2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时7 抛物线的方程与性质

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线的方程与性质，覆盖定义、标准方程、几何性质及焦点弦、阿基米德三角形等核心考点，通过知识梳理表格对比不同标准方程的性质构建知识网络，教学流程含基础回顾巩固认知、考点扫描分考点例题精讲与对点训练、拓展延伸深化综合应用，体现复习的系统性与针对性。 资料创新性融入阿基米德三角形等高考热点内容，采用表格对比培养几何直观，例题精讲结合逻辑推理发展数学思维，设置基础、能力、综合三层练习保障效果，如焦点弦性质推导实例助力学生掌握解题策略，为教师把控复习节奏和提升学生应考能力提供有力支持。

课时7 抛物线的方程与性质 1． 课标要求 1．了解抛物线的实际背景，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质． 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 2． 知识梳理 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内； （2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； （2）定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 e＝ 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中P(x0，y0)) 【拓展知识】 与焦点弦有关的常用结论： (以图为依据) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． （1）y1y2＝ ，x1x2＝ ． （2）AB＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线AB的倾斜角)，AF＝ ，BF＝ ． （3）为定值 ． （4）以AB为直径的圆与准线 ． （5）以AF或BF为直径的圆与y轴 ． （6）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 (通径)． 3． 基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) （2）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) （3）若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．( ) （4）方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线为焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－．(　 　) 2．(2024·江西南昌市模拟)抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（多选题）顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程 可以是(　 　) A．y2＝－x B．x2＝－8y C．x2＝－y D．y2＝－8x 4、(2025·江西南昌市模拟)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .    4． 考点扫描 考点一 抛物线的定义及其应用 例1 （1）已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　 　) A． B． C．6 D．5 （2）（2025·河北唐山市模拟）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 （3）（2024·天津卷）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则坐标原点到直线的距离为______． 规律方法： 对点训练（1）直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． （2）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （3） 已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A.若∠FPA＝，则|PF|＝(　 ) A．1 B． C． D．2 考点二 抛物线的标准方程及性质 例2 （1）（2025•安徽芜湖市模拟）已知抛物线：的焦点为F，准线l上有A，B两点.若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． （2）（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则有（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 规律方法： 对点训练 (1)(2025·湖南长沙市雅礼中学月考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝6y B．x2＝12y C．x2＝18y D．x2＝36y （2）（多选题）（2025·福建泉州市三模）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则有（   ） A． B． C． D． 考点三 抛物线的几何性质应用 例3 （1）（多选题）（2025·新高考Ⅰ卷）设抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过作的垂线交于，过且垂直于的直线交于，则有（ ） A． B． C． D． （2）(2025·福建厦门市二模)已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 例4 已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若为直角，求证：直线过定点. 规律方法： 对点训练（1）（2025·新高考Ⅱ卷）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （2）（2025·湖南岳阳市期末）设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点A作的垂线，垂足为B.设，直线AF与交于点.若，且△ACD的面积为，则直线的斜率___________，抛物线的方程为___________. 拓展与延伸17 阿基米德三角形 一、考情分析 阿基米德三角形是近年高考解析几何中一个非常热门且难度较大的考点.它主要出现在抛物线背景中，通过几何与代数的综合运用，考查学生的逻辑推理和数学运算素养. 二、知识梳理 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形，如图． 性质1　 阿基米德三角形的底边AB的中线MQ平行于抛物线的对称轴． 性质2　 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以点C为中点的弦平行． 性质3　 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点（若直线l方程为ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C）. 性质4　 底边AB长为a的阿基米德三角形的面积最大值为. 性质5　 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2. 三、考点扫描 例1（1）已知点 在抛物线 的准线上，过点 的直线与抛物线C相切于A，B两点,则直线 的斜率为 ( ) A. 1 B. C. D. 3 （2）(多选题)(2025·江苏如皋中学模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2，l1，l2交于点P.下列关于△PAB的描述正确的有(　　) A．点P必在抛物线的准线上 B．AP⊥PB C．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为 D．PF⊥AB 例2（2025·山东滨州市模拟）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程. （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点． 对点训练（1）直线l过点（0,2），且与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则满足这样条件的直线l有___条. （2）设M（2,1）是抛物线x2＝2py上的点，则以M为切点的抛物线的切线方程为___. （3）已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为． ①求抛物线C的标准方程； ②过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程． 巩固提升 1．已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，AB＝8，且抛物线在A，B处的切线交于点P，则△PAB面积的最大值为(　　) A．8 B．16 C．16 D．32 2．(多选题)(2025·河北廊坊市模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB交于点P.则下列结论正确的有(　　) A．若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形，且∠APB＝90° B．点P的坐标是 C．弦AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0 D．△PAB的边AB的中线与y轴平行(或重合) 3．已知抛物线P：x2＝4y的准线与y轴的交点为E，则过E作抛物线P的切线方程为 . 4． 过点A(0，2)且和抛物线C：y2＝6x相切的直线 方程为 . 5．已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作，交AB于点D. (1)求点D的轨迹E的方程； (2)过C上一点作曲线E的两条切线，分别交y轴于点M，N，求面积的最小值. 课时7 抛物线的方程与性质参考答案 二．知识梳理 2．O(0，0) y＝0 x＝0 F F F F 1 x＝－ x＝ y＝－ y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 PF＝x0＋ PF＝－x0＋ PF＝y0＋ PF＝－y0＋ 【拓展知识】 （1） －p2 （2） （3） （4）相切 （5）相切 （6）2p 三、基础回顾 1．（1）× （2）× （4）× （5）× 2．A【解析】由题得，故焦点到准线的距离为2，故选A． 3．AB【解析】设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y．故选AB. 4. 【解析】由题意，知直线的斜率不为0，设的方程为，联立抛物线方程，得，，设，则.设线段中点，则，即，故线段中点的轨迹方程为，即. 四.考点扫描 例1（1）D【解析】 由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5．故选D. （2）A【解析】因为到抛物线焦点的距离为，所以由抛物线定义知，，解得.故选A. （3）【解析】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即或，故原点到直线的距离为. 对点训练（1）C【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 设，则.由AF=3BF，得，则.由AF=3BF，得，得，联立解得，，所以.故选C. （2） D【解析】 如图，，直线的方程为：代入中，消去，可整理得，显然设.由根与系数的关系可得（*） 因，由，将（*）代入，可得，解得.故选D. （3）D【解析】 因为PF＝PA，∠FPA＝，所以∠PAF＝∠PFA＝．如图，设准线l与x轴交于点Q．因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝．因为QF＝p＝1，所以AF＝2，所以在等边三角形PAF中，PF＝2．故选D. 例2（1）C【解析】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选C. （2）AC【解析】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由知 ，故C正确； 当点在曲线上时，由于抛物线开口向上，当点位于原点时，到直线l的距离最小为1，故点P到直线l的距离 ，所以D错误.故选. 对点训练（1）　B【解析】由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0).设抛物线的焦点为，则准线为y＝－，所以＝－，解得p＝6，所以抛物线C的方程为x2＝12y. 故选B. （2）AC【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程，消去可得，则，所以，故C正确； 又，则 ，故D错误；故选AC. 例3 （1）ACD【解析】由题意，可得，由抛物线的定义知AD=AF，所以正确； 由通径最短，可得，所以正确； 设，，，，， 由，消可得，，，所以，所以，当时，，，，此时AB=6，AE≠AB，所以不正确； 此时，当时，，，则， 所以， ，综上，所以正确．故选． （2）B【解析】 当点为原点时，，由对称性不妨令点在第一象限，设点， 而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.故选B. 例4 （1）【解】设，则，解得，所以抛物线的方程为. （2）【证明】直线过定点.证明如下：设，直线的方程：.将代入，得.则，得.由根与系数的关系，得.所以.因为，所以，即，即，即，所以.所以直线过定点. 对点训练（1）C【解析】 对，令，则，所以，，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得. 所以.故选C. （2） ；【解析】如图所示，，， 所以.因为轴，，，所以.所以四边形为平行四边形.所以，.所以，解得.代入可取.所以，解得.所以， . 拓展与延伸17 阿基米德三角形 三、考点扫描 例1 （1）D 【解析】 P(－3，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，故p=6，抛物C：y2=12x， 根据性质可知, AB中点的纵坐标与点P纵坐标相等(如图)，即y0=2，且AB过抛物线的焦点.设AB方程为 x=ky+3，代入抛物线方程得y2－12ky－36=0，y1+y2=12k， 故直线AB的斜率为3.故选D. （2）ABD 【解析】 先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为 y0y＝px＋px0.证明如下：由于点(x0，y0)在抛物线y2＝2px上，则y＝2px0，联立 可得2y0y＝y2＋2px0，即y2－2y0y＋y＝0，Δ＝0，所以抛物线y2＝2px(p>0) 在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.如图所示． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋，联立消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp.对于选项A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，即y1y＝px＋，同理可知，抛物线y2＝2px在点B处的切线方程为y2y＝px＋，联立解得所以点P的横坐标为－，即点P在抛物线的准线上，A正确. 对于选项B，直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝，所以k1k2＝＝－1，所以AP⊥PB，B正确. 对于选项D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为kAB＝，直线PF的斜率为kPF＝＝－m，所以kAB·kPF＝－1，则PF⊥AB.综上，PF⊥AB，D正确. 对于选项C，AB＝·|y1－y2|，PF＝＝＝p，所以S△PAB＝AB·PF＝·|y1－y2|·p＝(m2＋1)·＝·(m2＋1)·≥·2＝p2，当且仅当时，等号成立，C错误．故选ABD. 例2 （1）【解】设，则，，，， 所以可以化为，化简得．所以的方程为． （2）【证明】由题设，可设，，.由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即 ①. 因为在上，所以，即 ②. 将②代入①得，所以直线的方程为，同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点． 对点训练 （1）3 【解析】 设直线与抛物线切于点P(x0，y0），故有yy0=4（x+x0），代入点 (0，2）得y0=2x0，与抛物线方程联立，得(2x0)2=8x0或故存在两条切线,还有一条直线y=2与抛物线只有一个公共点, 故为3条. （2）x－y－1=0 【解析】 将点M(2，0）代入抛物线得p=2，故以点M为切点的切线方程为2x=2(y+1)，即x－y－1=0. （3）【解】①设点，，则.因为以E为圆心，以EF为半径的圆的最小面积为，所以，所以（负值舍去），解得，所以抛物线C的标准方程为． ②设，，易得，由题意知直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为.联立得，，所以，．由，得，则切线的斜率为，则切线的方程为，即①． 同理可得切线的方程为②． ①②得，代入①得，，所以点P的轨迹方程为． 四、巩固提升 1. 　D【解析】方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－4kx－4b＝0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，又AB＝|x1－x2|＝＝8，故k2＋b＝.又x2＝4y，所以y＝x2，所以y′＝x，故直线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x，同理，直线PB的方程为y＝x2x－x.联立直线PA，PB方程可得x＝，y＝，即x＝＝2k，y＝＝－b，即P(2k，－b)，所以点P到直线AB的距离d＝，所以S△PAB＝AB·d＝×8×＝4×·＝，当k＝0时，(S△PAB)max＝32. 方法二：由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝＝＝32.故选D. 2. ACD【解析】由题意，设A，B，x1<x2.由x2＝2py，得 y＝，则y′＝，所以kPA＝，kPB＝，若弦AB过焦点，设弦AB所在直线为y＝kx＋，联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，则x1x2＝－p2，所以kPA·kPB＝＝－1，所以PA⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确； 以点A为切点的切线方程为y－＝(x－x1)，以点B为切点的切线方程为y－＝(x－x2)， 联立消去y得x＝，将x＝代入y－＝(x－x1)，得y＝，所以P，故B错误； 设N为弦AB的中点，N的横坐标为xN＝，因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线AB的斜率为k＝＝＝，故弦AB所在直线的方程为y－＝(x－x1)，化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确．故选ACD. 3．x－y－1=0或x+y+1=0 【解析】 点E坐标为(0，－1），设抛物线的切点为Q(x0，y0），求 导得，故切线方程为.将点E代入切线方程得，故由此可得切线方程 为x－y－1=0或x+y+1=0. 4．3x－4y+8=0或x=0 【解析】 设直线与抛物线切于点P(x0，y0），故有yy0=3(x+x0)，代入 点A(0，2）得2y0=3x0，与抛物线方程联立得或故切线方程为3x－4y+8=0或x=0. 5． 【解】（1）由题意可得，即，所以抛物线方程为，设，则.因为，所以，及，又由题意可知，所以.又，且，所以，即. 又因为点D在直线AB上，且，所以，即，所以. 由①②式可得，当时，，解得，，此时；当时，消可得，，即，点同样满足该方程，显然D与O不重合，所以.综上，点D的轨迹E的方程为. （2）因为，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，设切线的斜率为，的斜率分别为，则切线方程为，即，令，得，.又，消元得.因为相切，所以，即. 易知的斜率分别为是方程③的两个根，，所以，所以，所以，所以.令， ，当且仅当，即时，取等号.综上，面积的最小值为8. . 学科网（北京）股份有限公司 $