2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时5 椭圆的方程与性质

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆的方程与性质，覆盖定义、标准方程、几何性质及应用等核心考点，按“定义-方程-性质-拓展”逻辑构建知识体系，通过知识梳理、基础诊断、考点扫描三环节，结合例题精讲与分层训练突破重点难点。 讲义以问题链驱动教学，如通过焦点三角形面积最值探究培养数学思维，融入2025年模拟真题强化应用意识，设置基础判断、综合解答等分层练习。助力学生构建解题框架，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

课时5 椭圆的方程与性质 一、课标要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用． 二、知识梳理 1．椭圆的定义 （1）平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的 ，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． （2）集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0． ①当2a＞F1F2时，点M的轨迹为椭圆； ②当2a＝F1F2时，点M的轨迹为线段F1F2； ③当2a＜F1F2时，点M的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 离心率 e＝ ，且e∈(0，1) a，b，c的关系 【拓展知识】 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 （1）点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1； （2）点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； （3）点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1. 2．焦点三角形 如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．设r1＝PF1，r2＝PF2，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： （1）当r1＝r2，即 ，θ最大. （2）S＝b2tan＝c│y0│，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc． （3） ≤PF1≤ ． （4）PF1＝ ，PF2＝ ． （5）当PF2⊥x轴时，点P的坐标为(c，±)． 3．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为 ． 4．椭圆中点弦的斜率公式 若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－.特别地，若椭圆＋＝1，则有kAB·kOM＝－． 5．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 AB＝|x1－x2|＝＝·|y1－y2|＝(其中k为直线的斜率)． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　 　) （2）椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．(　 　) （3）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　 　) （4）关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　 　) （5）＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　 　) 2．若椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成一个等边三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 3．（多选题）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为 C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得 4．已知，分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点，则的最小值为 . 四、考点扫描 考点一 椭圆的定义及应用 例1（1）已知一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，则动 圆圆心M的轨迹方程为( ) A．＋＝1 B．－＝1 C．＋＝1 D．－＝1 （2）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 （3）（2025·广东惠州市模拟）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 规律方法： 对点训练（1）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）(2025·陕西西安交通大学附属中学期末)已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为 . 考点二 求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，且过点(，－)； （2）焦点在坐标轴上，且过A(，－2)和B(－2，1)两点； （3）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，满足的动点P的轨迹方程． 规律方法： 对点训练 （1）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） （2）（2025·广东揭阳市期末）过，，，四点中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 考点三 椭圆的几何性质 例3 （1）(2025·广东一模) 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. （2）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点.若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． （3）如图，设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0＜t＜b)．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2三点不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 对点训练（1）（2025·陕西铜川市模拟）已知是椭圆的左、右焦点.若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知椭圆C的一个焦点为F（0，1），椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为　 　；若P为椭圆C上一动点，点M（3，3），则PM﹣PF的最小值为　 　． （3）（多选题）（2025·山东实验中学模拟）设椭圆C：＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的有(　 　) A．离心率e＝ B．||的最大值为3 C．△PF1F2面积的最大值为2 D．|＋|的最小值为2 课时5 椭圆的方程与性质参考答案 二、知识梳理 1. （1）常数 焦点 2． 坐标轴 原点 【拓展知识】 2. （1）点P的位置为短轴端点时 （3） (4) 3. 4 a 三、基础回顾 1．（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√ 2. B【解析】 由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为.由题意，，，所以，，，.所以椭圆方程为.当椭圆焦点在轴上时，同理可得.故选B. 3．AC 【解析】 椭圆的焦点在轴上，，则短轴长为，A正确. 的坐标为，B错误. 离心率为，C正确. 因为，故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，故不存在点P，使得，D错误.故选AC. 4. 【解析】在椭圆中，，，，则,.连接， 所以 (当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立)，故的最小值为. 四、考点扫描 例1（1）A【解析】方法一：设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆O1相外切时，有O1M＝R＋2 ①， 当动圆与圆O2相内切时，有O2M＝10－R ②. 将①②两式相加，得O1M＋O2M＝12＞O1O2，所以动圆圆心M(x，y)到点O1(－3，0)和O2(3，0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点O1(－3，0)，O2(3，0)，长轴长等于12的椭圆．所以2c＝6，2a＝12，所以c＝3，a＝6，所以b2＝36－9＝27．所以圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆． 方法二：由方法一可得方程＋＝12，移项再两边分别平方得2＝12＋x，两边再平方得3x2＋4y2－108＝0，整理得＋＝1．所以圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．故选A. （2）D【解析】若表示椭圆，则有，解得或.故选D. （3）C【解析】椭圆的方程为，则，，，连接，， 则由椭圆的中心对称性可知OA=OB=OF1=OF2，可知为平行四边形，则BF2=AF1，可得的周长为AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=2a+AB，当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，所以周长为．故选C. 对点训练（1）C【解析】因为方程表示椭圆，所以，解得或．故选C. （2）【解析】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为. 例2【解】（1）根据题意，已知椭圆的两个焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，则椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.又由椭圆经过点，则2a＝＝2，则a＝，b2＝a2－c2＝6．则椭圆的标准方程为＋＝1． （2）依题意，可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0,），又由椭圆经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则有，解得m＝，n＝，则椭圆的方程为＋＝1． （3）设.因为，所以.因为，所以，所以，所以，整理得．即. 对点训练 （1）A【解析】设点，则.因为为的中点，所以，即.又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选A. （2） 或（写一个即可）；2【解析】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况．设椭圆方程为（，，）．当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆的方程为．同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得，得.该椭圆的方程为．故答案为：或（写一个即可）；. 例3（1）A【解析】因为PF1=3PF2，由椭圆的定义可得PF1+PF2=4PF2=2a，所以，， 因为,由余弦定理可得，所以，整理可得，所以，即.故选A. （2）D【解析】由，结合题设有，，由，则，化简得，故的长轴长与焦距的比值为.故选D. （3）D【解析】如图，连接EF1，F1P，易知EF1＝EF2， △PEF2的周长为PE＋PF2＋EF2＝PE＋2a－PF1＋EF2＝2a＋EF2＋PE－PF1≥2a＋EF2－EF1＝2a＝3b，所以e＝＝＝＝.故选D． 对点训练（1）C【解析】如图，延长，交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，，当分别位于的左、右顶点时，有最大值，又因为不重合，所以，即，解得，所以的离心率的取值范围是．故选C． （2）；1【解析】因为椭圆C的一个焦点为F（0，1），所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1．因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a﹣c＝1，得a＝2．因为b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程为．设椭圆C的另一个焦点为F'，则PF+PF'＝4，所以PM﹣PF＝PM+PF'﹣4．当F'，P，M三点共线时，PM+PF'取得最小值，且最小值为，所以PM﹣PF的最小值为1． （3）AD 【解析】 由题意，得a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝，故A正确； 不妨令F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)，所以＝(－x，－y)，所以||2＝ (x－)2＋y2＝(x－)2＋1－＝－2x＋4＝，因为－2≤x≤2，所以 当x＝－2时，(||2)max＝7＋4，即||max＝2＋，故B错误； 因为S＝|y|·2c＝|y|×2＝|y|，－1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，(S)max＝×1＝，故C错误； |＋|＝2||＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤|＋|≤4，故D正确．故选AD. . 学科网（北京）股份有限公司 $