2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时4 直线和圆、圆和圆的位置关系

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，按课标要求梳理位置判断、切线方程、弦长计算等知识模块，构建“几何直观-代数运算-实际应用”的逻辑体系。通过知识梳理夯实基础，考点扫描（含例题精讲、规律方法、对点训练）突破重点，真题演练对接高考，形成系统性复习闭环。 讲义突出数学思维与模型观念培养，如在圆的切线问题中，通过过圆上/外点的切线方程推导，引导学生感悟代数方法处理几何问题的思想。设置基础回顾（判断正误、选择填空）与分层训练（考点对点训练），配合详细解析与规律总结，帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时4 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、课标要求 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 二、知识梳理 1．直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)． 位置 关系 几何观点：圆心距d与r1，r2的关系 方程观点：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 外切 相交 内切 内含 3．（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 ； （2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 ； （3）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 ； （4）过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线（切点弦）方程为 ． 【拓展知识】 1．（1）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的切线MP，则切线长MP＝ ； （2）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的切线MP，则切线长MP＝ ． 2．直线被圆截得的弦长 弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，则有l＝ ． 3．两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①. 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②. 由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0． （1）若两圆相交，则有一条公共弦，此直线方程为其公共弦所在直线方程； （2）若两圆相外切（内切），则有一条公切线，此直线方程为其内公切线（外公切线）所在直线方程； （3）若两圆相离，则此直线垂直于圆心连线． 统一性质：无论两圆什么位置关系，此直线上任一点到两圆的切线长相等． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若一条直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切． ( 　) （2）若两圆没有公共点，则两圆相离． (　　) （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　) （4）过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则C，A，P，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． ( ) 2．已知过点A(1，1)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为( ) A．3x－4y＋1＝0 B．3x＋4y－7＝0 C．3x－4y＋1＝0或x＝1 D．3x＋4y－7＝0或y＝1 3．（多选题）已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的有(　 　) A．圆C1与圆C2相交 B．圆C1与圆C2外切 C．两圆的圆心距为5 D．两圆的圆心距为3 4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 . 四、考点扫描 考点一 直线与圆的位置关系 例1（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 （2）（2025·新高考Ⅰ卷）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 (1)(2025·广东深圳市质检)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是(　 　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 (2)设M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 考点二 圆的弦长问题 例2 （1）已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长是(　 　) A．3 B．2 C．2 D．1 （2）直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则AB长的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 规律方法： 对点训练 （1）（2025·浙江金丽衢十二校联考）已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则实数 . （2）（2025·天津高考）已知直线与轴交于点，与轴交于点，与圆交于，两点，且，则　 　 ． 考点三 圆的切线问题 例3 （1）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（　　） A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0 （2）(2025·山东淄博市模拟)圆，直线.若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，且使得，则实数的取值范围是 ． 规律方法： 对点训练 （1）圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为__ __． （2）(2025·湖南长沙市联考)已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 考点四 圆与圆的位置关系 例4 （1）(2025·黑龙江齐齐哈尔市模拟)已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 （2）(2025·安徽安庆市二模) 已知圆与圆交于两点，则四边形的面积为__________. 规律方法： 对点训练 （1）已知圆和两点.若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 （2）在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________. 课时4 直线与圆、圆与圆的位置关系参考答案 二、知识梳理 1．＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 2．d＞r1＋r2 无解 d＝r1＋r2 一组实数解 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3.（1）x0x＋y0y＝r2 （2）(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 （3）x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0 （4）x0x＋y0y＝r2 【拓展知识】 1． （1） （2） 2．2 三、基础回顾 1．（1）√ （2）× （3）× （4）√ 2．C【解析】当切线l的斜率不存在即x＝1时，圆心到直线x＝1的距离等于r＝1，符合；当切线l的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝＝1，化简得4k－3＝0，所以k＝．所以l的方程为3x－4y＋1＝0．综上，切线l的方程为3x－4y＋1＝0或x＝1．故选C. 3．BC【解析】 圆C1：x2＋y2＝4，圆心为C1(0,0)，半径r＝2；圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，即(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4,3)，半径R＝3．因为C1C2＝＝5，R＋r＝5＝C1C2，所以两圆外切．故选BC. 4．10 【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径r＝，由题意，知AC⊥BD，且AC＝2，BD＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝AC·BD＝×2×2＝10. 四、考点扫描 例1 （1）B【解析】方法一：直线l：mx－y＋1－m＝0可化为m(x－1)－y＋1＝0，过定点P(1，1)，而点P(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5内，故直线与圆相交． 方法二：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交． 方法三：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜．所以直线l与圆相交．故选B. （2）B【解析】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，可得，即．故选． 对点训练 (1)A【解析】 因为直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1,1)代入圆C的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2＜9，可知点(－1,1)在圆C内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A. （2）C【解析】由题意知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则0<x＋y<1，而圆x2＋y2＝1的圆心到直线x0x＋y0y＝1的距离d＝>1＝r，故直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为相离．故选C. 例2 （1）B【解析】 由题意知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，则AB＝2＝2．故选B. （2）C【解析】圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，所以直线l过定点P(1,1).又12＋12＝2<4，所以点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长AB最小，因为CP＝＝，所以弦长AB的最小值为2＝2.故选C. 对点训练 （1）【解析】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若AB=4，则圆心到直线即的距离.又由圆心到直线的距离，则有，解可得：. （2）2【解析】因为与轴交于点，与轴交于点，所以，，所以AB=6.因为AB=3CD，所以CD=2.因为与圆交于，两点，且圆心到直线的距离为， 所以，解得． 例3（1）C【解析】因为点A（1，2）在圆C：x2+y2＝5上，所以圆心C与点A的连线与过A点的圆的切线垂直.又，所以切线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．故选C． （2）或【解析】由可得，由OA=1可得OP=2，所以点P在以O为圆心，为半径的圆上，其方程为．又点在直线上，故直线与圆有公共点，所以，解得，所以或． 对点训练 （1）x－y＋2＝0【解析】圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，所以过点P的半径的斜率为－，所以过点P的切线的斜率为，所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0． （2）或【解析】由题，所以时，最大.由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时PC=r=.又点P在直线上，所以设点，则，解得或，所以点P的坐标为或. 例4 （1）A【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，故，所以两圆内含.故选A. （2）9【解析】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径，将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：到距离为，所以，即AB=3，又，所以四边形的面积. 对点训练 （1）C【解析】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点.所以，即.所以又，所以，所以的最小值为.故选C. （2） 【解析】圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即≤2，解得0≤k≤，即k的最大值为. . 学科网（北京）股份有限公司 $