第八章 课时10 圆锥曲线中最值范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线最值范围问题，涵盖弦长面积最值、离心率范围等核心考点，按课标要求构建知识体系，通过基础回顾、考点扫描、拓展延伸等环节，结合消元换元、数形结合等方法指导，帮助学生系统突破难点。 讲义突出高考命题规律，采用“设参-联立-消元-韦达定理”解题模式，设计分层练习与真题模拟，如例1面积最值通过函数求导突破，例2范围问题结合方程思想培养数学思维。注重几何直观与逻辑推理，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

课时10 圆锥曲线中最值范围问题 一、课标要求 1．会求解弦长、面积等几何特征量的最值． 2．理解函数与方程、数形结合、分类讨论及转化与化归思想． 二、知识梳理 解析几何中的最值范围问题： 1. 解决方法有：消元、换元、主元法，整体代换，等价替换，齐次变换，先猜后证，向量法，投影法，点差法等方法．还经常运用平面几何性质简化运算． 2. 解题模式为：设参→联立→消元→韦达定理→整体代入→求参(→用参)． 3. 解题过程中，用到斜率时要注意斜率不存在或斜率为零情况的讨论，不要遗漏特殊情形，不全会可以求特例，结果也很重要． 三、基础回顾 1. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且PF1＝3PF2，则该双曲线离心率e的最大值为________. 2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，若椭圆C上存在异于A的点P使得PF⊥PA，则椭圆C的离心率e的取值范围是________. 3、已知双曲线Γ：x2－＝1(b>0)，左、右顶点分别为A1，A2，过点M(－2,0)的直线l交双曲线Γ于P，Q两点．若b＝，△MA2P是等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标． 四、考点扫描 考点一 最值问题 例1 已知椭圆＋y2＝1与抛物线y2＝8x有相同的焦点F． (1) 求椭圆的方程； (2) 已知O为坐标原点，过焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，求△OMN面积的最大值． 规律方法： 对点训练 （2025·河南新乡市模拟）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2． (1) 求抛物线C的方程： (2) 过C上一动点P作圆M：(x－4)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值． 考点二 范围问题 例2(2025·河南商洛市模拟节选)已知双曲线x2-=1，直线l：y=kx+m(km≠0)与双曲线交于P，Q两点，点.若B1P=B1Q，求实数m的取值范围. 规律方法： 对点训练 （2024·天津卷）已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B,O为坐标原点，C是线段的中点，其中． （1）求椭圆方程． （2）过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在y轴上是否存在点T，使得恒成立？若存在，求点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 拓展与延伸19 离心率的最值范围问题 一考情分析 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 二、知识梳理 椭圆与双曲线的离心率的求法： 1．直接法：找出基本量关系． 2．点代入法：将曲线上点的坐标用a，b，c表示，代入方程． 3．第二定义法：将焦半径关系转化为到准线距离． 例如，如图，若AF2＝λF2B，cosα＝，α，λ，e知二求一． 4．化等式为不等式：利用全域思想求解范围． 三、考点扫描 考点一 根据椭圆和双曲线的定义求解 例1（1）(2025·四川德阳市模拟)已知椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且PF1·PF2最大值的取值范围是[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. （2）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围是__________． 规律方法： 对点训练 已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．则当cos∠F1AB最小时，则椭圆C的离心率为__________． 考点二 根据椭圆和双曲线的几何性质求解 例2（1）(2025·陕西西安市铁一中学模拟)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝5PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A. B. C.2 D. （2）已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若PF1＋QF2≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 规律方法： 对点训练 （1）(2025·陕西西安市模拟)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上.若对所有的点P，均满足PF1＋PF2≥4a－4b，则E的离心率的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B. C. D. （2）已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于坐标原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF.设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率的最小值为 . 考点三 根据几何图形的性质求解 例3 （1）已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. （2）(2025·山东烟台市第一中学期末)已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e的取值范围是(　　) A.[，＋∞) B.(，＋∞) C.(1，) D.(1，] 规律方法：　 对点训练 （1）设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点.若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. （2） 设过坐标原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点.若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，7) C．(2,7) D．(2，) 巩固提升 1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2．(2025·湖南长沙市第一中学期末)若双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围是(　　) A. B. C.(1，2) D.(1，2] 3．(2025·山东实验中学模拟) 已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D．2 4．（多选题）已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则有(　　) A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B．双曲线C的离心率的最大值是 C．若·>0，则双曲线C的离心率的取值范围是 D．若＝，则双曲线C的离心率为 5．(2025·安徽六安市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且OM 2＝OP·OQ.若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围是________． 课时10 圆锥曲线中最值范围问题参考答案 三、基础回顾 1. 2　【解析】设F1，F2分别是左、右焦点，则点P为右支上一点．依据双曲线定义知PF1－PF2＝2a，则3PF2－PF2＝2a，则a＝PF2≥c－a，所以2a≥c，所以e＝≤2，e的最大值为2. 2. 【解析】设点P(x，y)．由∠APF＝90°知，点P在以FA为直径的圆上．圆的方程是2＋y2＝2，即y2＝(a－c)x－x2＋ac ①， 又点P在椭圆上，故＋＝1 ②. 把①代入②，得(a2－b2)x2－a2(a－c)x＋a2b2－a3c＝0.故(x－a)[(a2－b2)x－ab2＋a2c]＝0， 因为x≠a，所以x＝.又－c<x<a，所以－c<<a，所以2ab2<a2c＋a3，即2a(a2－c2)<a2c＋a3，两边同时除以a3，整理得22＋－1>0，即2e2＋e－1>0，解得e>或e<－1，又0<e<1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是e∈. 3. 【解】当b＝时，双曲线Γ：x2－＝1，则A1(－1,0)，A2(1,0)．因为△MA2P是等腰三角形，所以当以MA2为底时，点P在直线x＝－上，与点P在第一象限矛盾，舍去；当以A2P为底时，MP＝MA2，这与MP>MA2矛盾，舍去；当以MP为底时(如图)，A2P＝MA2＝3，设P(x0，y0)(x＞0,y＞0)，则由A2P＝3得(x0－1)2＋y＝9， 又x－＝1，得(x0－1)2＋(x－1)＝9，整理得11x－6x0－32＝0，解得x0＝2（负舍），y0＝2，即P(2,2)． 四、考点扫描 例1 【解】（1）因为椭圆＋y2＝1与抛物线y2＝8x有相同的焦点F，所以F(2,0)，即c＝2，且b＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，所以椭圆的方程为＋y2＝1． （2）由(1)知F(2,0)．显然l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立可得(m2＋5)y2＋4my－1＝0，Δ＝(4m)2＋4(m2＋5)＝20m2＋20＞0恒成立，所以y1＋y2＝－，y1y2＝，所以|y1－y2|＝＝＝，所以S△OMN＝|OF|·|y1－y2|＝×2×＝＝≤＝，当且仅当＝，即m2＝3时取等号，所以△OMN面积的最大值为． 对点训练 【解】 （1）因为C的焦点为，准线为x＝－，由题意得＋＝2，即p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x． （2） 圆M的圆心为M(4,0)，半径为1．由条件可知PA⊥AM，PB⊥BM，且Rt△PAM≌Rt△PBM，于是S四边形PAMB＝2×PA×MA＝PA＝．设P，则PM2＝2＋t2＝－t2＋16＝＋12≥12，当且仅当t2＝8时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为＝． 例2 【解】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B1(0，)，线段PQ的中点为M(x0，y0).联立消去y整理可得(k2-3)x2+2kmx+m2+3=0，所以即m2-k2+3>0且k≠± ①， 所以x1+x2=，x1x2=.所以x0=，y0=kx0+m=.因为B1P=B1Q，所以B1M⊥PQ，所以===-，所以3-k2=m ②， 又k2=3-m>0 ③. 由①②③得m<-或0<m<，所以实数m的取值范围是∪. 对点训练 【解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故，故，所以，，故椭圆方程为. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为，设.由可得，故且而， 故 .因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立. 拓展与延伸19 离心率的最值范围问题 三、考点扫描 例1 （1）A【解析】由基本不等式及椭圆定义可知PF1·PF2≤＝a2，当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，所以PF1·PF2的最大值为a2.由题意知2c2≤a2≤3c2，所以c≤a≤c，所以≤e≤.故选A. （2）【解析】由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，可得AF＝＝5.因为△APF的周长不小于18，所以PA＋PF的最小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得PF＝PF2＋2a，故PA＋PF＝PA＋PF2＋2a，当A，P，F2三点共线时，PA＋PF2＋2a取最小值，最小值为AF2＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因为c＝2，所以e＝＝≤.又e>1，所以e∈. 对点训练 【解析】 如图，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c．由题意可知BF1＝BF2＝a．设AF2＝x，则AF1＝2a－x，AB＝a＋x，故cos∠F1AB＝＝＝＝－1－＝－1－，当x＝时，2－a2取最小值－a2，此时cos∠F1AB取最小值，则在△AF1F2中，AF1＝，AF2＝，则cos∠F1AF2＝cos∠F1AB＝＝，即＝，整理得a2＝3c2，故椭圆C的离心率e＝＝． 例2 （1）B【解析】根据双曲线的定义可得PF1－PF2＝2a.因为PF1＝5PF2，所以PF1＝，PF2＝.因为点P在双曲线的右支上，所以PF2≥c－a，即≥c－a，所以≥c，所以1<e＝≤， 所以双曲线的离心率e的最大值为.故选B. （2）C【解析】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知AF1＝QF2，所以PF1＋QF2＝PA，由椭圆过焦点的弦中通径最短，所以当PA垂直于x轴时，PA最短，所以b≤PAmin＝，所以ab≤2b2，即≥.又0<e<1，e＝≤，即0<e≤.故选C. 对点训练 （1）D【解析】由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2a.由PF1＋PF2≥4a－4b，可得2PF2＋2a≥4a－4b，即PF2≥a－2b.又PF2长的最小值为c－a(当点P为双曲线右顶点时取得最小值)，可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.当2a－c≤0，即≥2时，不等式显然成立；当2a－c>0，即1<<2时，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，可得≤<2.综上可知，双曲线E的离心率的取值范围是.故选D. （2）【解析】由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F1，如图所示. 因为AF⊥BF，所以四边形AF1BF为矩形，所以AB＝F1F＝2c.因为∠ABF＝α，所以AF＝2csin α，BF＝AF1＝2ccos α.由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，所以e＝＝＝.因为α∈，所以α＋∈，所以sin∈，所以e∈. 例3（1）B【解析】设P(x0，y0)，则Q.因为四边形QPF1F2为平行四边形，所以PQ＝F1F2，所以－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈(－a，a)，所以－1<<1，所以－1<2－e2－2e<1，解得－1<e<1.故选B. （2）B【解析】设直线AF1：y＝k(x＋c)，即kx－y＋kc＝0，则点F2(c，0)到直线AF1的距离为＝2a，即|k|＝<，即a2<b2，所以e＝>.故选B. 对点训练 （1）D【解析】如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2， 所以F1F2＝PF2＝2c.又QF2＝－c，且PF2≥QF2，故2c≥－c，即3c2≥a2，故e2≥.又0<e<1，所以≤e<1.故选D. （2） D 【解析】不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y＝x. 由得x＝±，且b2>3a2，所以yA＝－，yB＝.因为S△ABF＝·OF·yB－yA＝·c·＝，且S△ABF>＝ac，所以>ac，所以>，解得0<e<.又因为b2>3a2，解得e>2，所以2<e<.故选D. 四、巩固提升 1. D【解析】由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则只需∠F1BF2≥即可．当∠F1BF2＝时，△F1BF2为等边三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤.又0<e<1，故离心率e∈.故选D. 2、B【解析】因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点， 所以圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，即≤1，所以3b2≤a2，所以c2＝a2＋b2≤a2，所以1<e＝≤.故选B. 3.C【解析】不妨设PF1＝m，PF2＝n(m>n)．椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c，由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2.又在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，则a＋3a＝4c2，得＋＝4.由基本不等式得4＝＋≥2⇒e1e2≥，当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为.故选C. 4.ACD【解析】对于选项A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确. 对于选项B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知FD＝b，因为圆F与直线l相交，所以b<a，又c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，又e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，).故选项B错误. 对于选项C，若·>0，则0<∠AFB<，故0<∠AFD<，故<cos∠AFD<1，所以<<1，即<<1，即b<a<b，得<e2<2，所以e∈.故选项C正确. 对于选项D，因为＝，所以A为线段OB的中点，设AD＝m，则OA＝2m，OD＝3m. 在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理，得消去m2得c2＝9a2－8b2，即17a2＝9c2，所以e＝.故选项D正确．故选ACD. 5. 【解析】设直线OP的方程为y＝x.由解得即点M，设点Q(λa，λb)，其中λ∈.由OM2＝OP·OQ得＝·λ，解得λ＝，故Q，则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0.由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，得<，故a4－b4－a2b2>0，即b4<a2(a2－b2).因为a2－b2＝c2，所以(a2－c2)2<a2c2，即a2－c2<ac，即1－e2<e.又因为0<e<1，所以<e<1. . 学科网（北京）股份有限公司 $