2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时8 直线与圆锥曲线的位置关系

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆锥曲线位置关系核心考点，涵盖位置判断、弦长计算、焦点弦性质及斜率相关结论，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描-拓展延伸-巩固提升逻辑架构，通过考点梳理、例题精讲、规律总结、分层训练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解析几何难点。 资料突出二级结论整合与分层教学创新，提炼中点弦斜率关系、周角定理等结论，采用“考点解析-真题示例-方法归纳-对点训练”流程，培养学生数学思维与符号表达能力。例如焦点弦问题结合定义与韦达定理快速求解，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

课时8 直线与圆锥曲线的位置关系 一、课标要求 1．掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法． 2．理解数形结合思想． 3．了解圆锥曲线的简单应用． 二、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 （1）直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线有 个公共点；相切时，直线与圆锥曲线有 个公共点；相交时，直线与椭圆有 个 公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究： 设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0．联立方程组，消元，若消去y后得ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时： ①△＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线 ． ②△＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线 ． ③△＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线 ． （2）注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对于圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线． 当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 ． （3）直线方程设计斜率k，要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题（已知直线上的两点距离） 设直线l：y＝kx＋m，l上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 所以AB＝ ＝ ， 或AB＝ ＝ ． 3．直线方程的形式（直线的方程可设为两种形式） （1）斜截式：y＝kx＋m，此直线不能表示竖直线．联立方程若消去y，则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件. （2）x＝my＋b，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线．经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线y2＝2px（消元后的二次方程形式简单）．此直线不能直接体现斜率，当m≠0时，斜率k＝． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交． (　 　) （2）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点． (　 　) （3）直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切． (　 　) （4）过点(2，4)的直线中，只有1条与椭圆＋y2＝1相切． ( 　) 2．若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3、（多选题）已知双曲线C：－y2＝1（a＞0），若圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线C的渐近线 相切，则下列结论正确的有( ) A．双曲线C的实轴长为6 B．双曲线C的离心率e＝ C．P为C上一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2＝ D．直线y＝k1x＋m与C交于A，B两点，D为弦AB的中点，若直线OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2＝ 4．已知过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l，与椭圆C交于A，B两点，则AB＝　 　，＝　 　． 四、考点扫描 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 例1 （1）(2025·江苏如皋中学月考)已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 （2）（2024·北京卷）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________． 规律方法： 对点训练 （1）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 （2）已知直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为(　　) A．5 B. C. D. 考点二 弦长问题 例2 （2025·新高考Ⅱ卷） 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，为坐标原点，若的面积为，求的长． 规律方法： 对点训练 （2025·海南模拟）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的长. 考点三 焦点弦问题 例3 （1）(2025·河南郑州市模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l，交双曲线左支于P，Q两点.若PQ＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　 　) A. 12 B. 14 C. 20 D. 24 （2）（多选题）（2025·山东德州市统考）已知点O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，焦点为F，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 例4 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△F2MN的周长为8.求： (1) 椭圆C的标准方程； (2) △F2MN内切圆半径的最大值. 对点训练 （1）过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l，交C于M，N两点.若线段MN中点的纵坐标为2，则MN＝(　 　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 （2）(2025·云南曲靖市模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2的直线l与C的右支分别交于A，B两点，且AB＝3BF2，2OB＝F1F2(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为__ __． 拓展与延伸18 与斜率有关的常用结论 一、考情分析 与斜率有关的结论是解析几何的核心命题点，贯穿于选择题和解答题中.高考主要考查利用斜率关系证明定点定值、判断位置关系以及处理综合问题. 二、知识梳理 圆锥曲线中常见的二级结论 1. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则＋＝1． 2. 焦点弦问题 (1) 若倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆＋＝1(a＞b＞0)或与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，则|AB|＝； (2) 若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则＋＝； (3) 已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为θ，＝λ，则曲线的离心率满足等式|ecosθ|＝． 3. 切线问题 (1) 若P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，则点P处的切线方程是＋＝1；若P(x0，y0)是椭圆＋＝1外一点，过点P作两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程是＋＝1． (2) 若P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(x2＝2py)上一点，则点P处的切线方程为yy0＝p(x＋x0)(xx0＝p(y＋y0))；若P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(x2＝2py)外一点，过点P作两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程是yy0＝p(x＋x0)(xx0＝p(y＋y0))． 4. 双曲线焦点三角形的内切圆 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，左、右焦点分别是F1，F2，MN是右支上的焦点弦，则： (1) △MF1F2的内切圆圆心在直线x＝a上(切于右顶点)； (2) △MNF1的内切圆圆心在直线x＝上． 注：MN是左支上的焦点弦时，则分别是x＝－a和x＝－． 三、考点扫描 考点一 周角定理 A，B，C是椭圆（a>b>0）上三点，若A，B关于坐标原点对称，且均存在，则.双曲线（a>0，b>0）中，. 例1（1）已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　) A. B. C. D. （2）已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM交于点M，且它们的斜率之积为2.则动点M的轨迹方程为 . 对点训练 (1)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　 　) A． B． C． D． 考点二 中点弦性质 椭圆（a>b>0）的弦AB的中点为M，若存在，则； 双曲线（a>0 ,b>0）的弦AB的中点为M，若存在，则. 例2 (1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　 　) A． B． C． D． (2)设A，B为双曲线上两点.下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 对点训练 (2025·河北衡水市模拟)已知双曲线方程是，过定点作直线，交双曲线于两点，且使得为的中点，则此直线方程是 ． 考点三 手电筒模型 设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为. （1） 若，则有；若，则直线过定点. （2） 若，则有；若，则直线过定点. 例3 已知椭圆，设直线不过点，且与相交于两点.若直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 例4 已知抛物线C：，点A的横坐标为1. 过点A作抛物线C的两条动弦AD，AE，且AD，AE的斜率满足则直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由. 巩固提升 1．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，直线l：与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 3、已知过原点O的直线MN与双曲线C：－＝1交于M，N两点，P是双曲线C上异于M，N的点，若直线PM，PN的斜率之积kPM·kPN＝，则双曲线C的离心率e＝(　 　) A． B． C． D．2 4．(2025·湖北七市州联合测试)椭圆与直线交于M，N两点，连接坐标原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知点在双曲线上，直线交于，两点，且直线，的斜率之和为0．求的斜率. 课时8 直线与圆锥曲线的位置关系参考答案 二、知识梳理 1．（1）0 1 2 ①相交 ②相切 ③相离 （2）平行 平行 2.|x1－x2| |y1－y2| 三、基础回顾 1．（1）× （2）√ （3）√ （5）× 2．D【解析】联立方程组，整理得，设方程的两根为.因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得, 所以的取值范围是.故选D. 3. BCD【解析】由题意知C的渐近线方程为x±ay＝0，所以＝1，解得a＝，所以双曲线实轴长为2a＝2，A错误； 所以半焦距c＝2，所以e＝＝＝，B正确； 设P(x0，y0)，所以d1＝，d2＝，所以d1d2＝·＝＝，C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝1，，两式相减，得－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以－(y1＋y2)·＝0，－(y1＋y2)·k1＝0，所以·－·2k1＝0，所以xD－yD·2k1＝0，所以－·2k1＝0，所以－k2·2k1＝0，所以k1k2＝．D正确.故选BCD． 4．；【解析】由椭圆C：＋＝1，焦点在x轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，左焦点为(－1，0)．则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为y＝(x＋1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以整理得5x2＋8x＝0，则x1＋x2＝－，x1·x2＝0.又y1y2＝(x1＋1)·(x2＋1)＝3x1x2＋3(x1＋x2)＋3＝－.根据弦长公式得AB＝·＝．AF×BF＝＝＝|y1y2|＝，所以 四、考点扫描 例1 （1）D【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线斜率时，易知满足条件；当直线斜率存在且时，设直线方程为，由，整理得到，由，解得.综上所述：满足条件的直线有条.故选D. （2）【解析】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为，联立，化简并整理得.由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意. 对点训练 （1）A【解析】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.因为，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选A. （2）　D【解析】因为直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，联立可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0.所以①直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)的渐近线平行，则可知4b2－a2＝0⇒＝，则双曲线C的离心率e＝＝. ②直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)相切，所以化简得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意．所以双曲线C的离心率为.故选D. 例2【解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为. （2）由题设，直线的斜率不为0，故设直线，.由可得， 故，即， 且， 故， 解得， 故. 对点训练 【解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得.又因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，. 由题可得过点且斜率为的直线方程为，即，联立，消去可得，所以，，所以. 例3（1）D 【解析】 由题得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.因为PF1＋QF1＝PQ＝10，所以 PF2＋QF2－10＝4，即PF2＋QF2＝14.所以△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝14＋10＝24.故选D. （2）AC【解析】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然，设，可得.对于选项A，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于选项B，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于选项C，由，可得，由抛物线定义，可得，则，所以C正确； 对于选项D，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误.故选AC. 例4【解】（1）由椭圆的焦距为2，得c＝.又F1M＋F2M＝F1N＋F2N＝2a，所以F2M＋F2N＋MN＝F1M＋F2M＋F1N＋F2N＝4a＝8，则a＝2，所以b＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）设l：x＝my－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m2＋4)y2－2my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，△F2MN的面积S＝F1F2·|y1－y2|＝＝≤2，当且仅当m＝±时等号成立. 设△F2MN内切圆的半径为r，则△F2MN的面积S=×4a×r＝4r，故r＝≤，即△F2MN内切圆半径的最大值为. 对点训练 （1）C【解析】 由题知焦点为(1，0)，设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得y2－4my－4＝0，Δ＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.又＝2m＝2，所以m＝1，y1＋y2＝4，故MN＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝8.故选C. （2）【解析】方法一：如图，连接AF1，BF1．因为2OB＝F1F2，所以BF1⊥BF2．设BF2＝t，因为AB＝3BF2，所以AF2＝2t．因为＋＝，所以t＝．由双曲线定义可得BF1－BF2＝2a，又BF2＝，所以BF1＝2a＋．由勾股定理可得BF12＋BF22＝F1F22，即2＋2＝4c2，整理得17a2＝9c2，所以C的离心率为． 方法二：由2OB＝F1F2，知∠F1BF2＝90°．设BF2＝t，则AF2＝2t，BF1＝2a＋t，AF1＝2a＋2t．在△BF1F2和△BF1A中，由勾股定理得由②得t＝，代入①得9c2＝17a2，从而可得e＝． 方法三：设B(x0，y0)，则A(3c－2x0，－2y0)，所以有可得x0＝，所以·－b2＝c2，则(3c2＋a2)2＝16a2(2c2－a2)，即9c4－26a2c2＋17a4＝0，(9c2－17a2)(a2－c2)＝0，所以9c2－17a2＝0，从而e＝＝． 拓展与延伸18 与斜率有关的常用结论 三、考点扫描 例1（1）　D 【解析】由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－，由椭圆的离心率的取值范围是，即<e<⇔<<⇔<<，所以<<⇒－<－<－，即－<kMAkMB<－.故选D. （2）2x2-y2＝2(x≠±1)【解析】设M(x，y)．因为kAM·kBM＝2，所以·＝2(x≠±1)，化简得2x2-y2＝2(x≠±1)．即点M的轨迹方程为2x2-y2＝2(x≠±1)． 对点训练 (1) B【解析】由椭圆的标准方程，求出左、右顶点分别为，设，则①. 而，则.将①式代入得，因为，所以，解得. 故选B. （2）A【解析】方法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)．由kAP·kAQ＝，A(－a,0)，得·＝＝．由＋＝1，得y＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝．故选A. 方法二(运用性质)：设右顶点为B，连接PB．由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kPA·kPB＝kPA·(－kAQ)＝－．由椭圆的第三定义得kPA·kPB＝e2－1＝－，所以e＝．故选A. 例2 (1) C【解析】　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．因为AB的中点为M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，易知直线AB的斜率k＝＝1．由两式相减得＋＝0，所以＝－·，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝．故选C. (2)D【解析】设，则的中点，可得.因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A，可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B，可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C，可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确.故选D. 对点训练 【解析】设得，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.由题得，设所以， 两式相减得，由题得，所以.因为，所以，所以直线的方程为即.且此直线与双曲线有两个交点. 例3【证明】设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为，.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而.由题设，，故.即，解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，） 例4 【解】易知，设，DE方程为 ，把DE方程代入C，并整理得，.由及得，所以，代入DE方程得：，即 故直线DE过定点 四、巩固提升 1.A【解析】因为x＋4y＋m＝0，所以y＝－x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减，得＝－＝－.因为AB中点的横坐标为1，所以纵坐标为， 将代入直线y＝－x－，解得m＝－2.故选A. 2.D【解析】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为S（x0，y0），联立方程组两式相减可得b2（）＝a2（），可得b2（x1﹣x2）（x1+x2）＝a2（y1﹣y2）（y1+y2），可得2b2（x1﹣x2）x0＝2a2（y1﹣y2）y0，所以kMN，即①. 由kMN • kST＝﹣1，可得②. 由①②可得x0，y0＝5b，即S，又S在直线l上，所以5＝1，解得e．故选D． 3、A【解析】 方法一：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)．由kPM·kPN＝，可得·＝，即＝．又因为P(x0，y0)，M(x1，y1)均在双曲线上，所以－＝1，－＝1，作差可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为e＝＝＝．故选A. 方法二(圆周角定理)：由双曲线第三定义得kPM·kPN＝e2－1＝，又e＞1，故e＝．故选A. 4、A【解析】设，则，两式相减得.由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知，故，即，设线段中点为，则，而，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即，故，即.故选A. 5.【解】将点代入双曲线方程得，化简得，所以，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得，故，， ， 化简得， 故，即，而直线不过点，故. . 学科网（北京）股份有限公司 $