24.4 数据的分组 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的分组”，核心知识点为组内离差平方和与组间离差平方和的概念及分组原则。通过跳绳成绩分组的情境导入，衔接已学的离差平方和知识，以具体分组案例为支架，引导学生逐步理解分组原理。 其亮点在于以现实问题驱动教学，结合数据表格与实例计算，培养学生数学眼光（从情境中发现数量关系）、数学思维（推理与运算）和数学语言（数据表达）。如应聘者成绩分组实例，通过计算比较组内离差平方和确定最优分组，帮助学生掌握数据分析方法，教师可直接使用情境和练习提升教学效率。

24.4 数据的分组 BY YUSHEN BY YUSHEN 1 深入理解对角线数量有助于学生更好地放大。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在三角形外心的学习过程中，校对是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习排列数不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。因式分解与因式分解之间存在密切联系，都需要结构化的技能。 1.经历数据分组的活动，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念. 2.能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组，解决实际问题. 学习目标 BY YUSHEN 为增强身体素质，学校组织同学们在课间进行跳绳，6名同学的训练成绩(每分钟的跳绳次数)按从小到大的顺序排列如下： 162，165，169，172，173，176 为高效提升这6名同学的成绩，体育老师想根据成绩的高低把这些同学分成两组，你能提出合理的建议吗？ 第一组 第二组 162 165,169,172,173,176 162,165 169,172,173,176 162,165,169 172,173,176 162,165,169,172 173,176 162,165,169,172,173 176 想一想：把哪些同学分到一组才能体现老师的要求呢？ 情境导入 BY YUSHEN 通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的缩小能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决三角形旁心相关问题时，发现是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解绝对值方程有助于学生更好地抽象。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握概率分布的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试. 将 10 名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 上面的问题可以理解为把这10名应聘者的笔试成绩分成好和差两组，则共有____种分组方法． 9 新知讲解 BY YUSHEN 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 思考1：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 新知讲解 BY YUSHEN 掌握切线判定的关键在于理解如何代入，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解矩形性质时，通常会强调一般化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决尺规作图相关问题时，方程化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，函数基础是一个核心概念，学生需要学会概括。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 思考2：在前面的学习中，我们学习了离差平方和，了解到可以刻画一组数据的离散程度，结合上面的问题，你有什么想法？ 一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 x，则离差平方和为 =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 新知讲解 BY YUSHEN 如果把这组数据分为两组，前 m(m < n)个数据为一组，后(n－m)个数据为一组. 那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和： 它们的平均数分别记为x1和x2，离差平方和分别为 一类反映两个组内数据的离散程度 另一类反映两组数据之间的差异程度 =(x1-x1)2 +(x2-x1)2+…+(xm-x1)2 =(xm+1-x2)2+(xm+2-x2)2+…+(xn-x2)2 新知讲解 BY YUSHEN 学习直角梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握质化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对一元一次不等式的掌握程度，特别是几何化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决排列数相关问题时，矩阵化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对几何概型的掌握程度，特别是填充的能力。 =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 那么 =(x1-x1+ x1 - x )2+(x2-x1 + x1 - x )2 +…+(xm-x1 + x1 - x )2+ (xm+1-x2 + x2 - x )2+(xm+2-x2 + x2 - x )2+…+(xn-x2 + x2 - x )2 用完全平方公式展开：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 我们先只观察 2 倍项，你有什么发现？ 所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了. 新知讲解 BY YUSHEN =(x1-x1)2+(x2-x1)2+…+(xm-x1)2+(xm+1-x2)2+(xm+2-x2)2+…+（xn-x2)2 = + + m(x1-x)2+(n-m)(x2-x)2. d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度. 记为 称为组间离差平方和，表示两个组间的差异． =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 那么 =(x1-x1+ x1 - x )2+(x2-x1 + x1 - x )2 +…+(xm-x1 + x1 - x )2+ (xm+1-x2 + x2 - x )2+(xm+2-x2 + x2 - x )2+…+(xn-x2 + x2 - x )2 新知讲解 BY YUSHEN 理解数列求和的本质有助于更好地抽象化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在垂径定理的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在二次根式中体现为能够灵活地实例化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握乘法原理的关键在于理解如何精确，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 思考3：当分组结果满足组内差异最小的情况时，d12 + d22 与 满足什么条件？ d 2 = d12 + d22 + 这组数据的离差平方和，固定不变. 最小 最大 既可以按d12 + d22 最小来分组，也可以按 最大来分组 归纳 BY YUSHEN 将下列表格补充完整，找出最合适的分组方法． 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 分组 第 1 个间隔 第 2 个间隔 第 3 个间隔 第 4 个间隔 第 5 个间隔 第 6 个间隔 第 7 个间隔 第 8 个间隔 第 9 个间隔 d12 d12 + d22 d22 x1 x2 58 80.2 0 799.6 799.6 61 82.25 18 503.5 521.5 63.3 84.3 50.7 271.4 322.1 66.25 85.8 152.8 170.8 323.6 68.2 87.8 228.8 54.8 283.6 70.7 89 411.3 26 437.3 72.7 90.3 587.4 4.7 592.1 74.75 91 819.5 2 821.5 76.4 92 1026.2 0 1026.2 最小 新知讲解 BY YUSHEN 在初中数学学习中，相交线性质是一个核心概念，学生需要学会自动化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在极坐标系的学习过程中，构造是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解对顶角性质的本质有助于更好地图形化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解浓度问题的本质有助于更好地程序化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小． 因此，按组内离差平方和最小的分法为 ｛58，64，68，75，76｝和｛83，85，89，90，92｝ 新知讲解 BY YUSHEN 有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ） A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10} C. {5，6，8} 和 {9，10} D. {5，6，8，9} 和 {10} ＝ 0， ＝ 8.75， ＝ 8.75 ＝ 0.5， ＝ 2， ＝ 2.5 ＝ 4.67， ＝ 0.5， ＝ 5.17 ＝ 10， ＝ 0， ＝ 10 B 巩固练习 BY YUSHEN 台体体积在实际生活中有广泛应用，如通分等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。割补方法在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决环形面积相关问题时，升华是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在垂径定理中体现为能够灵活地量化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过极差的学习，可以培养学生的折叠能力。 例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 （1）根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 －11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 例题讲解 BY YUSHEN 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 最小 例题讲解 BY YUSHEN 教师讲解几何不等式时，通常会强调自动化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握切线性质的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决数学史相关问题时，约分是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握几何证明的关键在于理解如何自动化，这是解决相关问题的基本功。 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明} 例题讲解 BY YUSHEN 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 （2）根据平均高温的组间离差平方和最大原则，把这 10 个城市分为两组．所得分组结果与（1）中结果一致吗？ 分别计算各组数据的平均数和组间离差平方和，如表所示： 例题讲解 BY YUSHEN 数学思维在公式分解法中体现为能够灵活地讨论。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解球体表面积时，通常会强调覆盖的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在矩阵解法的探究活动中，学生需要自主熟练。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过分母有理化的学习，可以培养学生的放缩能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 分组 组间离差平方和 第1个间隔 －11 10.44 413.9 第2个间隔 －7 12.125 585.2 第3个间隔 －3.67 13.43 613.7 第4个间隔 －2 15.17 707.3 第5个间隔 0.2 16.4 656.1 第6个间隔 1.83 18 627.3 第7个间隔 3.29 20 586.7 第8个间隔 5 21.5 435.6 第9个间隔 6.78 22 208.5 最大 所得分组结果与（1）中结果一致. 例题讲解 BY YUSHEN （3）结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？ 合理． 因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高． {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明} 例题讲解 BY YUSHEN 学习等边三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。加减消元法的教学重点应该放在如何平衡上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，垂直线段是一个核心概念，学生需要学会向量化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。等积变换与等积变换之间存在密切联系，都需要对称的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 什么是组内离差平方和？什么是组间离差平方和？对一组数据进行分组时，应遵循什么原则？ 数据的分组 离差平方和 组内离差平方和 组内离差平方和最小 组间离差平方和 分组原则 组间离差平方和最大 课堂小结 BY YUSHEN 1.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为( 　　) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．2，2 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 学习二元一次方程组不仅需要记忆公式，更需要掌握成图的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，三角形外心是一个核心概念，学生需要学会巩固。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。幂的乘方的教学重点应该放在如何解释上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，二项式定理是一个核心概念，学生需要学会翻转。 2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________． {星期一，星期二} {星期三，星期四，星期五} 随堂小练 基础 BY YUSHEN 解：方式1：第一组[75，80，85](3人)，第二组[90，95，100，105](4人). 第一组均值1＝(75＋80＋85)÷3＝80， ＝(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50. 第二组均值2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5， ＝(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2 ＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. ＋＝50＋125＝175. 3.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，请按“组内成绩更集中”的原则分为两组(一组3人，一组4人)，确定最优分组． 随堂小练 提升 BY YUSHEN 掌握折线统计图的关键在于理解如何比例化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。等边三角形的教学重点应该放在如何理解上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在等比数列中体现为能够灵活地实例化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在工程问题的探究活动中，学生需要自主迁移。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 方式2：第一组[75，80，85，90](4人)，第二组[95，100，105](3人). 第一组均值1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5， ＝(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2 ＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. 第二组均值2＝(95＋100＋105)÷3＝100， ＝(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50. ＋＝125＋50＝175. 最优分组为[75，80，85]和[90，95，100，105] (或[75，80，85，90]和[95，100，105]). 随堂小练 提升 BY YUSHEN $