精品解析：2026年河南省开封市部分学校九年级中考联考数学试卷

教育集团研发2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（ ） A. ①④ B. ③④ C. ① D. ②③ 4. 一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 跨学科 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 传统文化 “灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．如图，取一张边长为的正方形剪纸，然后将其沿虚线裁剪后剩余部分仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了（ ）． A. B. C. D. 7. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 传统文化 朱砂红桃，河南省桐柏县特产，中国国家地理标志产品．某基地为了解甲、乙、丙三种新朱砂红桃的品质，开展了抽样调查．在相同条件下，组织了5名专业评委给每种朱砂红桃打分（百分制），如表．对每种朱砂红桃，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的红桃排序靠前；若平均数相同，则方差较小的朱砂红桃排序靠前．若丙在甲、乙、丙三种朱砂红桃中的排序居中，则这三种朱砂红桃排序最靠前和表格中（为整数）的值分别为（ ） 打分表 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 92 90 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 A. 甲，92 B. 乙，92 C. 甲，93 D. 乙，93 9. 如图，在中，，，，是的中位线，延长至点，使．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，中，点在第一象限，轴于，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则下列各点坐标中，纵坐标最小的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是______． 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 13. 传统文化 中国是河南有名的四大美食，转盘中四个扇形面积相等．小中和小华玩转盘游戏，转到“河南烩面”得4分，转到“胡辣汤”得3分，转到“开封灌汤包”得2分，转到“道口烧鸡”得1分，每人任意转动转盘一次，则两人转动转盘分数相加是6分的概率为______． 14. 如图，四边形为菱形，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长为______． 15. 在矩形中，，，对角线交于点，把矩形绕点在平面内自由旋转，点，的对应点分别是，．当或落在射线上时，的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校就数学“推理能力”和“运算能力”分别对学生进行测评．结束后，又随机选取了名学生组织座谈，就这两个方面要求每名学生畅所欲言．随后，组织方对这次座谈会中的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①关于“推理能力”方面发言次数的频数分布直方图如图：（数据分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组） ②关于“推理能力”方面发言次数在“”这一组的是： ③“推理能力”和“运算能力”这两方面发言次数的平均数、中位数、众数如下表： 平均数（单位：次） 中位数（单位：次） 众数（单位：次） 推理能力 运算能力 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）______； （3）在这次座谈会中，参会学生更感兴趣的是______（填“推理能力”或“运算能力”），并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数上，且，．点是轴的正半轴上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线于点，，当时，求点的坐标． 19. 检查员携带无人机勘测研究某部分山体．如图，为水平地面，在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，此时光轴线与水平线之间的夹角．已知最佳研究区间是以光轴线为中心范围（即），区域是与地面组成的最佳研究区域． （1）分别求和的度数； （2）若，求无人机上升的高度．（参考数据：，，） 20. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳线传动，称为卧式（如图1）．某数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图2），木架水平放置，绳轮与水平面相切于点．绳线绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，绳线与相切于点．过切点的直径与交于点（图中点、、、、在同一平面内）． （1）求证：； （2）该小组在实践过程中发现，当圆心与处锭子之间的水平距离满足时，纺线较为舒适．若纺车的绳轮半径为，，请求出使用该纺车纺线较为舒适时的取值范围（结果保留整数，参考数据：）． 21. 阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克 48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 （1）成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； （2）求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； （3）根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 22. 已知抛物线与轴交于、两点，且点在点的左侧． （1）求抛物线的对称轴； （2）若， ①求抛物线的解析式； ②如果点的坐标为，点是抛物线对称轴上一点，把抛物线上的部分记作，当直线与图象只有一个公共点时，直接写出点的纵坐标的取值范围． 23. 综合与实践 通过平移线段可以实现线段位置变换，是解题的常用方法． （1）尝试初探： 如图1，在正方形中，，点，，都是正方形边上的点，将沿方向平移到，连接，写出图1中与相等的角：______；与之间的数量关系是______； （2）深入探究： 如图2，在中，点，，，都是边上的点，连接与相交于点．且，，，，在解决“求的长”这个问题时，有下面的提示思路，请根据这个思路进行解答； 思路：将平移到，并延长交的延长线于点 （3）拓展延伸： 如图3，在中，，，点是射线上一个动点，射线，以为对角线作，连接交于点．当内有两个内角互余时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 教育集团研发2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 经过近年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒）．数据“百亿分之一”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定百亿的数值，再将百亿分之一转化为符合要求的科学记数法即可． 【详解】解：∵100亿， ∴百亿分之一为：， ∴． 3. 如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（ ） A. ①④ B. ③④ C. ① D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的定义，画出四个图形的主视图，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ②几何体的主视图为：，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ③几何体的主视图为：，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ④几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④． 4. 一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角度的和差关系得出，再由直角三角形两个锐角互余即可得出． 【详解】由三角板可知：，，， ， ． 5. 跨学科 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由“每挂重物体，弹簧伸长”可知该函数的比例系数为，则有挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为． 6. 传统文化 “灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．如图，取一张边长为的正方形剪纸，然后将其沿虚线裁剪后剩余部分仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出裁剪后正方形的边长，再根据减少的面积原正方形面积小正方形面积计算即可． 【详解】解：∵原正方形边长为， 由图可知，裁剪后小正方形的边长为 ， ∴减少的面积原正方形面积小正方形面积 ． 7. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，可通过根的判别式判断是否有实数根，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其判别式为，当时，方程没有实数根， 对各选项逐一计算： 选项A：方程为，其中， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合要求； 选项B：方程为，其中， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合要求； 选项C：整理方程为一般式得，其中， ∵， ∴方程没有实数根，符合要求； 选项D：方程为，其中， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合要求． 8. 传统文化 朱砂红桃，河南省桐柏县特产，中国国家地理标志产品．某基地为了解甲、乙、丙三种新朱砂红桃的品质，开展了抽样调查．在相同条件下，组织了5名专业评委给每种朱砂红桃打分（百分制），如表．对每种朱砂红桃，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的红桃排序靠前；若平均数相同，则方差较小的朱砂红桃排序靠前．若丙在甲、乙、丙三种朱砂红桃中的排序居中，则这三种朱砂红桃排序最靠前和表格中（为整数）的值分别为（ ） 打分表 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 92 90 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 A. 甲，92 B. 乙，92 C. 甲，93 D. 乙，93 【答案】A 【解析】 【分析】先计算甲和乙的平均数，再根据丙居中的排序要求，结合k为整数求出k，最后根据规则确定排序最靠前的红桃． 【详解】计算甲的平均数： 计算乙的平均数： 丙的平均数为： ∵丙排序居中，即丙为第二名，∴，又k为整数． 即：，解得： 当时，， 计算方差得： ∵，， ∴排序为甲、丙、乙，丙居中，符合题意． 当时，， 计算方差得： ， ∵，， ∴排序为甲、乙、丙，丙第三，不符合题意，舍去． 综上所述：若丙在甲、乙、丙三种朱砂红桃中的排序居中，则这三种朱砂红桃排序最靠前是甲，表格中（为整数）的值分别为92． 9. 如图，在中，，，，是的中位线，延长至点，使．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出，由中位线的性质得出，，，即可得出，设，则，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】在中，，，， ， 是的中位线， ，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即的值为． 10. 如图，在平面直角坐标系中，中，点在第一象限，轴于，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则下列各点坐标中，纵坐标最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析折叠旋转规律，得出每次折叠为一个周期，不妨设计算出初始点的坐:标，再利用折叠性质和三角函数计算出的坐标，接着根据周期性，用序号除以的余数确定各点与周期内点的对应关系，最后比较各点纵坐标大小，得出纵坐标最小的点． 【详解】解：规律分析：每次沿折痕折叠后，相对于轴正方向顺时针转动，转动一周的周期为：， 即每次折叠，点的位置重复，观察图形，每个一次循环， 由题意知，轴，且， 在中，， ∴， 不妨设(为了方便计算，设具体数值，不影响最终比较结果)， 则， ∴点的坐标为， ∵点是的中点， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 连接，作，垂足为， 由折叠的性质得，， 在中，，即 ∴ ∴ ∴， 同理，得， 观察图形，由轴对称的性质， ∵， ∴， ∵：， ∴与坐标相同， ∵， ∴，即， ∵：， ∴与坐标相同， ∵点的坐标为， ∴，即， ∵：， ∴与坐标相同， ∵， ∴， ∵， ∴纵坐标最小的是． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：这个不等式组可以是（答案不唯一） 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等， 即，解得． 13. 传统文化 中国是河南有名的四大美食，转盘中四个扇形面积相等．小中和小华玩转盘游戏，转到“河南烩面”得4分，转到“胡辣汤”得3分，转到“开封灌汤包”得2分，转到“道口烧鸡”得1分，每人任意转动转盘一次，则两人转动转盘分数相加是6分的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：列表如下： 河南烩面4 胡辣汤3 开封灌汤包2 道口烧鸡1 河南烩面4 8 7 6 5 胡辣汤3 7 6 5 4 开封灌汤包2 6 5 4 3 道口烧鸡1 5 4 3 2 由表格可得，共有16种等可能的结果，有3种结果和为， ∴两人转动转盘分数相加是6分的概率为． 14. 如图，四边形为菱形，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，，可得，证明，再进一步利用弧长公式计算即可. 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，, ∴， 以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为. 15. 在矩形中，，，对角线交于点，把矩形绕点在平面内自由旋转，点，的对应点分别是，．当或落在射线上时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，分别为落在射线上和落在射线上，先利用矩形性质得到各边长，再结合旋转的性质得到，，，然后根据三角函数及勾股定理计算得到的长度． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴， 矩形对角线互相平分，因此为中点，射线在直线上，绕点旋转后，由旋转的性质得，，旋转角相等，即； 由题意可分：当落在射线上，此时在直线上，过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 当落在射线上，此时在直线上，过点作，如图所示： ∴， 由旋转角相等得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 当时，原式． 17. 某校就数学“推理能力”和“运算能力”分别对学生进行测评．结束后，又随机选取了名学生组织座谈，就这两个方面要求每名学生畅所欲言．随后，组织方对这次座谈会中的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①关于“推理能力”方面发言次数的频数分布直方图如图：（数据分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组） ②关于“推理能力”方面发言次数在“”这一组的是： ③“推理能力”和“运算能力”这两方面发言次数的平均数、中位数、众数如下表： 平均数（单位：次） 中位数（单位：次） 众数（单位：次） 推理能力 运算能力 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）______； （3）在这次座谈会中，参会学生更感兴趣的是______（填“推理能力”或“运算能力”），并说明理由． 【答案】（1）补全频数分布直方图如下： （2） （3）运算能力，理由：“推理能力”和“运算能力”两方面发言次数的中位数相等，而“推理能力”方面的平均数、众数均小于“运算能力”方面的平均数、众数，说明参会学生“推理能力”方面的发言次数低于“运算能力”方面的发言次数，故在这次座谈会中，参会学生更感兴趣的是“运算能力” 【解析】 【分析】（1）先求出“推理能力”中发言次数在的人数，再补全频数直方图即可； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）可以对比平均数、中位数和众数即可得到结论． 【小问1详解】 解：“推理能力”中发言次数在的人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：“推理能力”方面发言次数一共有个数据，根据从小到大排序，中位数是第位和第位数据的平均数， ∵由频数直方图可得在第一组上有个数据，在第二组上有个数据，在第三组上有个数据，在第四组上有个数据，，， ∴第位和第位上数据位于第四组上， ∵第位和第位上数据分别是：，， ∴中位数； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数上，且，．点是轴的正半轴上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线于点，，当时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）以原点为圆心，以适当长为半径作弧交角的两边，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离一半的长为半径作弧，两弧相交于一点，连接原点与该交点并延长，即为角平分线．如图所示 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）因为，所以的面积等于，结合面积值和的范围确定，即可得到反比例函数解析式． （2）以为圆心作弧交角的两边，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离一半的长为半径作弧得到交点，连接与该交点并延长，即为角平分线． （3）首先根据得到点的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点的坐标，求出长，再利用角平分线和平行线的性质证明是等腰三角形，得到的长；即可得到的长，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：，， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：轴，， 点的纵坐标为3， 将代入， 得， ， 在中，，， ， 平分， ， 轴， ， ， ， ， 点的坐标为． 19. 检查员携带无人机勘测研究某部分山体．如图，为水平地面，在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，此时光轴线与水平线之间的夹角．已知最佳研究区间是以光轴线为中心范围（即），区域是与地面组成的最佳研究区域． （1）分别求和的度数； （2）若，求无人机上升的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）， （2）无人机上升的高度为 【解析】 【分析】（1）结合图形，由角度的和差计算，平行线的性质即可求解； （2）设，在中，，结合图形，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ，， 又为水平线，即， ，； 【小问2详解】 解：设， 在中，， ， 在中，，， ， 又， ， 解得， 即无人机上升的高度为． 20. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳线传动，称为卧式（如图1）．某数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图2），木架水平放置，绳轮与水平面相切于点．绳线绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，绳线与相切于点．过切点的直径与交于点（图中点、、、、在同一平面内）． （1）求证：； （2）该小组在实践过程中发现，当圆心与处锭子之间的水平距离满足时，纺线较为舒适．若纺车的绳轮半径为，，请求出使用该纺车纺线较为舒适时的取值范围（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】（1）证明：和为的切线， ，， ， ， ， 又， ； （2）使用该纺车纺线较为舒适时的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到； （2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出的长，最后由即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点分别作于点，于点，如图所示，则四边形是矩形. ，，由题意，得：，， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 使用该纺车纺线较为舒适时的取值范围是. 21. 阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克 48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 （1）成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； （2）求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； （3）根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 【答案】（1）9；32.4 （2）该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克 （3）共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 【解析】 【分析】（1）先计算出每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量，根据碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍，单独计算出脂肪含量，即可求蛋白质含量； （2）设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，根据“总质量为300克，蛋白质总含量为8%”，列二元一次方程组求解； （3）设选择A套餐天，根据中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克，列不等式求解． 【小问1详解】 解：每100克谷物食品中， 蛋白质和脂肪含量为：（克）， 脂肪含量为：（克）， 蛋白质含量为：（克）， ∴被污损的数字从上到下分别为9；32.4； 【小问2详解】 解：设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，则： ， 解得：， 答：该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克； 【小问3详解】 解：设选择A套餐天，则： ， 解得：， 又，且为整数， 可取值为1、2，共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 22. 已知抛物线与轴交于、两点，且点在点的左侧． （1）求抛物线的对称轴； （2）若， ①求抛物线的解析式； ②如果点的坐标为，点是抛物线对称轴上一点，把抛物线上的部分记作，当直线与图象只有一个公共点时，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式进行求解即可； （2）①设抛物线与轴交点坐标分别为、，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； ②根据题意画出的函数图象，然后根据“直线与图象只有一个公共点”进行求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线可知：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①设抛物线与轴交点坐标分别为、，则有， ∴当时，则有，此时是该方程的两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得：， 经检验：是方程的解， ∴抛物线的解析式为； ②由①可知：抛物线的解析式为， ∴当时，则有，当时，则有， 根据抛物线上的部分记作，则的函数图象如图所示： 当直线与图象只有一个公共点时，则可知： 当直线过抛物线的顶点时，如图，此时满足题意，即， ∴； 当直线过点时，如图，设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，； 当直线过点时，如图，同理可得：此时直线的解析式为， ∴当时，； ∴要使直线与图象只有一个公共点，由图象可知需满足； 综上所述：点的纵坐标的取值范围为或． 23. 综合与实践 通过平移线段可以实现线段位置变换，是解题的常用方法． （1）尝试初探： 如图1，在正方形中，，点，，都是正方形边上的点，将沿方向平移到，连接，写出图1中与相等的角：______；与之间的数量关系是______； （2）深入探究： 如图2，在中，点，，，都是边上的点，连接与相交于点．且，，，，在解决“求的长”这个问题时，有下面的提示思路，请根据这个思路进行解答； 思路：将平移到，并延长交的延长线于点 （3）拓展延伸： 如图3，在中，，，点是射线上一个动点，射线，以为对角线作，连接交于点．当内有两个内角互余时，直接写出的长． 【答案】（1）（表示方法不唯一）； （2） （3）1或2 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质得到且，结合可得，再结合正方形的边、角性质，通过同角的余角相等找与相等的角，再证明三角形全等得到与的数量关系，进而得到与的关系． （2）首先按照提示平移到，由平移性质得且，结合可推出的度数，再结合得到的形状，得到与的关系，再结合平行四边形的性质以及的条件，证明，推导与的关系，进而得到的长度． （3）将平移到，过点A作于点G，首先根据等腰三角形性质计算出的长度，再由平行四边形的性质得到，，然后分情况讨论中两个内角互余的两种情形，结合的条件，分别解直角三角形得到的长度，进而得到的长度． 【小问1详解】 解：由平移性质得且， ∵， ∴，即． ∵正方形中， ∴， ∴． 又，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由平移性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴中，， ∴， 由勾股定理得​． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴​． 【小问3详解】 解：将平移到，过点A作于点G， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴​． ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵有两个内角互余， ∴是直角三角形． 当时：， ∴， ∵， ∴． 当时，， 由勾股定理， ∴， 解得（舍去负值）， 同理得． 综上，的长为1或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $