1)设椭圆=1(a>b>0)的右准线为x=8,椭圆的离心率为,则椭圆的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 B 解析 由题意解得则b==2.所以椭圆的方程为=1.故选B. 题型一 题型二 (2)已知椭圆=1外一点A(5,6),l为椭圆的左准线,P为椭圆上的动点,点P到l的距离为d,则|PA|+d的最小值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 B 题型一 题型二 解析 如图,椭圆的左焦点F(-3,0),根据椭圆第二定义得=e=, 即|PF|=d, 所以|PA|+d=|PA|+|PF|,可知当P,F,A三点共线且 点P在线段AF上时,|PA|+|PF|最小, 最小值|AF|==10. 故|PA|+d的最小值为10.故选B. 题型一 题型二 [对点训练1](1)如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点,作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=(　　) A.25 B.26 C.27 D.28 D 题型一 题型二 解析 不妨设点P(x,y)是椭圆上的任意点,则由椭圆的第二定义可得|PF|=a+ex,又a=4,b=3,c=, ∴|PF|=4+x.① ∵把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,∴点P4为椭圆与y轴正半轴的交点且P1,P2,P3与P5,P6,P7分别关于y轴对称,∴不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)且x1<0,x2<0,x3<0, P4(0,3),∴P5(-x3,y3),P6(-x2,y2),P7(-x1,y1). 由①可得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F| =(4+x1)+(4+x2)+(4+x3)+(4+×0)+(4-x3)+(4-x2)+(4-x1), ∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=4×7=28.故选D. 题型一 题型二 (2)椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆的半焦距,则此椭圆的离心率是　　　　　.  解析 设椭圆的实轴长为2a(a>0),焦距为2c(c>0),则椭圆的离心率为e=且0<e<1,则椭圆上一点到准线距离的最小值为-a.由题意可得-a=c,即 a2-ac=c2,所以e2+e-1=0,由0<e<1,得e=,因此,椭圆的离心率为. 题型一 题型二 题型二　双曲线的第二定义 1.双曲线的第二定义 双曲线是平面内到一个定点F与到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e(e>1)的动点的轨迹.其中,e为双曲线的离心率,F为双曲线的焦点,l为双曲线的准线. 题型一 题型二 2.双曲线的准线方程和焦半径公式 (1)焦点在x轴上的双曲线=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则焦半径|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|. 题型一 题型二 (2)焦点在y轴上的双曲线=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别为双曲线的下、上焦点,则焦半径|PF1|=|a+ey0|,|PF2|=|a-ey0|. 注意:在焦半径公式中,到负半轴上的焦点都是“+”,到正半轴上的焦点都是“-”. 题型一 题型二 典例2(1)双曲线=1上一点P到右焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意,双曲线=1,可得a2=9,b2=4,即a=3,b=2,c=,可得双曲线的离心率为e=.因为双曲线=1上一点P到右焦点F2的距离为3,即|PF2|=3,可得点P到右准线的距离为d=.故选C. 题型一 题型二 (2)设F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,l为左准线,离心率e=,P(-,m)是左支上一点,点P到l的距离为d,且d,|PF1|,|PF2|成等差数列, 则此双曲线方程为　　　　　　　.  =1 解析 由双曲线的第二定义知d=|PF1|,记点P的横坐标为x0,则 |PF1|=-(ex0+a)=14-a,|PF2|=-(ex0-a)=14+a.由已知得d+|PF2|=2|PF1|,即(14-a)+(14+a)=28-2a,得a=2,c=3,b=,故双曲线的方程为=1. 题型一 题型二 [对点训练2](1)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为 (　　) A. B. C. D. B 题型一 题型二 解析 设双曲线C:=1的右准线为l,过点A,B分别作AM⊥l于点M, BN⊥l于点N,BD⊥AM于点D,如图所示. 因为直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为60°.所以∠BAD=60°,|AD|=|AB|.由双曲线的第二定义得|AM|-|BN|=(||-||) =|AD|=|AB|=(||+||). 又因为=4,所以|=|, 所以e=.故选B. 题型一 题型二 (2)已知双曲线=1的右焦点为F2,M是双曲线右支上一点,定点A(9,2),则|MA|+|MF2|的最小值为　　　　.  题型一 题型二 解析 由题意得a=3,b=4,则c==5,所以e=.过点M作MN垂直于双曲线的右准线l:x=,垂足为N, 则=e,即|MF2|=|MN|. 所以|MA|+|MF2|=|MA|+|MN|, 显然,当M,N,A三点共线时, |MA|+|MF2|取得最小值9-. 题型一 题型二 $