第八章 课时5 椭圆的方程与性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“椭圆的方程与性质”专题，依据新课标要求梳理了椭圆定义、标准方程、几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及简单应用等核心考点，通过考点扫描分析了定义应用、方程求解、性质探究三大常考题型，对接高考评价体系，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”的复习策略，如结合2025广东一模真题，用定义法推导动圆圆心轨迹方程，培养学生的数学思维和数学语言。归纳焦点三角形面积公式、离心率计算技巧等解题方法，特设易错点判断和对点训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

课时5 椭圆的方程 与性质 一、课标要求 1理解椭圆的定义、几何图形、标准方程 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、 3.掌握椭圆的简单应用. 顶点、离心率) 二、知识梳理 1.椭圆的定义 (1)平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于FF2)的点的轨迹叫作 椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)集合P={MMF1 >0. ①当2a>FF2时，点M ②当2a=F1F2时，点M ③当2a<FF2时，点M M2=2a},FF2=2c, 的轨迹为椭圆； 的轨迹为线段FF; 的轨迹不存在. 其中a,c为常数，且a>0,c 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 。0 B. 图形 b a A FO B =1(a>b>0) B2 yhA2 a C B O b B2 x F A 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 4a0 40a 质 顶点 A(a0. 40c EQDBQ E(五OB凸，O 离心率 e=_,且e∈(0,1) a,b,c的关系 2多系 【拓展知识】 1.点Pxo,yo)和椭圆的位置关系 (1)点P,o)在椭圆内台行十品 a2'b2 2)点PD雅稠圆上s (3)点P,为在椭圆外台。+ a27 h2 ● ● p● 是 米 2.焦点三角形 如图，椭圆上的点Po,o)与两焦点构成的△PFF2叫作焦点三角形.设1=PF1, 白P2,☑EP=A.人PG的面积为S,则E椭圆十2=1(a>b>0 P(Xo-Yo) 0 F2 (1)当r1=2,即点P的位置为短轴端点时，0最大： (2)5-htang-c 最大值为bc. (3) Cxe≤PF≤ (4)PF1=CH®%， (5)当PF2⊥x轴时， 3.已知过焦点F的弦 ,当o=b,即点P的位置为短轴端点时，S取得最大值， oe pF2-ae6. 点P的坐标为C,±b AB,则△ABF2的周长为4a 4.椭圆中点弦的斜率公式 o,四是椭圆十，Ia>6>0的弦A4B不平行y 62 则有kBoM=- 别提圆片有十O b21 5.弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 AB=V1+21-x2=1V(1+k2)[(1+x22-4xx2] =1+女h为=0+01+P-42K其中最为宜线的斜率). 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)平面内到两个定点F1,F2的距离之 和等于常数的点的轨迹是椭圆.(×) d) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F 的长半轴长，c为椭圆的半焦距). 构成△PFF2的周长为2a+2c(其中a为椭圆 (N) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×) (4)关于x,y的方程 圆.（√） mx2+y2=1(>0,n>0, m≠n)表示的曲线是椭 2 (5) 1a>b>0与2+ ® a2' 62 1(a>b>0)的焦距相同.（√） 2.若椭圆的中心为坐标原点， 一个等边三角形，焦点到椭圆 A. e. "h a a =1 对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成 上点的最短距离为√3，则这个椭圆的方程为() B. D.以上都不对 B【解析】 1) A B F x 由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为： + 所以 ,G3,xE,b3.所 椭圆焦点在y轴上时，同理可得弋立1故选B, 1由题意b✉立，， 以椭圆方程为 3.(多选题)已知P是椭圆 则下列结论正确的有() A.椭圆C的短轴长为2√3 C.椭圆C的离心率为， 3 上的一点，，是椭圆C的两个焦点， B.的坐标为（功对 D.存在点R,使得利F空 AC【解析】 椭圆的焦点在y轴上， 正确。 耳乃的坐标为(Q,B错误 离心率为- C正确. 因为b℃，故以原点为圆心，c为半 得乃 D错误故选AC. 径的圆与椭圆没有 则短轴长为Z,A 交点，故不存在点P,使 4.已知F,F,分别为椭圆 的左、右焦点，M 22,则入的最小稍为 为椭圆上的动点，设点 10 2 【解标】在椭回片兰中，a之3c,则2看10，红9连 接，所以 (当且仅当点M为射线A与椭圆的交点时，等号成立)，故个A的最 2 小值为4.西 四、考点扫描 考点一椭圆的定义及应用 例1(1)已知一动圆与圆x2+y2+6x 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( A. x2 =1 B. 2_2 二1 36 27 36 27 十5=0外切，同时 C. + =1 36 27 与圆x2+y2-6x-91=0 D. 2_) =1 3627 A【解析】方法一：设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为 O1,O2,将圆的方程分别配方得(x+3)2+y2=4,x-3)2+y2=100,当动圆与圆 O1相外切时，有OM=R+2①， 当动圆与圆O2相内切时，有OM=10一R② 将①②两式相加，得OM+O2M=12>OO2,所以动圆圆心Mx,y)到点O1(一3， 0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点O1(-3,0),O2(3, 0),长轴长等于12的椭圆.所以2c=6,2a=12,所以c=3,a=6,所以b2= 36一9=27.所以圆心轨迹方程为+=1，轨迹为椭圆。 3627 方法二：由方法一可得方程Vx+3)2 方得2(x+3)2+y2=12+x,两边再 1.所以圆心轨迹方程为+ =1, 36 27 +y2+1(x-32+y2=12,移项再两边分别平 平方得3x2+4y2-108=0,整理得 + 6 27 轨迹为椭圆.故选A, 2)方程七正表小椭圆的允要条件是（) 492292 A.4 B.] C.4 D.4或 4+m>0 2-1m>0 Dl解析】若4w727表示椭圆，则有4+m≠2-m,解得或 故选D. (3)(2025·广东惠州市模拟)已知椭圆的 交椭圆于A、B两点，F,是椭圆的右焦点， A. 8 B.6H23 C. 方程为号，过椭钢心的直线 则的周长的最小值为() 10 D.8+2E C【解析】椭圆的方程为 =1，则3，b2,, 连接A, 4 BF,则由椭圆的中心对称性可知OA=OB,OF1=OF2,可知H为平行四边形， 则4，可得的周长为 审当 AB位于短轴的端点时，|m长取最小值，最小值为4，所以周长为 之车日.故选C」 B 规律方法： 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有： 求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结 求椭圆的标准方程、 合使用求解关于焦点 求焦点三角形的周长、面积及 三角形的周长和面积问题. 对点训练(1)已知方程 日表示椭圆，则实数k的取值范围是() 19 A.(19) B.(9 C.(绒( D.(1 k-1>0 C【解析】因为方程 足+子表示椭圆，所以9-k>0 ，解得兰或 19 k-1≠9-飞 5≤.故选C. (2)(2025·陕西西安交通大学附属中学期末)已知5分别为椭圆 的 1810 左、右焦点，P为椭圆上一点，且宰，则△丑的面积为 25【解析】由椭圆可知一一，故 |空后，结合连，可得丰会垒而 2在，故为等腰三角形，其面积为 考点二求椭圆的标准方程 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) 焦点坐标分划为（一-2.0,2,0.H过点(-3 (2)焦点在坐标轴上，且过A(3,一2)和B(-23,1)两点； (3)已知兰，A,B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，满足 D4五的动点P的轨迹方程。 【解】(1)根据题意，已知椭圆的两个焦点坐标分别为（一2,0），(2,0)，则椭 圆的焦点在x轴上，且c=2.又由椭圆经过点 引 则2a= 2/10,则a=/10,b2=a2-c2=6.则 椭圆的标准方程为+少-1 10 (2)依题意，可设椭圆的方 经过A(3,-2)和B(-23, 箱圆的方程为十1 155 程为mx2+y2=1(m>0, 3m+4n=1 1)两点，则有 12m+n=1 n>0,#),又由椭圆 则 (3)设(p因为 所以（冬4要，所以力≥4 .即 =1 4 9 -9 所以a3x因为应2 3,所以9+， 整理得 规律方法： 根据条件求椭圆方程的主要方法 ()定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的α，b.当不知焦点在哪一个坐 标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2十y2=1(m>0,n>0,m≠m)；与椭圆 2 )含14h0共焦的稠個方程可为 uc.: 与椭人2 伊h0有相回离心李的椭因方程可设为十+ B2 2(a心b>0,2>0). 对点训练 (1)已知曲线C: 线段cc,p'为垂足，则线段 A. 16 4 -1(yC) C. =1(C 忌主(C),从C上任意一点P向x轴作垂 o的中点M的轨迹方程为() B. 8 =1(yC〉 D. =1(yC〉 又 A【解析】设点入因，则琴因为M为P的中点， 又P在圆e上，所以是≤，即 64 方程%只 故选A 所以63，即2， 9 即点M的轨迹 (2)(2025广东揭阳市期末) 的一个椭圆标准方程可以是 过四点a小，号 ,这样的椭圆 - 中的三点 方程有个. ,23 4 或B·B (写一个即可：2【解析】因为点 关于 时所以H四行三e.只右u四，人5后小〔可 两种情况.设椭圆方程为忌受-(，2(，mC).当椭圆过(Q), n=1 3 的坐标代入椭圆方程，得 m+4n= n=1 解得 1，所以椭圆的方程为 m 4 /3 三点时，代入椭圆方程 月 B +=1.同理可得当椭圆经过 4 小 -m+n=1 4 得 该椭圆的方程为 3 得是 m n=l 4 考点三椭圆的几何性质 例3(1)(2025·广东一模)已知乃是椭圆C的两个 则C的离心率为( A.Vi3 B 8 4 焦点，P为C上一点，且 d,s 8 A【解析】因为串， 由椭圆的定义可得 中Ξ多，所以 /到-受因因为起血余滋定理可得 所以 整理可得？-B7 3 4 所以子 即 V13 e= 故选A. 4 (2)已知F,F,是椭圆C的两个焦点，P是C上的 三，则C的长轴长与焦距的比值为(， 7 B. 1 c. V29 A. 7 点若，且 7V29 D. 29 c D【解析】由络气， 结合题设有 化简得夏 出 故选D. 号，血%则 故C的长轴长与焦距的比值为 x2 (3)如图，设椭圆C: 62=1(a>>0)的左、 0<1<b).已知动点P在椭圆上，且P,E,F2 的最小值为3b,则椭圆C的离心率为( ) E E 0 V3 1 A. B C, D 2 2 2 右焦点分别为F1,F2,点E0, 三点不共线，若△PEF的周长 5 3 D【解析】如图，连接 △PEF的周长为PE十 十EF2-EF1=2a=3b, EF,FP,易知EF1=EF2, y E F2 PF2十EF=PE+2a-PF1+ m-后- EF2=2a十EF2+PE-PF1≥2a _4=5 故选D. 3 对点训练(1)(2025·陕西铜川市模拟) 左、右焦点若E上存在不同的两点AB 范围是() A.(B. 己知巧是椭圆 秀房69的 使得，则E的离心率的取值 C.(322D.322 C【解析】如图，延长交椭圆于4，根据椭圆的对称性，得3名，2 F.A 当A,4分别位于E的左、右顶点时，A 有最大值，又因为AB不重合，所以 1e2 即1e ，解得©3乏，所以E的离心率的取值范围是 (322. 故选C F (2)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1),椭圆 为1，则椭圆C的标准方程为 (3,3),则PM-PF的最小值为 C上的点到F的距离的最小值 若P为椭圆C上一动点，点M =1;1【解析】因为椭圆C的一个焦点为F(0,1),所以椭圆C的焦点 43 在y轴上，且c=1.因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a-c=1, 得a=2.因为6=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为卫+Y-. 设椭圆C 43 的另一个焦点为F,则PF+PF=4,所以PM-PF=PMPF-4.当F,P,M 三点共线时，PMPF取得最小值，且最小值为今，所 以PM-PF的最小值为1. (3)(多选题)(2025·山东实验中学模拟)设椭圆G:+W=1的焦点为F, F2,P是C上的动点，则下列结论正确的有( A.离心率e=13 2 B.P币的最大值为3 C.△PFF2面积的最大值为2V3 D.PF1十PF2的最小值为2 AD【解析】由题意得a=2,b 不妨令F(-3,0),F(V3 以PFP=(x-3P+2=(x 因为一2≤≤2，所以当x=一2 故B错误； =1,c=a2-b2=13,e= ，O),设P(x,),所以PF 3P+1-R=3r2 -23 44 时，(P2)=7+43, C 13 故A正确； a 2 =(3一，一)，所 x+4= 即PBmx=2十3， 因为S2华：？叶2c=2b*23=3.-1s1,所以当y=士1，即P在短 轴的端点时，△PFF的面积取得最大值，(S)max=V3×1=3,故C错误； 成+房1-2防-2发+2-2时+1，内为-22，所以15￥ 1≤4，所以2≤PF1+PF2≤4，故D正确.故选AD 米 感谢观看 THANKS