第八章 课时2 两条直线的位置关系讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦“两条直线的位置关系”高考核心考点，涵盖平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式应用等课标要求，知识梳理从基础斜率关系到拓展充要条件，构建完整知识体系。通过基础回顾巩固易错点，考点扫描分题型精讲例题、总结规律方法、设置对点训练，形成“梳理-巩固-突破”的系统复习流程。 讲义突出数学思维与运算能力培养，如对称问题教学中，通过点关于直线对称的坐标推导、直线对称的交点与对称点法，引导学生逻辑推理。设置基础判断、选择填空及综合解答题分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

课时2 两条直线的位置关系 一、课标要求 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3．探索并掌握平面内两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 二、知识梳理 1．两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ ．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为 ． 2．两条直线垂直 若两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ ． 3． 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的 就是方程组的解. （1）若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是 ； （2）若方程组无解，则两条直线 ，此时两条直线 ，反之，亦成立． 4．点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 5．两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 【拓展知识】 1．两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是 ． 2．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是 ． 3．常见直线系方程 （1）定点直线系方程：过定点P0(x0，y0)的直线系方程为 和 ，或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0． （2）平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为 ． （3）垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为 ． （4）共点直线系方程：过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为 ，但不包括 ． 三、基础回顾 1. 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若两直线平行，则它们的斜率相等． (　　) （2）若两直线垂直，则它们的斜率之积为． (　　) （3）“”是“直线与互相垂直”的充要条件． (　　) （4） 已知直线.若，则或. （ ） 2．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　 　) A． B．2－ C．－1 D．＋1 3．（多选题）已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标可以为(　 　) A．(1，2) B．(2，1) C．(2，－1) D．(－2，1) 4．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为 ． 四、考点扫描 考点一 两条直线的平行与垂直 例1 求满足下列条件的直线方程. （1） 过点，且与直线平行； （2） 过点，且平行于过和两点的直线； （3） 过点，且与直线垂直. 例2 （1） 若直线x＋(1＋m)y－2＝0和直线mx＋2y＋8＝0平行，则m＝(　 　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ （2）（2025·江苏扬州市高邮市期末联考）已知直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，则a＝(　 　) A．3 B．1或－3 C．－1 D．3或－1 规律方法： 对点训练（1）已知直线.若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 （2）已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0.若l1⊥l2，则m＝_ __；若l1∥l2，则m＝__ __． 考点二 两直线的交点及距离问题 例3 （1）（多选题）已知平面内一点M(5,0)，若直线上存在点P，使得PM＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的为(　 　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋10 （2）在x轴上求一点P，使得以A(1,2)，B(3,4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为__ __． 规律方法：  对点训练 已知直线(1－a)x＋(1＋a)y＋3a－3＝0(a∈R)． (1)求证：直线过定点，并求出定点P的坐标； (2)过点P有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被P平分，求直线l的方程． 考点三 对称问题 例4 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： （1） 点A关于直线l的对称点A′的坐标； （2） 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； （3）直线l关于点A(－1，－2)的对称直线l′的方程． 规律方法： 对点训练 （1）(2025·黑龙江牡丹江市模拟)已知直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 （2）(2025·湖北八市联考)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若||＝，则k的值为(　 　) A． B． C． D．2 课时2 两条直线的位置关系参考答案 二、知识梳理 1． 平行 2． 3． 交点坐标 （1）相交 交点坐标 （2）无公共点 平行 【拓展知识】 1． A1B2－A2B1＝0 2． A1A2＋B1B2＝0 3．（1） y－y0＝k(x－x0) x＝x0 （2） Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C) （3） Bx－Ay＋m＝0(m∈R) （4） A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R) l2 三、基础回顾 1. （1）×【解析】如果两条直线都垂直x轴，这两条直线也平行，但这两条直线的斜率都不存在，故错误. （2）×【解析】若一条直线斜率为0，一条直线垂直x轴，则这两条直线垂直，故错误． （3）×【解析】当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误. （4） ×【解析】若，则，解得或. 经检验，当时，两直线重合，故舍去，故，故错误. 2、C【解析】 由题意，知＝1，a＞0，解得a＝－1．故选C. 3．AC【解析】设P(x0，y0)，则解得或所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1).故选AC. 4．－12【解析】由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0，所以p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，解得n＝－12. 四、考点扫描 例1 【解】（1）因为所求直线与直线平行，设方程为.又过点，所以,得,所以，所求直线方程为. （2）由题意，,所以所求直线方程为即. （3）因为所求直线与直线垂直，所以其斜率为，所求直线方程为，即. 例2（1）C【解析】 因为直线x＋(1＋m)y＝2和直线mx＋2y＋8＝0平行，所以1×2－(1＋m)m＝0，解得m＝1或m＝－2，经检验都符合题意．故选C. （2）D【解析】 因为直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，所以a2－(2a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝3．故选D. 对点训练（1）B【解析】因为直线，且，则，所以.故选B. （2）3或－2；【解析】 因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2.若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意． 例3 （1）BC【解析】　设点M到直线的距离为d，对于选项A，d＝＝3＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意； 对于选项B，d＝2＜4，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意； 对于选项C，d＝＝4，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意； 对于选项D，d＝＝4＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故D不符合题意．故选BC. （2）(9,0)或(－11,0)【解析】 设P(a,0)，因为kAB＝＝1，则直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，所以点P(a,0)到直线AB的距离d＝．又|AB|＝＝2，所以S△PAB＝×AB×d＝×＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P的坐标为(9,0)或(－11,0)．  对点训练 (1)【证明】将直线l的方程改写为，令，且，两式联立，解得，，所以直线过定点. (2)【解】如图， 设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被P(3,0)平分，设点A，B的坐标分别是，，则有，.又A，B两点分别在直线，上，所以，，由以上四个式子解得，，即，所以直线AB的方程为. 例4 【解】（1）设A′(x，y)，由已知得解得，所以 A′. （2）在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′.设m与l的交点为N，则由解得N(4，3)．因为 m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. （3）设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．因为 P′在直线l上，所以 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 对点训练 （1）C【解析】直线y＝x与直线x＝1交于点A，所以直线l的斜率为－且过点A，所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选C. （2）B【解析】　如图，设点O关于直线l的对称点为A(x1，y1)，则解得即A(1,1)．由题意知y＝kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠－1．联立得即P，故直线AP的斜率为kAP＝＝，直线AP的方程为y－1＝(x－1)．令y＝0，得x＝1－k，故M(1－k,0)．令x＝0，得y＝1－，故由对称性可得N．由||＝得(1－k)2＋2＝，即2－2＝，解得k＋＝或k＋＝－．当k＋＝时，k＝或k＝．若k＝，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件；若k＝，经检验符合条件；又k＋≥2或k＋≤－2，故k＋＝－不符合条件．综上，k＝．故选B. . 学科网（北京）股份有限公司 $