强基培优5　子数列、新情境、新定义问题课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列子数列、奇偶项分段、新情境新定义等核心考点，依据高考评价体系梳理了分类讨论、数列求和、新定义转化三大考查要求，通过典例与纵深攻略归纳分段求和、公共项剔除等常考题型，精准对接高考命题趋势。 课件亮点在于“典例精析+素养训练+应试指导”，如奇偶项问题拆分奇偶数项求和培养逻辑思维，新定义问题结合欧拉函数实例提升数学语言表达能力。含易错点分析及分类讨论技巧，助力学生突破难点，教师可据此高效开展针对性复习教学。

强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 备考纵深·高阶思维突破攻略 培优点一　数列奇偶项问题 【典例展示1】　已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6． (1)求an； (2)数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 2 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 ∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2． 3 (2)∵bn＝ 则b2n-1＝22n-2，b2n＝a2n-1＝4n－3． ∴T2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n-1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝(20＋22＋24＋…＋22n-2)＋[1＋5＋9＋…＋(4n－3)]＝． 4 名师点评：数列奇偶项的问题主要考查综合知识与探究问题的能力，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 5 【纵深攻略】 1．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 6 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d． 因为bn＝ 所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6． 因为S4＝32，T3＝16， 所以 整理得 所以{an}的通项公式为an＝2n＋3． 7 (2)证明：由(1)知an＝2n＋3， 所以Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为奇数时， Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＝． 8 当n>5时，Tn－Sn＝ >0，所以Tn>Sn． 当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝． 当n>5时，Tn－Sn＝>0， 所以Tn>Sn．综上可知，当n>5时，Tn>Sn． 9 培优点二　数列增减项问题 【典例展示2】　已知数列＋an＝8n＋4． (1)求数列的通项公式； (2)已知bn＝2n，在数列 的前192项和T192． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 10 [解]　(1)当n＝1时，a2＋a1＝12，所以a2＝8； 当n≥2时，an＋an-1＝8n－4， 所以－an-1 ＝8； 当n为偶数时，an＝8＋×8＝4n； 当n为奇数时，an＝4＋×8＝4n； 综上所述，an＝4n． 11 (2)设{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Hn， 由(1)可知a200＝800，b9＝29＝512， 当n≤200时，可知{an}与{bn}的公共项为4，8，16，…，512，共8项， 所以数列 ＝80 400－1 020＝79 380． 12 名师点评：(1)解决数列中增减项问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征． (2)两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差数列与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 13 【纵深攻略】 2．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对所有正整数m，若ak<2m<ak+1，则在ak和ak+1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 14 [解]　(1)由2Sn＝nan，则2Sn+1＝(n＋1)an+1， 两式相减，得2an+1＝(n＋1)an+1－nan， 整理，得(n－1)an+1＝nan，即n≥2时，， 所以当n≥2时， an＝·…··…··3＝3(n－1)， 又当n＝1时，2a1＝a1，得a1＝0，也满足上式． 故an＝3(n－1)(n∈N*)． 15 (2)由a40＝117，所以26<a40<27， 又a34＝99>26，所以． 故b1＋b2＋…＋b40＝(a1＋a2＋…＋a34)＋(21＋22＋…＋26) ＝＝1 683＋126＝1 809． 所以{bn}的前40项和为1 809． 16 培优点三　数列新情境、新定义问题 【典例展示3】　若正整数m，n的最大公约数为1，则称m，n互质．对于正整数k，φ an． (1)求数列的通项公式； (2)设32 026＝m，求的前2 026项和(结果用m表示，数字用分数)； (3)证明：>an． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 17 [解]　(1)由an＝，得a1＝＝9． 又因为数列的公比为q， 可得q＝＝3，因此an＝3n． 所以Sn＝×3n， 即Sn-1＝×3n-1，n≥2； 可得bn＝Sn－Sn-1＝×3n－[(n－1)2＋n－1]×3n-1，n≥2． 即bn＝×3n-1，n≥2． 当n＝1时，S1＝b1＝6满足上式， 即可得bn＝×3n-1，n∈N*． 18 (2)由(1)可知×3n-1， 设Tn＝＋…＋＝6×30＋8×31＋…＋×3n-1， 则3Tn＝6×31＋8×32＋…＋×3n， 两式相减可得－2Tn＝6×30＋2×31＋2×32＋…＋2×3n-1－×3n＝6＋2××3n＝3n＋3－×3n， 即Tn＝， 所以T2 026＝． 19 (3)证明：当n＝1时，＝6>a1＝3，原不等式成立； 当n≥2时，×3n-1>2×3n-1， 所以＋…＋>6＋2×31＋…＋2×3n-1＝3n＋3>3n＝an， 综上可知＋…＋>an． 20 名师点评：对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 21 【纵深攻略】 3．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8． (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 22 [解]　(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q， 依题意有解得(舍去)， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n． 23 (2)由题意知，b1＝0，且当2n≤m<2n+1时，bm＝n， 则S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480． 24 1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数． (1)求r的值； (2)设bn＝2(1＋log2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值． 教用备选题·强基培优(五)　子数列、新情境、新定义问题 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 25 [解]　(1)因为Sn＝2n＋r，所以a1＝S1＝2＋r，a1＋a2＝S2＝4＋r，即a2＝2，a1＋a2＋a3＝S3＝8＋r，即a3＝4．由{an}是等比数列可知＝a1a3，所以4＝(2＋r)×4，可得r＝－1．故Sn＝2n－1，a1＝2＋r＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝(2n－1)－(2n-1－1)＝2n-1，且a1＝1也适合该式，故an＝2n-1，{an}是等比数列，即r＝－1满足题意．所以r＝－1． (2)由(1)知bn＝2(1＋log2an)＝2(1＋log22n-1)＝2n．因为a1＝1，a2＝2＝b1，a3＝4＝b2，a4＝8＝b4，a5＝16＝b8，a6＝32＝b16，a7＝64＝b32，a8＝128＝b64，a9＝256＝b128，所以c1＋c2＋c3＋…＋c100＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a2＋a3＋…＋a8)＝＝11 302． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3成等差数列． (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 28 [解]　(1)由Sn＝得， 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1． 依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)， 解得b1＝2，所以bn＝2n． (2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…， 所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 所以cn＝2×4n-1， 则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝． 3．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3．   第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 31 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项和T100． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 32 [解]　(1)由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8， 所以等比数列{an}的公比q＝2，an＝a1qn-1＝2n． 设等差数列{bn}的公差为d，则 2＝b3－2b1＝2d－b1，S7＝＝7b4＝7a3， 所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n． (2)因为bn＝2n，所以cn＝[lg(2n)]． 所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147． 4．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn． 教用备选题·强基培优 强基培优5　子数列、新情境、新定义问题 34 [解]　(1)因为2Sn＝3an－1，所以当n≥2时，2Sn-1＝3an-1－1， 所以2an＝3an－3an-1(n≥2)， 即an＝3an-1(n≥2)． 当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－1，解得a1＝1， 则{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 故an＝3n-1． (2)由(1)可知，当n为奇数时，bn＝an＝3n-1； 当n为偶数时，bn＝log3an＝n－1． 当n为奇数时，Tn＝(b1＋b3＋b5＋…＋bn)＋(b2＋b4＋b6＋…＋bn-1) ＝(1＋32＋34＋…＋3n-1)＋(1＋3＋5＋…＋n－2) ＝＝； 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋b5＋…＋bn-1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋bn) ＝(1＋32＋34＋…＋3n-2)＋(1＋3＋5＋…＋n－1) ＝． 综上，Tn＝ 谢 谢 ！ $