第八章 课时1 直线的斜率与方程讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线的倾斜角、斜率及方程等高考核心考点，按定义理解、公式推导、综合应用的逻辑层次梳理知识，通过基础回顾夯实概念，考点扫描（含典例精讲与规律总结）突破重点，分层训练强化应用，构建系统复习框架。 资料以数学思维培养为核心，如例2通过分类讨论截距情况训练逻辑推理，例3定点问题引导建立方程模型，配合即时反馈的对点训练，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

课时1 直线的斜率与方程 一、课标要求 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式）. 二、知识梳理 1．直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l的 ．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的取值范围是 ． 2．直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的 叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ，倾斜角是90°的直线斜率不存在． （2）过两点的直线的斜率公式： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ ． 3． 直线的方向向量 设是直线上的两点.直线上的以及与它平行的向量都是直线的方向向量. （1）直线上的方向向量的坐标为； （2）直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为. 4. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平面直角坐标系中的所有直线 5. 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 【拓展知识】 1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有 ，但不一定每条直线都存在 ． 2．直线的倾斜角α和斜率之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k>0 k＝tanα 单调递增 3．截距为一个实数，既可以为 ，也可以为 ，还可以为 ． 三、基础回顾 1. 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）任意一条直线都有倾斜角． (　　) （2）任意一条直线都有斜率． (　　) （3）过两点的直线的斜率公式适用于任何直线． (　　) （4） 直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大. (　　) 2．过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　) A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x＋2y－3＝0 3．（多选题）下列说法中，正确的有　　 A．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B．一条直线的倾斜角为－30° C．若直线的倾斜角为α，则sinα≥0 D．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα 4.已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 四、考点扫描 考点一 直线的倾斜角与斜率 例1（1）如图，平面四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，且直线AB的斜率为，直线BC的斜率为－，则tan ∠ABC＝(　　) A.－ B．－ C．－ D．－ （2）已知点.若点在线段上，则的取值范围是 . 规律方法： 对点训练 （1）直线的倾斜角为 . （2）（2025·河南信阳市模拟）若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　　，直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　　.  考点二 直线方程及其应用 例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－； (2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍； (3)直线过点(5，10)，且坐标原点到该直线的距离为5. 规律方法： 对点训练 (1)在△ABC中，若点A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的平分线所在直线l的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0 (2) 直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(，－1)，则直线l的方程为(　　) A.x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C.x＋y－2＝0 D.x＋y－4＝0 （3）已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为边AB的中点，N为边AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为____________. 考点三　直线方程的综合应用 例3（1）(2025·江苏南通市启东市期中联考)已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为(　　) A. y＝6x＋ B. y＝6x＋6 C. y＝6x±6 D. y＝6x－6 （2） (2025·四川绵阳市期末)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0． ①求证：不论m为何实数，直线l过定点M； ②过定点M作一条直线l1，使得直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程． 对点训练 （1） 若a，b满足，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. （2）已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　) A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0 例4 已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线的方程； （2）求的最小值，及此时直线的方程； （3）求的最小值，及此时直线的方程． 规律方法： 对点训练 已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值，及此时直线的方程． 课时1 直线的斜率与方程参考答案 二、知识梳理 1．（1） 正向 向上 倾斜角 （2） 2．（1） 正切值 （2） 4. y－y0＝k(x－x0) k存在 y＝kx＋b k存在 x1≠x2且y1≠y2 a≠0且b≠0 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 【拓展知识】 1. 倾斜角 斜率 2． 0 不存在 k<0 0 不存在 单调递减 3． 正数 负数 0 三、基础回顾 1. （1）√ （2）× 【解析】倾斜角为的直线的斜率不存在. （3）× 【解析】斜率公式要满足，所以与轴垂直的直线不适用. （4）× 【解析】当0°<α<90°时，；当90°<α<180°时，. 2．A【解析】因为直线的方向向量为(1，2)，所以直线的斜率k＝2. 又直线过点(1，1)， 所以直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选A. 2. CD【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，A错误； 对于选项B，直线的倾斜角的范围是[0，π)，B错误； 对于选项C，直线的倾斜角的范围是[0，π)，则有sinα≥0，C正确； 对于选项D，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα，D正确．故选CD. 4.【解析】由直线方程，得直线斜率，所以. 四、考点扫描 例1（1）C【解析】由三角形的外角公式，得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，所以tan ∠ABC＝tan ＝＝＝－.故选C. （2）【解析】 设，则，.因为是线段上的任意一点，所以的取值范围是，， 对点训练（1）【解析】由题意，可将原直线方程变形，则直线的斜率为.由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为. （2）(-∞，-]∪[1，+∞)；【解析】如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1==-；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2==1.所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(-∞，-]∪[1，+∞). 设直线l的倾斜角为α，所以tan α∈(-∞，-]∪[1，+∞)，且α∈[0，π)，所以α的取值范围是. 例2【解】(1)因为所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，所以所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0. (2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2，1)，所以1＝2k，解得k＝，所以直线方程为y＝x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，由题意可得解得所以直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. (3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，所以原点到直线的距离d＝＝5，解得k＝，所以所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 对点训练 (1)　B【解析】　 如图所示，设∠BAC的平分线所在直线l与横轴的交点为D(a，0)，由角平分线的性质可知＝⇒＝⇒a＝，所以∠BAC的平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0.故选B. (2)C 【解析】 直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，所以其倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为120°，所以kl＝tan 120°＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－)，即x＋y－2＝0.故选C. （3）　2x＋y－8＝0【解析】由题知M(2，4)，N(3，2)，故中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0. 例3（1）C 【解析】 设所求直线l的方程为y＝6x＋b.令x＝0，所以 y＝b，与y轴的交点为(0，b)；令y＝0，所以 x＝－，与x轴的(-,0)交点为(-,0).因为被两坐标轴所截得的线段长为，所以＋b2＝37，解得b＝±6，因此所求直线方程为y＝6x±6.故选C. （2）①【证明】直线l的方程转化为(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，令解得所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2)． ②【解】过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2,0)，(0，－4)．所以直线l1的方程为＋＝1，即2x＋y＋4＝0． 对点训练 （1）B 【解析】 因为， 所以，代入直线方程得，即， 所以，解得.所以直线必过定点.故选B． （2） C【解析】　因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.故选C. 例4 【解】设，a＜0，b＞0，. （1）设，因为过点，所以，所以，由解得，所以直线的方程为，即； （2）OA+OB=b-a，所以OA+OB=b-a=，当且仅当，时取等号，所以直线的方程为. （3）依题意，可知三点共线，在线段上（且与不重合），所以，当且仅当，时取等号，所以直线的方程为． 对点训练 (1)【证明】直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)． (2)【解】直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1.要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0.故k的取值范围是. (3) 【解】依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，所以A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，所以k>0.故S＝OA· OB＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4(当且仅当4k＝，即k＝时，取等号)．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. . 学科网（北京）股份有限公司 $