2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时6 双曲线的方程与性质

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线的方程与性质及曲线与方程核心考点，按定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线等）逻辑架构知识，通过基础回顾、考点扫描（分考点例析与训练）、拓展延伸等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高考难点。 资料以数学思维与模型意识为导向，如在离心率考点中结合2025年新高考真题分析a、b、c关系培养推理能力，设置分层练习（基础、提升、综合）适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

课时6 双曲线的方程与性质 一、课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3.了解双曲线的简单应用． 二、知识梳理 1．双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离之差的 为非零常数2a(2a＜2c)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 ． （2）集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0． ①当 时，点M的轨迹是双曲线； ②当 时，点M的轨迹是两条射线； ③当 时，点M不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： ，对称中心： 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝ (c＞a＞0，c＞b＞0) 3．等轴双曲线及性质 （1）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作x2－y2＝λ(λ≠0)． （2）等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 【拓展知识】 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ． （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则（PF1）min＝ ，（PF2）min＝ ． （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 ，异支的弦中最短的为实轴，其长为 ． （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于坐标原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为 ． （5）焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为 ． （6）若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 三、基础回顾 1．判断正误. (正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平面内到点F1(0，5)，F2(0，－5)距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线．(　 　) （2）方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　 　) （3）双曲线－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0．(　) （4）双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，当离心率逐渐增大时，双曲线的“张口”逐渐增大．(　 　) 2．（2025·北京高考）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）若点在双曲线（，）的一条斜率为正的渐近线的右侧，为半焦距，则有（    ） A． B． C． D． 4、已知圆O的半径为定长r，A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任意一点，线 段AP的垂直平分线l和直线OP交于点Q.当点P在圆上运动时，若A在圆外，则点Q的轨迹是 ；若A在圆内，则点Q的轨迹是 ． 四、考点扫描 考点一 双曲线的定义及应用 例1（1）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． （2）(2025·浙江杭州第二中学月考)已知双曲线－＝1(a＞0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8．若M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则MF2的长是(　 　) A．1 B．3 C．9 D．1或9 规律方法： 对点训练（1）（2025·江苏无锡市天一中学模拟）已知P是双曲线上的点，F1，F2是其左、右焦点，且.若△PF1F2的面积为9，则a=（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支交于两点.若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 考点二 求双曲线的标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）双曲线过点，离心率； （2）双曲线过点，渐近线方程是； （3）双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点． 规律方法： 对点训练 (1)（2025·北京门头沟区模拟）已知双曲线过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． （2）在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋10与双曲线－＝1的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_ __． 考点三 双曲线的几何性质 考向1 离心率 例3 （1）（2025·新高考Ⅰ卷）若双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为　　 A． B．2 C． D． （2）（2025·湖南衡阳开学考试）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线，交C于A，B两点.若∠AMB为锐角，则C的离心率的取值范围是(　 　) A．(1，) B．(1,2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞) 规律方法： 对点训练（1）（2025·广东广州上模拟）若直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0)交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则该双曲线的离心率e＝__ __． （2）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点.若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向2 渐近线 例4 （1）与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为__ __． （2）（2025秋·上海高考）已知点，，在（）上，则△的面积　　 A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 规律方法： 对点训练（1）已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C的焦距为 ． (2)(2025·河南焦作市模拟)已知是双曲线上任意一点.若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ． 拓展与延伸16 曲线与方程 一、考情分析 曲线与方程核心思想是“用代数方法研究几何问题”，而曲线与方程则是这一思想的逻辑起点，其本质是几何与代数的转化桥梁，要能根据方程画出草图、判断性质，也要能根据几何条件准确求出方程. 二、知识梳理 曲线与方程的本质是几何与代数的转化桥梁.解题时既要能根据方程画出草图、判断性质，也要能根据几何条件准确求出方程.求曲线方程的基本步骤： 1. 建系：建立适当的平面直角坐标系（尽量利用对称性，使方程简洁）. 2. 设点：设所求曲线上任意一点（动点）M 的坐标为 (x, y). 3. 找限制条件：找出动点 M 运动时始终成立的几何条件（即几何轨迹定义，如到定点的距离等于定长）. 4. 坐标代入：将几何条件用 M 点的坐标 (x, y) 表示出来（即列出方程）. 5. 化简：将列出的方程化简成最简形式.最后检查是否有要去掉的点（如原点、与坐标轴交点等）. 三、考点扫描 考点一 已知轨迹（或方程）研究曲线性质 例1 （1）（多选题）（2025·浙江宁波市镇海中学模拟）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.如图，曲线：是双纽线，则下列结论正确的有（    ） A．曲线的图象关于坐标原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是 （2）（多选题）（2024·全国新课标I卷）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则有（ ） A. B. 点在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在C上时， 对点训练 （1）(2025·安徽安庆市二模)已知曲线，直线.若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（ ） A. B. C. D. （2）(多选题)（2025·湖北模拟）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为.若为其图象上任意一点，则有（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 考点二 求轨迹或轨迹方程 例2（1）当动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是(　　) A.x2＋y2＋3x＋2＝0 B.x2＋y2－3x＋2＝0 C.x2＋y2＋3y＋2＝0 D.x2＋y2－3y＋2＝0 （2）（多选题）已知点的坐标分别是，分别过点的直线交于点，且它们的斜率分别为.下列命题是真命题的有（ ） A．若，则的轨迹是椭圆(除去两个点) B．若，则的轨迹是抛物线(除去两个点) C．若，则的轨迹是双曲线(除去两个点) D．若，则的轨迹是一条直线(除去一点) 考点三 圆锥曲线第二定义 平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹： (1)当0<e<1时，轨迹为椭圆． (2)当e>1时，轨迹为双曲线． ①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线． ②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±. 例3　若椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的取值范围是(　 　) A．[1,3] B．[2,3] C．[，] D．[1，] 对点训练 已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则MA＋MF2的最小值为　　　　.  巩固提升 1．下列关于曲线的结论正确的是　　 A．曲线是椭圆 B．关于直线成轴对称 C．关于坐标原点成中心对称 D．曲线所围成的封闭图形面积小于4 2．已知点，，，.若曲线上存在点，满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．如图，设A和B为抛物线y2＝2px（p＞0）上除坐标原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，则点M的轨迹方程为( ) A．x2＋y2－2px＝0（原点O除外） B．x2＋y2－2py＝0（原点O除外） C．x2＋y2＋2px＝0（原点O除外） D．x2＋y2＋2py＝0（原点O除外） 4．(多选题) 如图，曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶形立交桥的布局中有非常广泛的应用.首蓿叶形立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．下列结论正确的有（ ） A．曲线C只有两条对称轴 B．曲线C过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2 5．已知椭圆＋＝1内部的一点A，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为__ __． 课时6 双曲线的方程与性质参考答案 二、知识梳理 1．（1）绝对值 焦点 （2）①2a＜F1F2 ②2a＝F1F2 ③2a＞F1F2 2．坐标轴 原点 a2＋b2 【拓展知识】 （1）b （2）a＋c c－a （3） 2a （4） （5） 三、基础回顾 1．（1）× （2）× （3）√ （4）√ 2．B【解析】由题有，所以，所以.故选B. 3． ABD【解析】双曲线的一条斜率为正的渐近线方程为:，因为在右侧,所以，故,C错误. 所以,D正确. 对于选项A，要证，即证，即证，显然成立，A正确.对于选项B，，B正确.故选ABD. 4．双曲线；椭圆【解析】因为线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，所以QA＝QP，若A在圆外，则QO－QP＝OP，即QO－QA＝r＜OA，此时点Q轨迹为双曲线；若A在圆内，则QA＋QO＝QP＋QO＝r＞OA，此时Q点轨迹为椭圆． 四、考点扫描 例1（1）D【解析】设，，则由已知得|PA-PB|=8，即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又AB=10，且，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.设双曲线方程为，则，所以，所以，所以双曲线方程为，即化简方程的结果是. 故选D. （2）C【解析】 由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2．根据双曲线定义可得|MF1－MF2|＝2a＝4，即|5－MF2|＝4，解得MF2＝1或MF2＝9．当MF2＝1时，MF1＋MF2＝6＜8，不满足题意，故舍去；当MF2＝9时，MF1＋MF2＝14＞8，满足题意．所以MF2＝9．故选C. 对点训练（1）B【解析】由得，设，，不妨设m＞n，则，得a＝1．故选B． （2）【解析】由双曲线的定义知，，两式相加得，又，，则，故的周长为. 例2【解】（1）由，设，则，．设所求双曲线的方程为①或②. 把代入①，得，与矛盾，舍去；把代入②，得．所以所求双曲线的标准方程为． （2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①. 将点的坐标代入①式，得，所以所求双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为，因为点在双曲线上，所以，即，所以双曲线的标准方程为． 对点训练 (1)　C【解析】由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.因为双曲线C经过点，所以.因为，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.故选C. （2）－＝1【解析】 由题意得解得故双曲线的方程为－＝1． 例3 （1）D 【解析】根据题意可得，所以，所以双曲线的离心率为．故选． （2）B【解析】 令x＝c，得－＝1，解得y＝±，则M(－a，0)，A，B，所以＝，＝．因为∠AMB为锐角，所以·＞0，即(c＋a)2－＞0，即c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，结合e＞1，解得1＜e＜2．故选B. 对点训练（1）【解析】 联立得x2－1＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝＝＝－9，解得a2＝6，所以e＝＝＝＝＝． （2）D【解析】因为M在以F1F2为直径的圆上，，，，，.由双曲线定义知：，即，.，，，则，，即双曲线离心率的取值范围是.故选D. 例4 （1）y＝±x【解析】 依题意，双曲线的两焦点坐标分别是F1(－5，0)，F2(5,0)，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由双曲线的离心率e＝，可得＝，解得a＝4，所以b＝3，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x． （2）A【解析】因为过点，的直线的方程为，曲线（）的渐近线为，所以与渐近线平行，故当点无限逼近渐近线时，△在上的高无限逼近渐近线与的距离，故△的面积无最小值，当点位于时，使得△在边上的高最大，此时△的面积有最大值．故选． 对点训练（1）3【解析】双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，可得＝2，即b＝2a.由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3. （2）【解析】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则，点到的两条浙近线的距离之积为，解得，故双曲线方程为， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 拓展与延伸16 曲线与方程 三、考点扫描 例1 （1）ACD【解析】把代入得，所以曲线的图象关于原点对称，A正确. 令得或，即曲线经过，结合图象，.令，得.令，得，因此，结合图象曲线只能经过3个整点，，B错误. 得，.所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3， C正确. 直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，所以整理得无非零解，即，解得，D正确.故选ACD. （2）ABD 【解析】对于选项A，设曲线上的动点，则且，因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于选项B，又曲线方程为，而，故.当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于选项C，由曲线的方程可得，取，则，而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于选项D，当点在曲线上时，由C的分析可得，故，故D正确.故选ABD. 对点训练（1）A【解析】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段，当时，，此时，则，不合题意；当时，，得，解得.又，所以不成立.故选A. （2）ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，所以，其中一个焦点坐标应为而不是，由双曲线定义可知．故选ABD. 例2（1）B 【解析】设动点A(xA，yA)与定点B(3，0)连线的中点为P(x，y)，则即因为点A在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.故选B. （2）BCD【解析】设，对于选项A，，化简得，不是椭圆方程，A错误. 对于选项B，，化简得，是抛物线方程，轨迹是抛物线（去掉的两点），B正确. 对于选项C，，化简得，双曲线方程，轨迹是双曲线（除去两顶点），C正确. 对于选项D，，，，化简得，轨迹是直线，去除点，D正确.故选BCD． 例3　B【解析】 由题意，得a＝，离心率e＝.设P(x0，y0)(－≤x0≤)，根据椭圆第二定义，得PF1＝a＋ex0＝＋x0，PF2＝a－ex0＝－x0，所以PF1·PF2＝＝3－x(－≤x0≤).因为x∈[0,3]，所以PF1·PF2∈[2,3]．故选B. 对点训练 【解析】设M到直线x＝的距离为d.由双曲线第二定义知，＝e＝，所以d＝MF2，所以MA＋MF2＝MA＋d，如图. 可知(MA＋d)min＝xA－＝9－. 四、巩固提升 1. C【解析】因为曲线，不是椭圆方程，所以曲线不是椭圆，A错误. 把曲线中的同时换成，方程变为，所以曲线不关于直线对称，B错误. 把曲线中的同时换成，方程不变，所以曲线关于原点对称，C正确. 因为，，所以曲线所围成的封闭面积小于，令，所以，所以曲线上的四点围成的矩形面积为，D错误．故选C． 2. B【解析】由，，，，，可得的轨迹为椭圆，且，，，，椭圆方程为．又在曲线上，联立 得.，整理得，解得且．所以的取值范围是．故选B． 3．A 【解析】 设M(x，y)，直线AB的方程为y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－，联立y2＝2px和y＝kx＋b消去y得k2x2＋ (2kb－2p)x ＋b2＝0，所以x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，所以＋＝0，所以b＝－2kp，所以y＝kx＋b＝k(x－2p)，把k＝－代入得x2＋y2－2px＝0（y≠0）.故选A． 4．CD 【解析】 由图知曲线C有4条对称轴，A错误； 第一象限内经过的整数点为(1，1)，(1，2)，(2，1)，代入曲线C可知等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过整数点，结合对称性可知曲线C只经过(0，0)，B错误； 由x2＋y2≥2xy(x＞0，y＞0)，得xy≤，所以(x2＋y2)3＝16x2y2≤＝4(x2＋y2)2，所以x2＋y2≤4，C正确； 矩形面积S＝xy≤≤2，所以所围成矩形面积的最大值为2.D正确．故选CD． 5、2－1【解析】 因为a＝2，b＝，所以c＝，e＝， 右准线方程为x＝，即x＝2．如图，设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线第二定义知＝e＝，所以d＝MF，所以MA＋MF＝MA＋d．由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值2－1． . 学科网（北京）股份有限公司 $