精品解析：2026年河南省开封市九年级部分学校中招联考数学试卷

2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴最小的数是． 2. 下列正多边形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 3. 2026年，河南将实施“人工智能+”行动，支持建设行业大模型，并力争让工业互联网平台的设备连接数突破2260万台（套）、数据“2260万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：2260万，故选项D正确． 4. 钧瓷是河南省禹州市特产，下列瓷器的主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图、左视图的定义，结合各选项中瓷器的几何特征进行判断即可． 【详解】A、B、D的主视图和左视图均相同，C的主视图和左视图不相同， 故选：C． 5. 如图，的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【详解】由图中量角器可知，， 的补角为． 6. 一次函数的图象如图所示，则k的取值范围在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数是初中数学的重点也是难点，此题的关键就在于根据已知条件可判断出,，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：观察一次函数图象可知， 解不等式①得，， 解不等式②得，． ∴不等式组的解集为． 选项中C选项符合题意． 7. 关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】将方程变形为一般形式，再使用判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：， 整理，得， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 正面印有乔木、灌木、草本植物和藤本植物的四张卡片如图所示，它们除正面图案外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】列表如下： 第二次 第一次 由表知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案相同的有4种结果． ∴两次抽取的卡片正面图案相同的概率是：． 故选B． 9. 如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接， 根据矩形性质可知：， ， ， ， 故选A． 10. 是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大，如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了发热材料，其电阻值随温度变化的关系图象如图2所示，则下列判断正确的是（ ） 信息窗 ①发热部分的电功率与电阻和电压的关系为 ② A. 发热部分的电阻值随温度的升高而持续增大 B. 当时，该发热材料的电阻值为 C. 由图2可知该发热材料的“居里点温度”是 D. 当电压保持不变时，发热部分的电功率P最大为 【答案】D 【解析】 【分析】由图像可知，电阻随温度升高先减小后增大，并非持续增大，可判断A；时对应电阻为，可判断B；“居里点温度”是电阻由减转增的转折点，对应图像最低点，温度为，可判断C；电压不变时，由公式可知，电阻越小功率越大；图像中最小电阻为，代入即可计算最大功率，可判断D． 【详解】解：由图2可知当时，电阻值随温度的升高而减小，当时，电阻值随温度的升高而增大，故A错误； 由图2可知当时，该发热材料的电阻值为，故B错误； 由图2可知该发热材料的“居里点温度”是，故C错误； 根据，在不变时，R越小，P越大， 而根据图2可知，R最小为， ∴P最大为，故D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____________、 【答案】 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ， ． 12. 为了解全市初中生每周在家劳动的时间，采用_____________方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的适用情况解题． 【详解】解：涉及人数太多，且无全面调查的必要性，采用抽样调查方式更合适． 13. 用黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第1幅图有2个圆点，第2幅图有5个圆点，第3幅图有8个圆点，…，按照此规律拼下去，则第10幅图中黑色圆点的个数为___________． 【答案】29 【解析】 【详解】解：第1幅图有个圆点，第2幅图有个圆点，第3幅图有个圆点，第4幅图有个圆点，…，则第n幅图中黑色圆点的个数为，第10幅图中黑色圆点的个数为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边与x轴重合，，， D为边的中点，以点B为圆心、长为半径作，将沿x轴向左平移得到，当边与相切于点P时，恰好也与y轴相切，则点P的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，连接，过点P作于Q，先证明，则，，即可求出、，进而可求，即可得解． 【详解】解：在中，， 如图，连接，过点P作于Q． ∵D为边的中点， ∴， ∵与相切， ， ， ， ，， ∴，， ∵将沿x轴向左平移得到， ∴， ，， 又， ， ∴点P的坐标为． 15. 如图，在平行四边形中，，为直角三角形，，，，连接，G为的中点，连接，将在平面内绕点B自由旋转，则的最小值为____________，最大值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作关于直线的对称图形得到，则垂直平分，证明为等边三角形，则，过点B作于点P，利用勾股定理求出，当B、H、D三点共线时，DH取最小值，此时，的值最小，为的中位线，根据中位线的性质即可求出的最小值，如图2，当D、B、H三点共线时最小，同理可得出最大值． 【详解】解：如图1，作关于直线的对称图形得到， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 过点B作于点P， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴在中， ， ， ∴， ， 在中， ， 当B、H、D三点共线时，取最小值，此时，的值最小， 则， ∵，G为的中点， ∴为的中位线， ． 如图2，当D、B、H三点共线时最大，最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 一碗烩面慰风尘，一笼灌汤品宋韵．从洛阳水席的千年宴礼到黄河鲤鱼的吉祥滋味，河南美食用最朴实的烟火气，讲述着中原大地的厚道与传奇．某校开展了“河南美食知多少”知识竞赛，从该校八、九两个年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制，得分均为整数），进行了收集、整理、分析，得到下面的统计表． 八、九两个年级抽取学生竞赛成绩得分表 编号 年级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 八年级 67 70 80 95 95 90 80 80 86 92 九年级 69 81 72 90 95 86 81 81 86 94 八、九两个年级抽取学生竞赛成绩分析表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 a 80 九年级 83.5 83.5 b （1）____________， _______________； （2）小亮认为八、九两个年级抽取学生的竞赛成绩的平均数相同，因此八、九两个年级竞赛成绩一样好．你认可小亮的观点吗？请结合上表中的信息说明理由． 【答案】（1）83；81 （2）不认可．理由：虽然两个年级被抽取学生成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数83.5和众数81均高于八年级的中位数83和众数80， ∴九年级学生竞赛成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数确定结论即可； （2）结合中位数、众数作出判断即可； 【小问1详解】 解：将八年级10名同学竞赛成绩重新排列为：67，70，80，80，80，86，90，92，95，95， ∴中位数， 九年级10名同学竞赛成绩中81分的最多， ∴众数； 【小问2详解】 略 18. 大玉米楼位于郑州市郑东新区如意湖畔千玺广场，是河南省最高城市观景层．建筑以嵩岳寺塔为设计原型，圆柱形塔身夜间呈现金色玉米造型，成为郑州现代城市景观的代表性地标，是中原第一高楼．某综合实践小组欲测量大玉米楼的高度，他们提出了用物理课上学过的《光的反射定律》来解决该问题． 步骤：如图，成员在地面上的点O处放置了一块平面镜，向后移动到点D处，恰好通过镜子反射看到大玉米楼的顶端A，眼睛到地面的距离，测得为，成员距大玉米楼的距离．（点A，B，C，D在同一平面内，，均与地面垂直） （1）的度数为_____________． （2）求大玉米楼的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2）大玉米楼的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据光的反射定律即可解答； （2）解求得的长，即可求得的值，解即可求得． 【小问1详解】 解：根据光的反射定理可得； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， 由题意得：， 在中，． 答：大玉米楼的高度约为． 19. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C． （1）分别求k和b的值； （2）点D为反比例函数图象上的一点，连接，，．若，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的横坐标，再代入反比例函数即可解答． 【小问1详解】 解：把分别代入和，得， ； 【小问2详解】 解：， ∴一次函数的解析式是：，反比例函数的解析式是：， 设点D的横坐标为a，由题意得， ， 解得． 反比例函数的表达式为， ∴把代入， 得， ∴点D的坐标为． 20. 在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 21. 某校准备购买一批篮球和排球供学生使用，已知购买20个篮球和10个排球需要2700元，其中篮球的单价比排球的单价多30元． （1）求篮球和排球的单价； （2）若该校计划购买篮球和排球共60个，且篮球的数量不少于20个，实际花费不超过4890元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球的单价是100元，排球的单价是70元 （2）共有4种购买方案：方案一：购买20个篮球，40个排球；方案二：购买21个篮球，39个排球；方案三：购买22个篮球，38个排球；方案四：购买23个篮球，37个排球． 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据购买20个篮球和10个排球需要2700元，其中篮球的单价比排球的单价多30元，列出二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买m个篮球，则购买个排球，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元， 依题意得：， 解得． 答：篮球的单价是100元，排球的单价是70元． 【小问2详解】 解：设购买m个篮球，则购买个排球， 依题意得：， ， ∵m为正整数， ∴，21，22，23． ∴共有4种购买方案： 方案一：购买20个篮球，40个排球； 方案二：购买21个篮球，39个排球； 方案三：购买22个篮球，38个排球； 方案四：购买23个篮球，37个排球． 22. 开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） （2）若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 23. 综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 （3）在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 【答案】（1） ；2 （2）补全图形： ； （3）的值为2或5 【解析】 【分析】（1）先证明，再用三线合一得到，过点A作于点A，交的延长线于点P，，即可得到的值为2； （2）过点A作 于点A，交的延长线于点P，证明，得到，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵N是的中点，， ， ， ， 如图，过点A作于点A，交的延长线于点P， 则， ， ∵， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：补全图形； 如图，过点A作 于点A，交的延长线于点P， ． ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ， ， ， 根据四边形内角和可知，， ， ． 分别过点N，作的垂线，垂足分别为点P，Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 分两种情况：①当时，， ，， ， ， ． ②当时，， ， 同理， ． 综上可知，的值为2或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 下列正多边形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年，河南将实施“人工智能+”行动，支持建设行业大模型，并力争让工业互联网平台的设备连接数突破2260万台（套）、数据“2260万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 钧瓷是河南省禹州市特产，下列瓷器的主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则k的取值范围在（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 正面印有乔木、灌木、草本植物和藤本植物的四张卡片如图所示，它们除正面图案外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为( ) A. B. C. D. 9. 如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 12 10. 是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大，如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了发热材料，其电阻值随温度变化的关系图象如图2所示，则下列判断正确的是（ ） 信息窗 ①发热部分的电功率与电阻和电压的关系为 ② A. 发热部分的电阻值随温度的升高而持续增大 B. 当时，该发热材料的电阻值为 C. 由图2可知该发热材料的“居里点温度”是 D. 当电压保持不变时，发热部分的电功率P最大为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____________、 12. 为了解全市初中生每周在家劳动的时间，采用_____________方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”） 13. 用黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第1幅图有2个圆点，第2幅图有5个圆点，第3幅图有8个圆点，…，按照此规律拼下去，则第10幅图中黑色圆点的个数为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边与x轴重合，，， D为边的中点，以点B为圆心、长为半径作，将沿x轴向左平移得到，当边与相切于点P时，恰好也与y轴相切，则点P的坐标为_____________． 15. 如图，在平行四边形中，，为直角三角形，，，，连接，G为的中点，连接，将在平面内绕点B自由旋转，则的最小值为____________，最大值为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 一碗烩面慰风尘，一笼灌汤品宋韵．从洛阳水席的千年宴礼到黄河鲤鱼的吉祥滋味，河南美食用最朴实的烟火气，讲述着中原大地的厚道与传奇．某校开展了“河南美食知多少”知识竞赛，从该校八、九两个年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制，得分均为整数），进行了收集、整理、分析，得到下面的统计表． 八、九两个年级抽取学生竞赛成绩得分表 编号 年级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 八年级 67 70 80 95 95 90 80 80 86 92 九年级 69 81 72 90 95 86 81 81 86 94 八、九两个年级抽取学生竞赛成绩分析表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 a 80 九年级 83.5 83.5 b （1）____________， _______________； （2）小亮认为八、九两个年级抽取学生的竞赛成绩的平均数相同，因此八、九两个年级竞赛成绩一样好．你认可小亮的观点吗？请结合上表中的信息说明理由． 18. 大玉米楼位于郑州市郑东新区如意湖畔千玺广场，是河南省最高城市观景层．建筑以嵩岳寺塔为设计原型，圆柱形塔身夜间呈现金色玉米造型，成为郑州现代城市景观的代表性地标，是中原第一高楼．某综合实践小组欲测量大玉米楼的高度，他们提出了用物理课上学过的《光的反射定律》来解决该问题． 步骤：如图，成员在地面上的点O处放置了一块平面镜，向后移动到点D处，恰好通过镜子反射看到大玉米楼的顶端A，眼睛到地面的距离，测得为，成员距大玉米楼的距离．（点A，B，C，D在同一平面内，，均与地面垂直） （1）的度数为_____________． （2）求大玉米楼的高度．（结果精确到．参考数据：） 19. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C． （1）分别求k和b的值； （2）点D为反比例函数图象上的一点，连接，，．若，求点D的坐标． 20. 在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 21. 某校准备购买一批篮球和排球供学生使用，已知购买20个篮球和10个排球需要2700元，其中篮球的单价比排球的单价多30元． （1）求篮球和排球的单价； （2）若该校计划购买篮球和排球共60个，且篮球的数量不少于20个，实际花费不超过4890元，则有哪几种购买方案？ 22. 开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） （2）若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 23. 综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 （3）在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $