第八章 进阶篇 进阶3 平面解析几何最值与范围问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中的最值与范围核心考点，整合函数、不等式、几何性质等模块知识，按考向预测、方法解读、题型突破、分层训练的逻辑架构展开，通过考点梳理明确命题规律，方法指导提炼几何法与代数法策略，真题训练强化解题能力，帮助学生系统突破难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如题型一通过椭圆中动态点P的直线交椭圆问题，引导学生用代数法构建面积目标函数，结合函数单调性求最值，渗透转化思想。设置跟踪训练与限时训练分层练习，配合临界分析与参数讨论指导，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生运算求解与问题转化的应考能力。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶3　最值与范围问题 【高考考向预测】 最值与范围问题贯穿函数、数列、不等式、解析几何、导数等多个模块，常借助函数单调性、基本不等式、导数、几何性质、变量代换等方法求解，侧重不等关系构建与临界分析；近三年为高考高频热点，选填、解答题均重点考查，综合性强；预测2027 年将继续结合多知识点综合设问，强化动态变量、参数分类讨论以及实际情境应用，侧重思维转化与运算求解能力。 重点解读　解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法： (1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解； (2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围. 常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性. 【题型突破●明方向】 题型一　最值问题 例1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求a，b的值； (2)若P是椭圆C的长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值. 跟踪训练1　(2026·哈尔滨期中)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点P(2，1)的直线l与抛物线交于A，B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)求|AF|·|BF|的最小值. 题型二　范围问题 例2　已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线-y2=1的渐近线的距离是. (1)求p的值； (2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与E的准线l交于点P，且线段AB的中点为M，设|PM|=λ|AB|，求实数λ的取值范围. 跟踪训练2　已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2，0)，O为坐标原点，过点F的直线l交E于M，N两点，当l与x轴垂直时，|MN|=2. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l的斜率存在且不为0，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围. 【限时训练】 （40分钟） 1.(15分)(2026·南宁模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点A(0，1)，其中一个焦点在直线x+y-=0上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)若k=-1，O为坐标原点，求△OMN的面积最大时实数m的值.(10分) 2.(17分)(2026·福州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，点(-，-)在C上. (1)求双曲线C的方程及渐近线方程；(4分) (2)若直线l：y=kx+m交双曲线C的右支于M，N两点，线段MN的垂直平分线过点K(0，4). ①求k与m之间的数量关系式；(6分) ②求∠MKN的取值范围.(7分) / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶3　最值与范围问题 【高考考向预测】 最值与范围问题贯穿函数、数列、不等式、解析几何、导数等多个模块，常借助函数单调性、基本不等式、导数、几何性质、变量代换等方法求解，侧重不等关系构建与临界分析；近三年为高考高频热点，选填、解答题均重点考查，综合性强；预测2027 年将继续结合多知识点综合设问，强化动态变量、参数分类讨论以及实际情境应用，侧重思维转化与运算求解能力。 重点解读　解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法： (1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解； (2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围. 常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性. 【题型突破●明方向】 题型一　最值问题 例1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求a，b的值； (2)若P是椭圆C的长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值. 【解析】(1)椭圆C的上顶点到焦点的距离为=a=2， 又因为离心率为==，解得c=， 所以b2=a2-c2=1，即b=1. (2)由(1)可得椭圆C的方程为+y2=1， 设P(m，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知-2≤m≤2，直线l的方程为y=x-m， 联立 化简得x2-2mx+m2-1=0，Δ>0， 则x1+x2=，x1x2=， 所以|AB|=|x1-x2| =· =·=， 点O到直线l的距离d=， 所以S△OAB=×|AB|×d=×|m|， =(5-m2)m2≤=1， 当且仅当5-m2=m2，即m=±时等号成立，且满足-2≤m≤2， 所以△OAB面积的最大值为1. 【思维升华】求解最值(范围)问题的关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题. 跟踪训练1　(2026·哈尔滨期中)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点P(2，1)的直线l与抛物线交于A，B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)求|AF|·|BF|的最小值. 【解析】(1)由题意得=1，则p=2， 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)由于直线l与抛物线交于A，B两点，则直线l不与x轴平行， 设直线l：x-2=m(y-1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得y2-4my+4m-8=0， 且Δ>0，则y1+y2=4m，y1y2=4m-8， 又|AF|=x1+=x1+1，|BF|=x2+=x2+1， 所以|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1) =(my1+3-m)(my2+3-m) =m2y1y2+(3m-m2)(y1+y2)+m2-6m+9 =m2(4m-8)+(3m-m2)·4m+m2-6m+9 =5m2-6m+9=5+≥， 所以|AF|·|BF|的最小值为，此时m=. 题型二　范围问题 例2　已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线-y2=1的渐近线的距离是. (1)求p的值； (2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与E的准线l交于点P，且线段AB的中点为M，设|PM|=λ|AB|，求实数λ的取值范围. 【解析】(1)E的焦点为F， 双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x， 不妨取y=x，即x-y=0. 由点到直线的距离公式得=，p>0，得p=2. (2)由(1)知抛物线E：y2=4x，焦点F(1，0)，准线l：x=-1. 设直线AB的方程为x=my+1， 联立 消去x并整理，得y2-4my-4=0，Δ=16(m2+1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=4m，y1y2=-4， x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2， ∴|AB|=|y1-y2|==4(1+m2). 易得M点的坐标为=(2m2+1，2m)， ∴AB的垂直平分线方程为y-2m=-m(x-2m2-1)， 令x=-1得y=2m3+4m， ∴P(-1，2m3+4m)， 从而|PM|==2(1+m2)， ∴λ==≥， ∴实数λ的取值范围为. 【思维升华】求解范围问题的常用方法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系建立不等式或函数式求解. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系. (3)利用几何条件构造不等关系. (4)利用基本不等式求出参数的取值范围. (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 跟踪训练2　已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2，0)，O为坐标原点，过点F的直线l交E于M，N两点，当l与x轴垂直时，|MN|=2. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l的斜率存在且不为0，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围. 【解析】(1)由题意知，半焦距c=2， 当l与x轴垂直时，设点M在x轴的上方， 将x=-c代入+=1(a>b>0)得M，N， 所以|MN|==2， 则2(a2-4)=2a， 解得a=2或a=-(舍去)， 所以b=2， 故椭圆E的方程为+=1. (2)如图，设直线l的方程为x=my-2(m≠0)， 与+=1联立得(m2+2)y2-4my-4=0， Δ=32(m2+1)>0， 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN的中点为G(x0，y0)， 由根与系数的关系可得， y1+y2=，y1y2=-， 所以y0==， x0=my0-2=-. 直线MN的垂直平分线GP的方程为y-y0=-m(x-x0)， 令y=0，则xP=x0+=-， 因为m≠0，所以-∈(-1，0)， 即点P横坐标的取值范围是(-1，0). 【限时训练】 （40分钟） 1.(15分)(2026·南宁模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点A(0，1)，其中一个焦点在直线x+y-=0上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)若k=-1，O为坐标原点，求△OMN的面积最大时实数m的值.(10分) 【解析】(1)由一个焦点在直线x+y-=0上， 令y=0，解得x=c=， 因为椭圆C：+=1(a>b>0)过点A(0，1)， 所以b=1， 所以a2=1+2=3， 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)当k=-1时，直线l：y=-x+m(m≠0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y可得4x2-6mx+3m2-3=0， 由Δ=-12m2+48>0，则m∈(-2，0)∪(0，2)， 可得x1+x2=，x1x2=， 点O到直线l的距离d=， 弦长|MN|=·=·， 则△OMN的面积S=·d·|MN|=··· ==≤··=， 当且仅当m2=4-m2，即m=±时，等号成立，此时△OMN的面积最大， 所以m的值为±. 2.(17分)(2026·福州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，点(-，-)在C上. (1)求双曲线C的方程及渐近线方程；(4分) (2)若直线l：y=kx+m交双曲线C的右支于M，N两点，线段MN的垂直平分线过点K(0，4). ①求k与m之间的数量关系式；(6分) ②求∠MKN的取值范围.(7分) 【解析】(1)因为点(-，-)在双曲线C上， 所以-=1， 又离心率为2，则=2， 联立解得 故双曲线C的方程为x2-=1，渐近线方程为y=±x. (2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 则(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0，3-k2≠0， 所以Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)>0， 即m2+3>k2， 且x1+x2=，x1x2=-， 则y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=， 则MN的中点为D， 即D， 因为线段MN的垂直平分线过点K(0，4)， 则·k=-1， 整理得k2+m=3. ②由①知m=3-k2， 则x1+x2=2k，x1x2=-，D(k，3)， 则k>0，m<0， 则m2+3>k2=3-m，解得m<-1， 又|MN|=·=· =·=2·， 则|MD|=|MN|=·， 又|KD|=， 则tan∠MKD==∈(0，)， 即∠MKD∈， 又∠MKN=2∠MKD， 则∠MKN的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $